Системы с логарифмами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вася выбрал четыре числа и для каждой пары вычислил логарифм большего по основанию меньшего. Получилось шесть логарифмов.
Четыре из них равны 
и 
Какие значения может принимать наибольший из всех шести логарифмов?
Источники:
Подсказка 1
Не понятно, как рассуждать в нашей задаче не введя всё-таки 4 начальных упорядоченных числа x ≤ y ≤ z ≤ t. Понятно при этом, что мы можем выразить логарифм по основанию x от z через логарифмы по основанию x от y и логарифм по основанию y от z как их произведение. Какие тогда переменные удобно ввести, чтобы наши 6 чисел хорошо через них выражались?
Подсказка 2
Удобно ввести логарифмы с комбинациями "соседних" чисел. Тогда если они a, b, c в таком же порядке, как стоят начальные числа, то у нас есть числа a, b, c, ab, ac, bc, abc. Значит, мы свели задачу к поиску максимума среди них при условии того, что все числа больше 1 и известно 4 из них. Как тогда действовать? А если посмотреть на числа из условия?
Подсказка 3
Никакие два числа из условия в произведении двух не дают некоторое третье из условия. Это значит, что в любой тройке чисел из второй подсказки вида k, l, kl у нас хотя бы одно число неизвестно!
Пусть четыре исходные числа - это 
. Обозначим 
. Тогда 
,
то есть наши шесть логарифмов равны 
и 
Наибольший из них при этом 
и именно его нам надо
найти.
Заметим, что среди наших четырёх логарифмов ни один не является произведением двух других. Это значит, что в каждой тройке
отсутствует хотя бы одно число. Каждое из шести чисел встречается ровно в двух из этих троек,
значит, чтобы “разрушить” все тройки, надо удалить два числа, которые вместе в одной тройке не встречаются, то есть, числа, которых мы
не знаем, это либо 
и 
, либо 
и 
, либо 
и 
.
Соответственно, у нас есть одна из четвёрок 
и 
. Третий вариант невозможен, потому что ни одно из
наших четырёх чисел не является произведением трёх других. Для того, чтобы четвёрка чисел могла соответствовать первому или второму
вариантам, необходимо и достаточно, чтобы произведение двух чисел было равно произведению двух оставшихся. Это условие выполняется:
.
В первом случае мы имеем 
, и 
— это наибольшее из наших четырёх чисел. Во втором случае 
и 
—
это как раз искомое произведение. Значит, мы имеем два возможных ответа: 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
