Системы с логарифмами

Запишем ОДЗ:

Преобразуем систему к виду

Используем формулу перехода к новому основанию и формулу логарифма произведения

Сделаем замену: получаем систему

Из первого уравнения системы выразим

Из третьего уравнения выразим

Подставим во второе уравнение системы, получим после преобразований уравнение

При получаем но соответствующие значения не удовлетворяют ОДЗ. При получаем следовательно,

Обозначим , Так как

то исходные уравнения можно записать в виде

Рассмотрим первое уравнение системы. Возьмём производную от левой части, получим

Т.е. в левой части стоит возрастающая функция, а в правой части число, поэтому уравнение имеет не более одного решения. С другой стороны, любой многочлен нечётной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Отсюда следует, что уравнение имеет ровно одно решение.

Аналогично рассмотрим второе уравнение:

Значит, аналогично с первым уравнением, второе уравнение имеет ровно одно решение. Если во втором уравнении сделать замену то оно принимает вид

Это эквивалентно первому уравнению. Это означает, что корни уравнений противоположны, следовательно, их сумма равна нулю. Тогда

Запишем ОДЗ:

Запишем уравнения в системе в один логарифм:

Подставляя в и получаем:

Поделим первое уравнение на второе и получим:

Из условия следует, что функции положительны и не принимают значения при всех из области допустимых значений. Пусть . Тогда

По условию числа удовлетворяют одному из трёх условий:

Рассмотрим случай . Подставляя и в полученное выше уравнение , имеем , откуда . Так как многочлен не имеет корней, то единственным решением уравнения является , поэтому системе удовлетворяет тройка чисел . Случаи и рассматриваются аналогично с точностью до смены обозначений (выражение симметрично). Из них получаем, что либо , либо . Теперь для каждой из полученных троек чисел найдём .

Если , то , то есть . Поэтому , то есть значений , при которых , не существует.

Если , то . Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получаем уравнение , которое не имеет корней, поэтому случай также не подходит.

Если , то . Это уравнение эквивалентно уравнению , корнями которого являются и , но не подходит, так как в этом случае . Значение подходит: .

Итак, — единственное решение задачи.

при решении перемножением логарифмов: показано, что произведение всех логарифмов равно целому числу – 1 балл;

получено и решено кубическое уравнение относительно одного из логарифмов – 1 балл;

за рассмотрение каждого из случаев – по 1 баллу;

если при этом в случае приобретены лишние корни, он не считается рассмотренным, и за него ставится 0 баллов.

при решении рассмотрением трёх случаев равенств логарифмов: разобран 1 случай – 1 балл,

разобраны 2 случая – 3 балла,

разобраны 3 случая – 5 баллов;

если при этом в случае приобретены лишние корни, он не считается рассмотренным, и за него ставится 0 баллов.

Пусть четыре исходные числа - это . Обозначим . Тогда , то есть наши шесть логарифмов равны и Наибольший из них при этом и именно его нам надо найти.

Заметим, что среди наших четырёх логарифмов ни один не является произведением двух других. Это значит, что в каждой тройке отсутствует хотя бы одно число. Каждое из шести чисел встречается ровно в двух из этих троек, значит, чтобы “разрушить” все тройки, надо удалить два числа, которые вместе в одной тройке не встречаются, то есть, числа, которых мы не знаем, это либо и , либо и , либо и .

Соответственно, у нас есть одна из четвёрок и . Третий вариант невозможен, потому что ни одно из наших четырёх чисел не является произведением трёх других. Для того, чтобы четвёрка чисел могла соответствовать первому или второму вариантам, необходимо и достаточно, чтобы произведение двух чисел было равно произведению двух оставшихся. Это условие выполняется: .

В первом случае мы имеем , и — это наибольшее из наших четырёх чисел. Во втором случае и — это как раз искомое произведение. Значит, мы имеем два возможных ответа: и

ОДЗ: .

Логарифмируем первое уравнение системы по основанию 10:

Это уравнение на области допустимых значений равносильно следующему:

Записываем второе уравнение в виде и решаем его как квадратное относительно переменной :

Теперь рассмотрим комбинации полученных результатов:
a)

Точка не удовлетворяет ОДЗ.
б)

в)

г)

Точка не удовлетворяет ОДЗ.

Объединяя результаты, получаем итоговый ответ: .

Введём в рассмотрение функции

Под радикалами находятся заведомо положительные выражения поэтому на них можно поделить, а система примет такой вид:

Область определения системы задаётся тем, что каждая переменная меньше 4.

На этой области определения функция монотонно убывает, а функция имеет положительную производную:

поэтому является монотонно возрастающей.

Далее существует два способа решения:

Первое решение.

Заметим, что является решением системы. Покажем, что других решений нет.

Действительно, пусть Но тогда

сразу же получаем противоречие. Ясно, что случай рассматривается полностью аналогично.

Второе решение.

В силу обратимости функции получается явно выразить любую из переменных, причём выражаются они одинаково в силу цикличности системы:

где функция монотонно убывает по правилам монотонности сложной функции.

Тогда в правой части уравнения функция монотонно убывает, а в левой части уравнения функция , очевидно, монотонно возрастает. Поэтому равенство возможно не более, чем в одной точке. И при оно как раз достигается. Всё проделанное справедливо и для оставшихся двух переменных.

Запишем ОДЗ:

Сделаем замену:

Заметим, что

Тогда получаем:

Выразим искомую величину и обозначим ее за

Сделаем преобразования:

Возведем второе уравнение в квадрат:

Раскроем скобки у первого уравнения:

Выразим :

Подставим :

Докажем, что если подходит то тоже подходит.

Пусть вместо у нас Тогда после замены мы получим и следовательно, Но если у нас то в первой системе все останется как есть, так как и превратятся в и а во втором уравнении знак минус пропадет, так как там перемножаются и Следовательно, при изменении исходная система верна, а поменяет знак. Значит, если подходит то тоже подходит.

Имеем

при условиях и Получаем и Следовательно, т. е. Тогда либо и в этом случае т. е. это не решение, либо а и в этом случае и т. е. это решение.