15.05 Отрезки - Каталог заданий по ЕГЭ - Информатика БУ в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#37650Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [2,95]$ , $Q = [20,44]$ . Найдите наименьшую возможную длину отрезка $A$ , при котором формула

(x ∈ Q ) → (¬(x ∈ P)∧ (x ∈ Q ) → (x ∈ A ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых x.

Показать ответ и решение

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию и отрицание:

(x ∕∈ Q )∨ (x ∈ P) ∨(x ∕∈ Q )∨ (x ∈ A)

Повторяющуюся скобку $(x ∕∈ Q )$ можно убрать, тогда получаем выражение:

(x ∕∈ Q)∨ (x ∈ P )∨ (x ∈ A)

Инвертируем известную часть, чтобы определить при каких $x$ исходное выражение будет ложно:

(x ∈ Q) ∧(x ∕∈ P )

Это выражение будет истино (а изначальное, соответственно, ложно) при $x$ , которые одновременно принадлежат отрезку $Q$ и не принадлежат отрезку $P$ . Таких $x$ нет, следовательно в исходном выражении при любом $x$ результат будет истина. Тогда можно взять отрезок $A$ любой длины, отсюда минимальная длина отрезка $A$ – 0.

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(2, 95 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(20, 44 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if ((x in q) <= (((x not in p) and (x in q)) <= (x in a))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#43475Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [2212598,7215678]$ и $Q = [4200000,10202053]$ .

Какова наименьшая возможная длина отрезка A, что логическое выражение

¬ (¬ (x ∈ A)∧ (x ∈ P ))∨(x ∈ Q)

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение раскрыв отрицание:

(x ∈ A)∨ (x ∕∈ P )∨(x ∈ Q)

Сделаем отрицание известной части, чтобы найти такие $x$ , при которых исходное выражение дает ложь.

(x ∈ P) ∧(x ∕∈ Q )

Значит, исходное выражение ложно когда $x$ одновременно принадлежит отрзку $P$ и не принадлежит отрезку $Q$ , это промежуток $x ∈ [2212598;4200000)$ . Тогда, чтобы выражение всегда было истино нам необходимо «перекрыть» все эти иксы отрезком $A$ . Тогда минимальный отрезок $A = [2212598;4200000]$ . Его длина равна $1987402$ .

Ответ: 1987402

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#56316Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [12;56]$ и $Q = [30;85]$

Укажите наименьшую длину промежутка А, при котором формула

------- ((x ∈ P ) → (x ∈ Q))∨ (x ∈ A)

тождественно истинна при любых целых значениях переменной x.

Показать ответ и решение

Решение руками

Упростим начальное выражение:

(x ∕∈ P)∨ (x∈∕Q )∨ (x ∈ A)

Изобразим известную часть на числовой прямой

$PIC$

Краснымм штрихами отмечена область, которая будет давать истину. Тогда, остается «перекрыть» отрезком A как минимум область, которая отмечена зелеными штрихами. Чтобы длина отрезка A была минимальной в него следует включить строго эту область [30; 56], тогда длина отрезка A равна: $56 − 30 = 26$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(12, 56 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(30, 85 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in p) <= (x not in q)) or (x in a)) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#57874Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $N = [30,70]$ и $M = [45,60]$ . Укажите наименьшую возможную длину отрезка А для которого выражение

$((x ∈ N )∧ (x ∈ M )) −→ (x ∈ A)$

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Показать ответ и решение

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию и отрицание:

(x ∕∈ N) ∨(x ∕∈ M ) ∨(x ∈ A )

Инвертируем известную часть, чтобы понять при каких $x$ выражение ложно:

(x ∈ N )∧(x ∈ M )

