Тема Системы уравнений и неравенств

Системы неравенств

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела системы уравнений и неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107202

На координатной плоскости изображена фигура $Φ(α)$ , состоящая из всех точек, координаты ( $x;y$ ) которых удовлетворяют системе неравенств

{ √- √- (x2− 322 sinα)(y− 3 2cosα)≤0 x + y ≤25

Найдите максимальное значение $M$ периметра (длины границы) фигуры $Φ(α)$ и укажите все значения $α$ , при которых оно достигается.

Источники: Физтех - 2025, 11.6 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте разберёмся, как графически выглядит фигура. Второе неравенство задаёт круг с центром в начале координат и радиусом 5. Чтобы понять, какую область задаёт первое, нужно нарисовать две прямые x = 3√2sin a, y = 3√2cos a и подумать.

Подсказка 2

Итак, в первом неравенстве подойдут области, в которых у скобочек разные знаки. То есть либо область правее первой прямой и ниже второй, либо левее первой и выше второй. Осталось понять, где находится точка пересечения прямых относительно круга и можно делать выводы про область, которую задаёт система?

Подсказка 3

Итак, чтобы найти периметры этих частей круга, нужно отдельно посчитать длины дуг и хорд. Кажется, что длины дуг как-то связаны с углом между хордами, которые из высекают.

Подсказка 4

Для поиска и минимизации суммы длинн отрезков хорд, отсекающий области круга, вам понадобятся координаты точки пересечения прямых и неравенство о средних.

Показать ответ и решение

$PIC$

$Φ(α)$ — это две части круга $ω$ с центром в точке $O(0;0)$ и радиуса $R = 5$ , отсекаемые хордами $AB$ и $CD$ , лежащими на прямых с уравнениями $√ - x =3 2sinα$ и $√- y = 3 2cosα$ соответственно. Хорды пересекаются в точке $√ - √- N (3 2sinα;3 2cosα )$ , которая принадлежит $ω$ , так как $√- √ - |ON |2 = (3 2sinα)2+ (3 2cosα)2 = 18 <25 =R2$ . Эта точка $N$ является единственной общей точкой двух частей $Φ(α)$ .

Периметр $Φ (α)$ равен $Σ1+ Σ2$ , где $Σ1$ — сумма длин дуг $AC$ и $BD,Σ2$ — сумма длин хорд $AB$ и $CD$ . Угол между $AB$ и $CD$ равен $π2$ , поэтому

Σ1 = 2⋅ π⋅R = 5π 2

Расстояния от точки $O$ до $AB$ и $CD$ равны $ρ1 =|3√2sinα|$ и $ρ2 = |3√2cosα|$ соответственно, поэтому, используя неравенство $∘ ----- a+2b ≤ a2+2b2$ о среднем квадратическом и среднем арифметическом, получаем

∘R2-− ρ2+ ∘R2-−-ρ2 ∘ --2----√-----2---√------2 Σ24 = ------12-------2-≤ 2R-−-(3-2sinα)2-−-(3-2-cosα)-= 4.

Равенство достигается при

∘R2-−-ρ2-=∘R2-−-ρ2 ⇔ ρ1 = ρ2 ⇔ |sin α|= |cosα| ⇔ |tgα|= 1 ⇔ α = π+ πn,n∈ ℤ 1 1 4 2

Тогда $Σ2 = 16$ , а $M = max(Σ1 +Σ2)= 5π+ 16$ .

Ответ:

$5π+ 16 при α = π+ πn, где n ∈ℤ 4 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116308

Какие наибольшее и наименьшее значения может принимать произведение двух чисел при условии, что их сумма принадлежит отрезку $[a;b],$ а разность — отрезку $[c;d],$ где числа $a,b,c,d$ положительны?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ и $y$ — числа, удовлетворяющие условию задачи, то есть

{ 0< a≤ x+ y ≤ b 0< c≤ x− y ≤d

Так как все числа положительные, можно возвести в квадрат и получим

{ a2 ≤ (x+y)2 ≤ b2 −d2 ≤(x− y)2 ≤ −c2

Откуда имеем

a2 − d2 ≤ (x +y)2− (x − y)2 ≤b2− c2

a2− d2 ≤4xy ≤ b2− c2

2 2 2 2 a-−-d-≤ xy ≤ b-− c 4 4

Наибольшее значение произведения $b2−4c2$ достигается при

{ x+ y = b x− y = c

{ x= b+2c y = b−2c

Аналогично наименьшее значение $2 2 a−4d--$ достигается при $x = a+2d; y = a−2d.$

Ответ:

наибольшее $b2−c2 4$

наименьшее $a2−d2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#81371

Каким наибольшим может быть значение выражения $A +B$ , если $A$ и $B$ – числа, удовлетворяющие следующей системе неравенств

( 3A +5B ≤11 |{ |( 4A +3B ≤10 7A +4B ≤18

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.2 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала поймём, что нам неудобно работать с величинами A и B. Так как нам нужно максимизировать не их, а их сумму (это не всегда одно и то же, если мы максимизируем каждое по отдельности, у нас может получиться оценка, которая не достигается), то давайте обозначим за S = A + B сумму этих чисел и заменим везде в неравенствах, чтобы в них фигурировало только S и A (система с тремя переменная - это совсем грустно). Тогда чтобы решить задачу, нам остаётся дать оценку на A снизу через S, так как тогда два вторых получившихся неравенства дадут нам выбор из минимумов

Подсказка 2

Подставляя оценку A >= (5S - 11) / 2. в два оставшихся неравенства, у нас получается оценка на S сверху. Значит, остаётся выбрать то, что даёт минимальную. И всё?

Подсказка 3

Конечно, нет. Нам нужно привести пример. Однако здесь, чтобы привести пример, достаточно просто «развернуть» наши действия, посмотреть в какой точке достигается равенство и так найти, чему должно быть равно А.

Показать ответ и решение

Обозначим за $S =A +B$ , тогда систему можно переписать в виде:

( 5S − 2A ≤11 |{ |( 3S +A ≤10 4S +3A ≤18

Представим первое неравенство, как $A ≥ 5S−11, 2$ тогда получаем

(| 5S−-11-≤A { 11S2−11≤ 3S+ A≤ 10 |( 23S2−33≤ 4S+ 3A≤ 18 2

Откуда получаем оценку

( ) S ≤min 2⋅10-+11,18⋅2+-33- = 31 11 23 11

При этом равенство достигается в точке области

17 14 A= 11,B =11

(являющейся точкой пересечения прямых $3A +5B = 11,4A+ 3B =10$ ).

Ответ:

$31 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94202

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств

{ y3− 3x2− 4y +18x− 26 >0, y3+ x2− 4y − 8x+ 14< 0.

Источники: САММАТ - 2021, 11.10 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, как упростить систему, чтобы решать неравенство относительно одной переменной?

Подсказка 2

Домножим первое неравенство на -1 и сложим со вторым! Какими будут целые корни у получившегося неравенства?

Подсказка 3

После того, как мы найдем целые значения x, удовлетворяющие получившемуся квадратному неравенству, можно подставить их в исходную систему и найти y!

Показать ответ и решение

Умножим первое неравенство на $(−1)$ , сложим и получим

2 2 4x − 26x+40 <0 ⇒ 2x − 13x+ 20 <0 ⇒ (D = 9)x ∈(2,5;4).

Единственное целое значение $x$ , удовлетворяющее неравенству, $x =3$ . Подставим $x= 3$ в исходную систему

{ y3− 27− 4y+ 54− 26 >0, { y3− 4y+ 1> 0, { y3 >4y− 1, y3+ 9− 4y − 24+ 14< 0. ⇒ y3− 4y− 1< 0. ⇒ y3 <4y+ 1.

Двойному неравенству удовлетворяют только три целых значения $y :0,− 2,2$ . Сделав проверку, получим, что система имеет три целых решения: $(3;0),(3;2),(3;−2)$ .

Ответ:

$(3;0),(3;2),(3;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#96524

Напряжённость электрического поля в точке $(x,y)$ описывается функцией

( )x2+y2 E(x,y)= 2201 .

Найдите максимальное значение напряжённости в области, задаваемой неравенствами

|ax+ y|≤b, |ax− y|≥ b,

где $a$ и $b$ — фиксированные вещественные числа.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим f(x, y) = x² + y². Как эта величина связана со значениями E(x, y)? Как выразить отсюда максимум E?

Подсказка 2

Правильно, нам необходимо найти минимум f(x, y) в области из условия. Для этого рассмотрим различные значения a и b. На какие части можно условно разделить эту подзадачу?

Подсказка 3

Случай b < 0 очевиден, как и b = 0. В случае b > 0 рассматриваем возможные значения a, представляем полученные ограничения на плоскости. Можно подумать, что в этом случае задает f, какие фигуры/расстояния нам нужно найти и из этого выражать минимум.

Показать ответ и решение

Функция $E (f)= (20)f 21$ монотонно убывает при $f ∈ [0,∞ ).$ Рассмотрим величину $f(x,y)= x2+ y2,$ если переменные удовлетворяют неравенствам

|ax+ y|≤b, |ax− y|≥ b.

Максимум $E$ соответствует минимуму $f.$

1. Если $b <0$ , то множество решений системы неравенств пусто. Функция не определена.

2. Если $b =0$ , то неравенства равносильны уравнению $ax +y = 0$ , откуда $f(x,− ax)= g(x) =(1+ a2)x2$ . Максимум $E(x,y)$ будет достигаться в начале координат и будет равен $1.$

3. Пусть $b> 0,a= 0.$ Тогда система неравенств равносильна уравнению $|y|= b$ и $2 2 2 f(x,y)= f(x,|b|)=x +b ≥ b.$ Максимум равен $(20)b2 21 .$

4. Пусть $b> 0,a> 0.$ Тогда получаем систему ограничений

−b− ax ≤y ≤b− ax, (y ≤ ax− b или y ≥ ax+ b).

Она задает на плоскости область между двумя параллельными прямыми $y = −b− ax$ и $y = b− ax$ и вне ромба с вершинами $(0;±b),(±b∕a;0).$ Функция $f$ есть квадрат расстояния от начала координат до точки области. Точки с одинаковым расстоянием от $O$ образуют окружность. Минимум расстояния имеют точки касания сторон ромба со вписанной в ромб окружностью. Найдем ее радиус $r.$

$PIC$

Рассмотрим площадь ромба $S =d1d2∕2.$ Его диагонали имеют длины $d1 =$ $2b∕a,d2 = 2b,S = 2b2∕a,$ сторона $− c= ∘b2-+(b∕a)2 = b√a2-+1∕a.$

Рассмотрим площадь прямоугольного треугольника с катетами $b∕a,b,$ составляющего четверть ромба:

SΔ = S∕4 =b2∕(2a)= (1∕2)cr= b∘a2+-1∕(2a)

Отсюда

--b--- 2 -b2-- r = √a2+-1, fmin = r = a2+1

5. Случай $b >0,a< 0$ аналогичен предыдущему и приводит к такому же результату.

Объединяя результаты $3 − 5$ , получаем короткий ответ.

Если $b< 0,$ то функция $f$ не определена. Если $b≥ 0,$ то

2 E =( 20)ab2+1 max 21

Ответ:

$(20)ab22+1 21$ при $b ≥0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33593

Найдите количество пар целых чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих системе неравенств

{ y > 2x+ 3⋅265 y ≤ 70+(264− 1)x

Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.

Источники: Физтех - 2020, 11.7 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как мы хотим "зажать" y между двумя графиками, имеет смысл порассуждать об их точках пересечений и о том, как графики выглядят.

Подсказка 2

Один из графиков выпуклый вниз, а другой — линейный. Сколько у таких графиков точек пересечений? Попробуем их подобрать ;)

Подсказка 3

У графиков ровно две точки пересечения, абсциссы у них — 6 и 70. Тогда где находятся нужные нам значения y?

Подсказка 4

Нам нужны целочисленные точки, которые лежат "между графиками". Попробуем тогда посчитать целочисленные точки под каждым из графиков (и над осью x), а затем подумать, как же связаны эти величины с ответом!

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)=2x +3⋅265,g(x)=70+ (264− 1)x$ . В силу того, что $f(x)$ выпукла вниз, а $g(x)$ - линейная, графики функций $f(x)$ и $g(x)$ могут иметь не более двух общих точек (достаточно взять вторую производную разности). Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно, $6 65 64 ( 64 ) f(6)=2 + 3⋅2 =64+ 6⋅2 =70+ 2 − 1 6= g(6)$ и $70 65 6 64 64 (64 ) f(70)= 2 + 3⋅2 =2 ⋅2 + 6⋅2 = 70+ 2 − 170= g(70)$ . На промежутке $6< x< 70$ график $f(x)$ лежит ниже графика $g(x)$ . Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых $x∈ [7;69]$ (так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).

Заметим, что на отрезке $[7;69]$ графики функций $f(x)$ и $g(x)$ лежат выше оси $x$ . Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества $S1$ целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком $g(x)$ на отрезке $[7;69]$ , вычтем количество $S2$ целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком $f(x)$ на отрезке $[7;69]$ . При этом мы учтём, что первое неравенство системы строгое, а второе — нет.

