Тема №21. Текстовые задачи

02 Задачи №21 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №21. текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43938Максимум баллов за задание: 2

Два автомобиля одновременно отправляются в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 1

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x + 24$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 24 | --420- | 420 | |-------|-------------|-x-+-24-|---------| |Второй | x | 420- | 420 | --------------------------x---------------

По условию задачи первый автомобиль прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Составим уравнение:

--420- + 2= 420 x + 24 x -420-− 420 + 2= 0 x+ 24 x 420x−-420(x-+24)+-2x(x-+-24)- x(x+ 24) = 0 ( |{ 420x − 420(x+ 24)+ 2x(x +24)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= − 24

Решим первое уравнение системы:

420x− 420(x +24)+ 2x(x + 24) =0 420x− 420x − 420 ⋅24 +2x2 +48x =0 2x2+ 48x − 420 ⋅24 = 0 2 x +24x− 5040= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 24 +4 ⋅5040 =20736= 144

Тогда

⌊ −24 +144 [ |x = ----2--- x =60 ⌈ −24-− 144 ⇔ x =− 84 x = 2

Корень $x = −84$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость второго автомобиля равна 60 км/ч, а скорость первого автомобиля равна $60+ 24= 84$ км/ч.

Ответ: 84 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#37883Максимум баллов за задание: 2

Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа после этого догнал первого.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Пусть скорость третьего велосипедиста равна $x км/ч,$ а время, за которое он догнал второго велосипедиста равно $t ч.$ Из условия знаем, что к моменты, когда третий догнал второго, второй ехал на час дольше и оба велосипедиста проехали одинаковое расстояние, то есть:

10-⋅(t+-1)- x ⋅t= 10⋅(t+ 1) ⇔ x = t

Через 2 часа после этого третий догнал первого, это значит, что оба велосипедиста проехали одинаковое расстояние, при этом третий находился в движении $(t+2) часа,$ а первый — $(t+ 2+ 2) часа.$ Получаем второе уравнение:

x⋅(t+ 2)= 12 ⋅(t+ 2+ 2) ⇔ ⇔ 10⋅(t+-1)⋅(t+2)-= 12 ⋅(t+ 4) ( t ) 10 ⋅t2+ 3t+ 2 = 12⋅(t+ 4)⋅t 10t2+ 30t+ 20= 12t2+ 48t 2 2t2+ 18t− 20= 0 t + 9t− 10 =0 D = 92+ 4⋅10 =121= 112

Тогда $−9+11 −9−11 t= -2---=1 или t= --2--= −10,$ время не может быть отрицательным, значит, $t= 1 час.$

Найдем $x:$

x = 10⋅(t+-1)= 10-⋅(1-+1)-=20 км/ч. t 1

Ответ: 20

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#42503Максимум баллов за задание: 2

В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

Пусть концентрация получившегося раствора равна $x%.$ Составим таблицу:

|---------|----------------|---------------|----------------| |Растворы-|Объём-раствора, л|Концентрация,-%-|Объём-вещества, л| | | | | 26 | | Раствор | 7 | 26 | 100 ⋅7 | |---------|----------------|---------------|----------------| | Вода | 6 | 0 | 0 | |---------|----------------|---------------|----------------| | Смесь | 7 +6 = 13 | x | -x-⋅13 | -------------------------------------------------100---------

Так как масса чистого вещества не меняется, то

26-⋅7+ 0= -x- ⋅13. 100 100

Домножим обе части получившегося уравнения на 100:

26 ⋅7+ 0= x⋅13 2⋅13⋅7 =x ⋅13 x= 2 ⋅7 x= 14

Следовательно, концентрация получившегося раствора составляет 14%.

Ответ: 14

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#55422Максимум баллов за задание: 2

Смешали 7 литров 25-процентного раствора вещества с 8 литрами 10-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

Составим таблицу:


Растворы	Объём раствора, л	Концентрация, %	Объём вещества, л

Первый	7	25	$25- 100 ⋅7$

Второй	8	10	$10-⋅8 100$

Концентрация раствора вычисляется по формуле

Vвещ-ва C = Vр-ра ⋅100%,

где $C$ — концентрация раствора, $Vвещ -ва$ — объём вещества, $Vр-ра$ — объём раствора.

Объём получившегося раствора равен сумме объёмов первого и второго растворов. Найдём концентрацию получившегося раствора:

25⋅7 + 10⋅8 1 ⋅7+ 1-⋅8 7+ 4 C =-100-7-+8100-- ⋅100% = 4---1510--⋅100% = 4155-⋅100% = = 35+2106-⋅100% = 51⋅100% = 17% 15 20⋅15

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44291Максимум баллов за задание: 2

Два велосипедиста одновременно отправляются в 208-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 31

Показать ответ и решение

Обозначим скорость второго велосипедиста за $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста $x + 3$ км/ч.