Это выражение истино (а исходное соответственно ложно), когда $x$ принадлежит отрезку $N$ , и принадлежит отрезку $M$ одновременно. Это будут $x ∈ [45;60]$ . Чтобы исходное выражение было истинно при любом $x$ необходимо «перекрыть» отрезком $A$ как минимум эту область. Тогда отрезок $A$ будет $[45;60]$ или больше. Так как в задании просят найти минимальную длину, то $A = [45;60]$ , а его длина $60− 45 = 15$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $N$ и $M$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

n = range(30, 70 + 1)  # Задаём отрезок N
m = range(45, 60 + 1)  # Задаём отрезок M
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in n) and (x in m)) <= (x in a)) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#57875Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $N = [100,180]$ и $M = [145,200]$ . Укажите наименьшую возможную длину отрезка А для которого выражение

$(x ∈ N ) − → (((x ∈ M )∧ ¬(x ∈ A)) − → ¬(x ∈ N ))$

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Показать ответ и решение

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию и отрицание:

(x∈∕N )∨ (x ∕∈ M )∨ (x ∈ A )∨(x ∕∈ N)

Уберем повторяющуюся часть $(x ∕∈ N)$ :

(x ∕∈ N) ∨(x ∕∈ M ) ∨(x ∈ A )

Инвертируем известную часть, чтобы понять при каких $x$ выражение ложно:

(x ∈ N )∧(x ∈ M )

Это выражение истино (а исходное соответственно ложно), когда $x$ принадлежит отрезку $N$ , и принадлежит отрезку $M$ одновременно. Это будут $x ∈ [145;180]$ . Чтобы исходное выражение было истинно при любом $x$ , необходимо «перекрыть» отрезком $A$ как минимум эту область. Тогда отрезок $A$ будет $[145;180]$ или больше. Так как в задании просят найти минимальную длину, то $A = [145;180]$ , а его длина $180 − 145 = 35$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 200) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $N$ и $M$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

n = range(100, 180 + 1)  # Задаём отрезок N
m = range(145, 200 + 1)  # Задаём отрезок M
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 200):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 201):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if ((x in n) <= (((x in m) and (x not in a)) <= (x not in n))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#57876Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $N = [41,102]$ и $M = [78,156]$ . Укажите наименьшую возможную длину отрезка А для которого выражение

$¬ (¬ (x ∈ A)∧ (x ∈ N ))∨(x ∈ M )$

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной х?

Показать ответ и решение

Решение руками:

Упростим выражение, раскрыв отрицания:

(x ∈ A)∨ (x ∕∈ N )∨ (x ∈ M )

Найдем случаи, когда известная часть равна 0 и тогда мы узнаем какой должен быть отрезок А для того чтобы выражение было тождественно истинным. Для этого запишем её отрицание:

(x ∈ N )∧(x ∕∈ M )

Инверсия известной части дает 1 когда $x$ принадлежит отрезку $N$ и одновременно не принадлежит отрезку $M$ . Это полуинтервал $[41;78)$ . Тогда отрезок $A$ должен «перекрыть» как минимум эту область. Так как мы ищем минимальную длину отрезка $A$ , то $A = [41;78]$ . Его длина равна $78− 41 = 37$ .

Решение программой:

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $N$ и $M$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

n = range(41, 102 + 1)  # Задаём отрезок N
m = range(78, 156 + 1)  # Задаём отрезок M
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if ((not ((not (x in a)) and (x in n))) or (x in m)) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a), r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 37

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#57878Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $N = [10,26]$ и $M = [13,27]$ . Отрезок A таков, что формула

$((x ∈ N ) −→ (x ∈ A))∧ ((x ∕∈ M )∨ (x ∈ A))$

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х. В ответе укажите наименьшую длину отрезка A.

Показать ответ и решение

Решение аналитикой

Формула состоит из двух частей:

1. $(x ∈ N ) − → (x ∈ A )$

2. $(x ∕∈ M ) ∨(x ∈ A )$

Первая часть будет истинной в следующих случаях:

- Если $x ∕∈ N$ , то эта часть истинна.

- Если $x ∈ N$ , то необходимо, чтобы $x ∈ A$ .

Таким образом, для первой части необходимо, чтобы отрезок $A$ содержал все значения из отрезка $N = [10,26]$ .

Вторая часть будет истинной, если:

- Если $x ∕∈ M$ , то эта часть истинна.

- Если $x ∈ M$ , то необходимо, чтобы $x ∈ A$ .

Таким образом, для второй части необходимо, чтобы отрезок $A$ содержал все значения из отрезка $M = [13,27]$ .

Для того чтобы обе части формулы были истинны одновременно, отрезок $A$ должен содержать все значения из обоих отрезков $N$ и $M$ . Таким образом,

A = [10,27].

Длина отрезка $A$ рассчитывается по формуле:

L = b− a,

где $a = 10$ и $b = 27$ :

L = 27− 10 = 17.

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $N$ и $M$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

n = range(10, 26 + 1)  # Задаём отрезок N
m = range(13, 27 + 1)  # Задаём отрезок M
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in n) <= (x in a)) and ((x not in m) or (x in a))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#60318Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $B = [12,20]$ и $C = [25;58]$ . Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

((x ∈ A) −→ (x ∈ B ))∨ (x ∈ C)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Показать ответ и решение

Решение руками:

Упростим начальное выражение:

(x ∕∈ A) ∨(x ∈ B )∨ (x ∈ C )

Методом сковородки отрицаем известную часть:

(x∈∕B )∧ (x ∕∈ C)

Получаем, что $x ∈ (− ∞; 12)⋃(20;25)⋃(58;∞ )$ (красная область).

$PIC$

Но нам нужно взять такой отрезок $A$ , чтобы $x$ ему не пренадлежал. То есть нужно выбрать из двух отрезков: $B$ или $C$ .

Наибольшую длину имеет отрезок $C$ и она равна $58 − 25 = 33$ .

Решение программой:

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $B$ и $C$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

b = range(12, 20 + 1)  # Задаём отрезок B
c = range(25, 58 + 1)  # Задаём отрезок C
r = 0  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in a) <= (x in b)) or (x in c)) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#62995Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [25,30]$ и $Q = [13,22]$ . Укажите наибольшую длину отрезка $A$ , при котором формула

((x ∈ A) → (x ∈ P))∨ (x ∈ Q )

тождественна истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной X.

Показать ответ и решение

Решение руками:

Упростим выражение, раскрыв импликацию:

(x ∕∈ A) ∨(x ∈ P )∨ (x ∈ Q)

Тогда получается, множество не $A$ должно перекрывать следующие участки прямой: $(− ∞; 13)∪ (22;25) ∪(30;∞ )$ . Для того чтобы этого добиться отрезок $A$ должен содержаться в одном из отрезков $P$ или $Q$ . Наибольшая длина отрезка $A$ будет достигаться, когда он равен $Q$ , то есть $[13,22]$ . Его длина $22− 13 = 9$ .

Решение программой:

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(25, 30 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(13, 22 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 0  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in a) <= (x in p)) or (x in q)) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#62997Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [15;39]$ и $Q = [44;57]$ . Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

((x ∈ A) → (x ∈ P))∨ (x ∈ Q )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $\text{[math]}$ .

Показать ответ и решение

Решение руками:

Упростим выражение, раскрыв импликацию:

(x ∕∈ A) ∨(x ∈ P )∨ (x ∈ Q)

Воспользуемся методом сковородки (отрицания известной части) и найдем случаи, когда известная часть равна 0. Тогда мы узнаем какой должен быть отрезок А для того, чтобы выражение было тождественно истинным.

Скажем, что $(x ∈ P )∨(x ∈ Q)$ должно быть равно 0. Это выполняется тогда, когда $(x ∕∈ P)∧ (x∈∕Q )$ равно 1. Это происходит, когда $x$ принадлежит интервалам: $(− ∞; 15) ∪(39;44)∪ (57;∞ )$ (красная область на рисунке).

Но отрезок $A$ должен быть таким, чтобы $x$ ему не пренадлежал. Это отрезки $P$ или $Q$ . Наибольшая длина отрезка $A$ будет достигаться, когда он равен $P$ , то есть $[15;39]$ . Его длина $39− 15 = 24$ .

Решение программой:

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(15, 39 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(44, 57 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 0  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in a) <= (x in p)) or (x in q)) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#63000Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [10,32]$ и $Q = [18,45]$ . Найдите наименьшую возможную длину отрезка $A$ , при котором формула

((x ∈ P )∧ ¬(x ∈ A )) → ¬(x ∈ Q )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Решение руками:

Упростим выражение, раскрыв импликацию:

(x ∕∈ P )∨(x ∈ A)∨ (x ∕∈ Q)

Найдем случаи, когда выражение ложно. Для этого сделаем отрицание известной части и посмотрим, где оно дает истину:

(x ∈ P )∧ (x ∈ Q)

Отсюда следует, что инверсия дает истину когда x принадлежит одновременно и P, и Q. То есть, в этих ситуациях исходное выражение ложно, значит нужно подобрать такой отрезок A , чтобы «перекрыть» эту часть. Это будет отрезок $[18,32]$ . Значит, наименьшая длина $32− 18 = 14$ .

Решение программой:

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(10, 32 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(18, 45 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in p) and (not (x in a))) <= (not (x in q))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#63924Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [10,35]$ и $Q = [45,78]$ . Найдите наибольшую возможную длину отрезка $A$ , при котором формула

(x ∈ A ) → ((x ∈ P )∧ ¬(x ∈ Q ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых $x$ .

Показать ответ и решение

Решение руками

Преобразуем выражение раскрыв импликацию:

(x ∕∈ A)∨ ((x ∈ P)∧ ¬(x ∈ Q))

Построим известную часть на числовой прямой:

$PIC$

По рисунку видно, что "перекрыта"только часть прямой на отрезке [10, 35], тогда чтобы НЕ A "перекрывала"остальную часть, необходимо чтобы отрезок A полностью лежал внутри этого отрезка. Тогда наибольшая возможная длина отрезка A это 35 - 10 = 25.

Получается ответ: $25.$

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(10, 35 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(45, 78 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 0  # Наибольшая длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        c = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 500):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if ((x in a) <= ((x in p) and (not (x in q)))) == 0:
                c = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if c == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#64022Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 17] и Q = [13, 23]. Найдите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула

((x ∈ A) → (x ∈ P))∨ (x ∈ Q )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Показать ответ и решение

Решение руками

Первым шагом раскроем импликацию:

(x ∕∈ A) ∨(x ∈ P )∨ (x ∈ Q)

Инвертируем известную часть, чтобы понять при каких $x$ выражение ложно:

((x∈∕P )∧ (x ∕∈ Q))

Это выражение истино (а исходное соответственно ложно), когда $x$ не принадлежит отрезку $Q$ , и не принадлежит отрезку $P$ одновременно. Это будут $x ∈ (− ∞; 5)∪ (23;+ ∞ )$ . Чтобы исходное выражение было истино при любом $x$ необходимо «перекрыть» областью $¬A$ как минимум эту область. Тогда отрезок $A$ будет $[5;23]$ или меньне, но в этих границах. Так как в задании просят найти максимальную длину, то $A = [5;23]$ , а его длина $23 − 5 = 18$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора максимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 0: в неё будет записан наш ответ. Далее создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она больше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(5, 17 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(13, 23 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 0  # Наибольшая длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        c = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (((x in a) <= (x in p)) or (x in q)) == 0:
                c = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if c == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = max(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#87943Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [15,44]$ и $Q = [20,46]$ . Отрезок A таков, что формула

(x ∈ P) −→ ((¬(x ∈ Q )∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ P ))

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х. В ответе укажите наименьшую длину отрезка A.

Показать ответ и решение

Руками:

Заменим импликацию на отрицание первого или второе:

¬(x ∈ P )∨ (((x ∈ Q )∨ (x ∈ A))∨ ¬(x ∈ P ))

Избавимся от скобок и от повторяющейся $¬(x ∈ P )$ :

¬ (x ∈ P)∨ (x ∈ Q )∨ (x ∈ A)

Найдем случаи, когда известная часть равна 0 и тогда мы узнаем какой должен быть отрезок А для того чтобы выражение было тождественно истинным. Для этого запишем её отрицание:

(x ∈ P )∧ (x ∕∈ Q)

Оно равно 1 если x находится в P и при этом не находится в Q. Это отрезок [15;19]. Его длина равна 4.

Ответ: 4

Прогой:

Для нахождения наименьшей длины отрезка $A$ , при котором выражение

(x ∈ P) −→ ((¬(x ∈ Q )∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ P ))

тождественно истинно для всех натуральных $x$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы перебрать все возможные отрезки $A = [a1,a2]$ с $1 ≤ a1 < a2 ≤ 500$ . Для каждого отрезка создаём список всех целых чисел $x$ внутри $A$ . Далее проверяем истинность формулы для всех $x$ от 1 до 499. Если хотя бы для одного $x$ формула ложна, текущий отрезок $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $x$ , вычисляем длину $A$ и обновляем минимальное найденное значение. В конце цикла минимальное значение длины отрезка $A$ будет ответом.

p = [i for i in range(15, 45)]  # список всех целых чисел в отрезке P
q = [i for i in range(20, 47)]  # список всех целых чисел в отрезке Q
mn = 10**10  # переменная для хранения минимальной длины A
# перебор всех возможных левых концов отрезка A
for a1 in range(1, 500):
    # перебор всех возможных правых концов отрезка A, строго больше a1
    for a2 in range(a1+1, 501):
        c = 0  # флаг: 0 - выражение истинно для всех x, 1 - найдена ложь
        a = [i for i in range(a1, a2)]  # список всех чисел в текущем отрезке A
        # проверка формулы для всех x от 1 до 499
        for x in range(1, 500):
            if ((x in p) <= ((not(x in q) and not(x in a)) <= (not(x in p)))) == False:
                c = 1
                break  # если ложь, прекращаем проверку текущего A
        # если выражение истинно для всех x, обновляем минимальную длину
        if c == 0:
            mn = min(len(a)-1, mn)
print(mn)  # выводим наименьшую длину подходящего отрезка A

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#87944Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [10,40]$ и $Q = [18,56]$ . Отрезок A таков, что формула

¬(¬((x ∕∈ A) → ((x ∈ P) → (x ∈ Q ))))

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х. В ответе укажите наименьшую длину отрезка A.

Показать ответ и решение

Решение руками:

Раскроем скобки:

¬(¬((x ∈ A )∨ (x ∕∈ P)∨ (x ∈ Q )))

(x ∈ A) ∨(x ∕∈ P )∨ (x ∈ Q)

Отрицаем известную часть:

(x ∈ P )∧ (x ∕∈ Q)

Получаем, что нам подходит отрезок: [10; 17]. Его длина $17− 10 = 7$ .

Решение программой:

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка $A$ (от 1 до 100) и проверке, что при всех значениях переменной $x$ (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение $x$ , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка $A$ и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки $P$ и $Q$ при помощи функции range(), а также ввести переменную $r$ , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка $A$ . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок $A$ при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной $x$ . Если выражение ложно хотя бы для одного $x$ , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка $A$ : присваиваем его длину $r$ , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(10, 40 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(18, 56 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 100):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 101):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if (not (not ((x not in a) <= ((x in p) <= (x in q))))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#136843Максимум баллов за задание: 1

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [25;64]$ и $Q = [40,115]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что логическое выражение