Найдём $S1$ . Так как на отрезке $[7;69]$ лежат $69− 7+ 1= 63$ целочисленные точки, то

( ) ( ) S1 =70⋅63+ 264− 1 (7+ 8+ ...+ 69)= 70⋅63+ 264− 1⋅38⋅63=

= 32⋅63+ 264⋅38⋅63= 2016+ 265⋅1197

Найдём $S2 :$

( 7 65) (8 65) (69 65) S2 = 2 + 3⋅2 + 2 + 3⋅2 + ...+ 2 + 3⋅2 =

7 8 69 65 70 7 65 5 65 65 65 = 2 +2 + ...+ 2 + 3⋅2 ⋅63= 2 − 2 + 3⋅2 ⋅63 =2 ⋅2 − 128+ 189⋅2 = 221 ⋅2 − 128

Искомое количество равно

S1− S2 = 2016+ 265⋅1197− (221⋅265 − 128)=

= 2144+ (1197− 221)⋅265 =2144+ 976⋅265 = 2144+ 61⋅269

Ответ:

$61⋅269+2144$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90858

Найдите количество пар целых чисел $(x;y)$ , удовлетворяющих системе неравенств

{ y ≥ 90+ x− 690 y ≤ log x 6

Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более трёх слагаемых.

Источники: Физтех - 2020, 11.7 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем понять, при каких x вообще имеются решения. Для удобства давайте представим x в виде 6^t.

Подсказка 2

Используя неравенства системы, можно получить, что 90 + 6^t - 6^90 ≤ y ≤ t. Отсюда мы получаем, что 90 + 6^t - 6^90 - t ≤ 0. Что можно сказать про поведение выражения слева и как получить ограничения на t?

Подсказка 3

Давайте поймём, что для 1 ≤ x ≤ 6^90 решения есть? Кстати, сколько их при каждом каждом x? Что можно сказать про большие х?

Подсказка 4

Вопрос про количество решений при конкретном х был наводящим на конец решения. Исходя из системы неравенств это количество будет равно разности целой части логарифма и выражения 90 + x - 6⁹⁰. Осталось посчитать суммарное количество решений!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$

Заметим, что $t 90 90+ 6− 6 ≤y ≤t$ . Заметим, что если $t 90 f(t)= 90+ 6− 6 − t$ , то $′ t f (t)= 6ln6− 1$ и при $t> 1$ функция $f(t)$ возрастает. $f(90)= 0$ . Значит, $t≤ 90$ и $90 x ≤6$ . Заметим, что при $90 x ∈[6,6 ]$ функция $f(t)≥0,$ и значит, как минимум одно решение с таким $x$ есть. При $x ∈[1,6]$ такое решение тоже есть и это $y = 0$ .

Тогда нас интересует такая сумма

690 690 ∑ [log6x]− (90+x − 690)+1= (∑ [log6x]− x)+ (690− 89)690 x=1 x=1

Ее можно разложить на части

690 ( 89 6y+1−1 ) 89 ∑ [log6x]=( ∑ ∑ ([log6x])) +90= ∑ y(6y+1− 6y)+ 90= x=1 y=0x=6y y=0

89⋅690− 89⋅689+ 88⋅689− 88⋅688+ ...+ ⋅61− ⋅60+ 90=

690− 1 = 89⋅690 − 689− 688− ...− 1+90 =89⋅690−--5--+ 90

6∑90 90 90 x= 6-(6--+1) x=1 2

Итак,

6∑90 90 90 90 ( [log6x]− x)+(690 − 89)690 = 89⋅690− 6-− 1-+90− 6-(6-+-1) +(690− 89)690 = x=1 5 2

690− 1 690(690− 1) = −--5---+90+ ----2----

Ответ:

$− 690−1+ 90 + 690(690−1) 5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#64396

Решите систему неравенств

{ 2x2+ 4xy +11y2 ≤ 1; 4x+ 7y ≥ 3.

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 8 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выделите полный квадрат в первом уравнении системы. Не напрашивается ли сюда какая-нибудь замена?) Пусть, например, u = x + y, а v = 3y

Подсказка 2

Перепишите систему после замены. Попробуйте теперь сложить два неравенства, предварительно умножив одно из них на коэффициент так, чтобы в итоге в правой части сумма была ноль!

Подсказка 3

Давайте повыделяем полные квадраты. И, кажется, у нас вышла красота: сумма двух квадратов меньше, либо равна нулю... Сделайте выводы!

Показать ответ и решение

Перепишем систему

{ 2x2+ 4xy+ 11y2 ≤ 1 { 2(x+ y)2+ (3y)2 ≤ 1 4x +7y ≥ 3. ⇐⇒ − 4(x+ y)− 3y ≤ −3

Пусть $x+y =u,3y = v$ . Получим систему

{ 2u2+ v2 ≤ 1 { 6u2+3v2− 3≤ 0 − 4u − v ≤− 3 ⇐⇒ −8u− 2v+ 6≤0

После сложения получаем

6u2− 8u+ 3v2 − 2v+ 3≤ 0

( ) ( ) 6 u2− 2 ⋅u ⋅ 2+ 4 + 3 v2− 2⋅v⋅ 1 + 1 ≤ 0 3 9 3 9

( )2 ( )2 6 u− 2 + 3 v − 1 ≤0 3 3

2 1 u= 3,v = 3

Легко проверить, что эта пара подходит и в систему неравенств до сложения, потому что неравенства обращаются в равенства. После обратной замены получаем

{ 2 x +y1= 3 y = 9

Откуда $x= 5. 9$

Ответ:

$(5,1) 9 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#79128

Дана система неравенств

(| |x|+ |y|≤2 { x2+y2 ≥4(x+ y− 1), |( (y − 3x− 2)(3y− x+ 2)≤ 0.

Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:

(a) первому неравенству системы;

(b) первым двум неравенствам системы;

Источники: Вступительные в МФТИ - 1999 (см. olymp.mipt.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первым неравенством всё понятно, а чтобы построить график функции из второго неравенства, нужно выделить полные квадраты. Чтобы понять, какие точки удовлетворяют третьему неравенству, нужно рассмотреть части плоскости, на которые 2 прямые её делят, и понять, какие знаки в этих частях имеет каждая из линейных функций. И всё, картинка готова!

Подсказка 2

Не забываем, что площадь сегмента находится как разность площадей соответствующего сектора и треугольника, и на этом знаний нам достаточно. Осталось внимательно найти нужные площади и радоваться жизни!

Показать ответ и решение

(a) Первому неравенству удовлетворяют точки, лежащие в квадрате (рис.) с вершинами $A(−1; 0), B(0; 1), C(1; 0), D (0; − 1).$ Площадь этого квадрата $S1 = 8.$

$PIC$

(b) Второму неравенству, которое можно записать в виде

(x− 2)2+ (y − 2)2 ≥ 4,

удовлетворяют точки, лежащие вне круга радиуса $2$ с центром в точке $E (2; 2).$

Площадь заштрихованного на рис. сегмента равна $π− 2,$ а площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют первым двум неравенствам, равна

S2 = 8− (π− 2)= 10− π

(c) Прямые $y− 3x− 2 =0$ и $3y− x+ 2= 0$ пересекаются в точке $F(−1; 1)$ и проходят соответственно через точки $B$ и $C.$

Третьему неравенству удовлетворяют точки двух вертикальных углов с вершиной $F,$ один их этих углов — угол, образуемый лучами $FB$ и $FC$ и содержащий точку $O.$

Пусть $S3$ — площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют всем трем неравенствам системы, $S4$ — сумма площадей треугольников $ABF$ и $CDF.$ Тогда

S4 = 1S1 =4, S3 =S2− S4 = 6− π 2

Ответ:

$(a) 8$

$(b) 10− π$

$(c) 6− π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#91930

Найдите площадь фигуры $Φ$ , которая задается на координатной плоскости системой неравенств

(| x2+y2 ≥ 10 { 3x2− 4x− 32≤ 0 |( (3x− 2y)(3y− x+10)≥ 0

Показать ответ и решение

Первое неравенство определяет множество точек, лежащих вне и на границе круга с центром в точке $O (0;0)$ и радиусом $√ -- 10$ .

Решив второе неравенство, получим $8 − 3 ≤x ≤4$ . Поэтому второе неравенство задает вертикальную полосу, лежащую между прямыми $8 x =− 3$ и $x= 4$ (включая и точки этих прямых).

Наконец, третьему неравенству удовлетворяют точки множества $M$ , которое состоит из двух острых вертикальных углов, образованных прямыми $3x − 2y = 0$ и $3y− x+ 10 =0$ (включая и точки этих прямых), так как в точке $(4;0)$ , принадлежащей множеству $M$ , левая часть неравенства положительна. Множество $M$ заштриховано на рисунке ниже, а указанные прямые обозначены $l1$ и $l2$ .

Прямая $l1$ пересекается с прямыми $8 x= −3$ и $x =4$ в точках $8 A(−3;−4)$ и $B (4;6)$ , а прямая $l2$ пересекается с теми же прямыми в точках $8 38 D (− 3;−9-)$ , $C (4;−2)$ . Далее, прямая $l2$ касается окружности $x2 +y2 = 10$ , так как система уравнений