	$v$	$t$	$S$

Первый	$x +3$ км/ч	$-208 x+3$ ч	208 км

Второй	$x$ км/ч	$20x8-$ ч	208 км

Так как первый велосипедист прибывает на 3 часа раньше, то

208 -208- x − x +3 = 3 ⇔ 208(x +3)− 208x− 3x(x + 3) ⇔ --------x(x+-3)---------= 0 ⇔ ( |{ 208(x+ 3)− 208x− 3x(x +3)= 0 ⇔ x⁄= 0 ⇔ |( x+ 3⁄= 0 ( |{ 208x + 208 ⋅3 − 208x− 3x2− 9x= 0 ⇔ | x⁄= 0 ⇔ ( x⁄= −3 ( |{ −3x2− 9x+ 208⋅3= 0 ⇔ | x⁄= 0 ( x⁄= −3

Решим первое уравнение системы:

2 3x + 9x − 208 ⋅3= 0 x2+ 3x− 208= 0 D = 9+ 4 ⋅208 =9 +832 =841 =292 −3± 29 x1,2 = --2---- x1 = 13 x2 = −16 — не подходит по смы слу задачи

Требуется найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, то есть первого велосипедиста:

x+ 3 км/ч = 13 + 3 км/ч= 16 км/ч

Ответ: 16 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#45466Максимум баллов за задание: 2

Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим растор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится во втором растворе?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33

Показать ответ и решение

Пусть концентрация первого раствора равна $x%,$ а концентрация второго раствора — $y%.$ Составим таблицу:

|--------|-----------------|---------------|-----------------| |Растворы-|М-асса-раствора, кг|Концентрация,-%-|М-асса-вещ-ества, кг| | | | | -x- | |П ервы й | 12 | x | 100 ⋅12 | |--------|-----------------|---------------|------y----------| | Второй | 8 | y | 100 ⋅8 | |--------|-----------------|---------------|-----------------| | См есь | 12+ 8= 20 | 65 | 65-⋅20 | -------------------------------------------------100----------

Так как масса чистого вещества не меняется, то

-x-⋅12+ -y- ⋅8= 65-⋅20. 100 100 100

По условию, если слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Пусть массы первого и второго раствора равны $k$ кг. Составим таблицу:

|--------|-----------------|---------------|-----------------| |Растворы-|М-асса-раствора, кг|Концентрация,-%-|М-асса-вещ-ества, кг| |П ервы й | k | x | -x- ⋅k | |--------|-----------------|---------------|-----100---------| | | | | -y- | |-Второй--|--------k--------|------y--------|-----100-⋅k------| | | | | 60 | | См есь | k+ k =2k | 60 | 100 ⋅2k | --------------------------------------------------------------

Так как масса чистого вещества не меняется, то

-x- ⋅k+ -y-⋅k = 60-⋅2k. 100 100 100

Так как $k ⁄=0,$ то можем поделить обе части уравнения на $k$

-x- -y- 60- 100 + 100 = 100 ⋅2.

Составим систему уравнений:

$pict$

Разделим обе части первого уравнения системы на 8:

$pict$

Вычтем из первого уравнения второе:

$pict$

Следовательно, концентрация второго раствора равна 35%.

Ответ: 35

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#25049Максимум баллов за задание: 2

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислот различной концентрации. Если слить их вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится во втором растворе?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

Обозначим процент кислоты в первом растворе за $x%,$ во втором — за $y%.$

Тогда в первом растворе будет $30⋅1x00-$ кг кислоты, во втором — $42⋅1y00-$ кг кислоты. Если слить растворы вместе, то получится раствор массой $30+ 42= 72$ кг, содержащий

30⋅ x--+ 42 ⋅-y-= 30x+-42y кг кислоты 100 100 100

При этом известно, что процент кислоты в таком растворе равен 40%. Тогда

30x+-42y= 72⋅-40 ⇔ 30x + 42y = 2880 ⇔ 5x +7y = 480 100 100

Если смешать равные массы $S$ этих растворов, то получим раствор массой $2S$ кг, содержащий

x y x+ y S ⋅100 + S ⋅100 = S ⋅100-кг кислоты

При этом известно, что процент кислоты в таком растворе равен 37%. Тогда

S ⋅ x+-y-= 2S⋅-37 ⇔ S (x +y)= 74S ⇔ x+ y = 74 100 100

Составим и решим систему из полученных уравнений для $x$ и $y :$

$pict$

Получили, что $y = 55.$

Тогда во втором растворе 55% кислоты.

Ответ: 55

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания