15.06 Смешанное

Аналитическое решение

Для того, чтобы решить данную задачу, найдём отрицание известной части (которая не зависит от ). Получим:

Найдём, при каких значениях и будут выполняться оба этих условия и :

Все найденные пары должны давать истину в неизвестной части (которая зависит от ), то есть давать истину для одного условий или . Исходя из найденных пар, можно из 3 первых пар сверху брать для условия, тогда будет истина при . Для последующих пар можно брать для условия, тогда будет истина при . Таким образом, нужно, чтобы выполнялось условие , а значит наименьшее подходящее значение равно 19

Решение программой

Мы решаем задачу перебором, чтобы найти наименьшее число , при котором заданное логическое выражение верно для всех неотрицательных целых и . Идея решения заключается в следующем:

1. Мы перебираем возможные значения от 0 до 999, чтобы гарантировать, что подходящее будет найдено.

- Для каждого значения мы предполагаем, что оно подходит, и создаём логический флаг flag, который изначально равен True.

2. Для каждого мы перебираем все значения от 0 до 999 с помощью цикла for x in range(1000).

- Для каждого мы перебираем все значения от 0 до 999 с помощью вложенного цикла for y in range(1000).

- Для каждой пары мы вычисляем логическое выражение

- Если выражение оказывается ложным (т.е. оператор not возвращает True), значит данная пара нарушает тождественность. В этом случае мы устанавливаем flag = False и прерываем внутренний цикл по , так как проверка для остальных уже не нужна.

- После прерывания внутреннего цикла, если flag равен False, мы прерываем цикл по , так как текущее не подходит.

3. Если после проверки всех и флаг flag остался равен True, это значит, что выражение истинно для всех пар при текущем . Мы выводим это как наименьшее и завершаем перебор с помощью оператора break.

Таким образом, программа гарантированно находит наименьшее целое , при котором формула тождественно истинна для всех неотрицательных и .

# Перебираем все возможные значения A от 0 до 999
for A in range(1000):
    # Предполагаем, что текущее A подходит
    flag = True
    # Перебираем все возможные значения x от 0 до 999
    for x in range(1000):
        # Перебираем все возможные значения y от 0 до 999
        for y in range(1000):
            # Проверяем выражение: если оно ложно для текущих x и y
            if not((x < A) or (y < A) or ((x * y) % 4 == 0) or (2 * x + 3 * y != 100)):
                # Устанавливаем флаг в False, так как найден случай, где выражение ложно
                flag = False
                # Прерываем цикл по y, проверка остальных значений y не нужна
                break
        # Если флаг False, прерываем цикл по x, текущее A не подходит
        if not(flag):
            break
    # Если выражение истинно для всех x и y, выводим текущее A и завершаем перебор
    if flag:
        print(A)
        break

Решение аналитикой

Запишем мечты врагов:

Обратим внимание, что максимальный икс, который мы можем взять, исходя из условия задачи, равен .

Враги мечтают, чтобы делился на и был меньше или равен , а также соответствовал маске __ (исходя из маски понимаем, что числа будут четные), значит будут брать из диапазона {}, которые еще должны соответствовать маске __.

Тогда друзья говорят, что . Максимальное , которое будут брать враги — (удовлетворяет всем условиям), значит .

Решение программой

Мы решаем задачу перебором для нахождения наибольшего целого , при котором заданное логическое выражение верно для всех целых чисел от 1 до 1000. Идея решения следующая:

1. Сначала мы определяем функцию f(x), которая проверяет истинность логического выражения для конкретного значения при текущем .

- Внутри функции используем стандартные операторы Python: % для проверки делимости на 3 и 7, & для побитовой конъюнкции, логические операторы and, or, <= и != для точного соответствия условиям задачи.

- Функция возвращает True, если выражение верно для данного , и False, если выражение ложно.

2. Далее перебираем возможные значения от 1 до 999 с помощью цикла for A in range(1, 1000).

- Для каждого создаём логический флаг flag, который изначально равен True. Этот флаг будет показывать, выполняется ли выражение для всех при текущем .

3. Для каждого перебираем все значения от 1 до 1000 с помощью цикла for x in range(1, 1001).

- Проверяем логическое выражение через функцию f(x).

- Если функция возвращает False для хотя бы одного , значит текущий не подходит. В этом случае устанавливаем flag = False и прерываем цикл по , так как дальнейшая проверка для других уже не имеет смысла.

4. После проверки всех , если flag остался True, это означает, что выражение истинно для всех при текущем .

- В этом случае обновляем переменную ans максимальным значением между текущим и уже найденным ans.

5. После завершения перебора всех выводим значение ans, которое будет максимальным целым , удовлетворяющим условию тождественной истинности.

# Функция проверяет истинность логического выражения для конкретного x
def f(x):
    # Возвращаем результат проверки: если x делится на 3 и 7,
    # тогда проверяем условие побитовой конъюнкции и A*x <= 120834
    return (((x % 3 == 0) and (x % 7 == 0)) <= \
        (((x & 13 != 0) or (x & 32 == 0)) or (A * x <= 120834)))

# Переменная для хранения максимального подходящего A
ans = 0

# Перебор возможных значений A от 1 до 999
for A in range(1, 1000):
    # Флаг True означает, что выражение выполняется для всех x
    flag = True
    # Перебираем все значения x от 1 до 1000
    for x in range(1, 1001):
        # Если выражение ложно для текущего x, обновляем флаг и прерываем цикл
        if not f(x):
            flag = False
            break
    # Если выражение истинно для всех x, обновляем максимум
    if flag:
        ans = max(ans, A)

# Выводим максимальное подходящее значение A
print(ans)

Решение аналитикой
Система для врагов:

Раскроем последнее неравенство системы: и , то есть и , то есть . Враги мечтают, чтобы (в и в ), и при этом они не делились на . Таким образом, чтобы победить, враги будут брать только следующие иксы: . Также враги мечтают, чтобы . Максимальный икс, который могут взять друзья, равен , то есть , а минимальный икс = , то есть . Отсюда заметим, что ни один икс, подходящий врагам, не содержит единичку в пятом с конца разряде в двоичной записи. Тогда мечты врагов такие: «Вот бы у числа была единичка в первом, втором, третьем, четвёртом или шестом с конца разряде в двоичной записи».

Друзья говорят: «Нет, число не содержит единичку ни на одном из этих разрядов». Минимальное , которое могут взять друзья, равно , то есть .

Решение программой

Мы решаем задачу перебором, чтобы найти наименьшее число , при котором заданное логическое выражение верно для любого целого числа . Идея решения заключается в следующем:

1. Мы создаём функцию f(x, A), которая проверяет истинность формулы для конкретного и . - Внутри функции задаём отрезки Q = [12, 48] и P = [32, 64]. - Возвращаем результат логического выражения: число делится на 5 (x%5==0) или не принадлежит (not inn(x, Q)) или поразрядная конъюнкция с равна нулю (x&A==0) или импликация для ((inn(x, P) <= (abs(x-31)>=17))).

2. Для проверки принадлежности числа отрезку или определяем вспомогательную функцию inn(x, P), которая возвращает True, если , и False иначе.

3. Мы перебираем все значения от 1 до 999 с помощью цикла for A in range(1, 1000): - Для каждого устанавливаем флаг flag = True, предполагая, что текущий подходит. - Перебираем все значения от -1000 до 999 с помощью вложенного цикла for x in range(-1000, 1000). - Если для текущего функция f(x, A) возвращает False, устанавливаем flag = False и прерываем цикл по , так как это не подходит.

4. Если после проверки всех флаг flag остался равен True, это значит, что выражение истинно для всех при текущем . Мы выводим этот как наименьший и завершаем перебор с помощью break.

Таким образом, программа гарантированно находит наименьшее целое , при котором формула тождественно истинна для любого целого .

# Функция проверяет истинность формулы для конкретного x и A
def f(x, A):
    # Определяем отрезки Q и P
    Q = [12, 48]
    P = [32, 64]
    # Проверяем выражение: делимость на 5 или не принадлежность Q или поразрядная конъюнкция с A равна нулю
    # или импликация для P
    return ((x % 5 == 0) or (not inn(x, Q)) or (x & A == 0) or ((inn(x, P)) <= (abs(x - 31) >= 17)))

# Вспомогательная функция для проверки принадлежности x отрезку P
def inn(x, P):
    return P[0] <= x <= P[1]

# Перебираем все возможные значения A от 1 до 999
for A in range(1, 1000):
    # Предполагаем, что текущее A подходит
    flag = True
    # Перебираем все значения x от -1000 до 999
    for x in range(-1000, 1000):
        # Если выражение ложно для текущего x и A
        if not f(x, A):
            # Устанавливаем флаг в False, так как найден случай, где выражение ложно
            flag = False
            # Прерываем цикл по x, текущее A не подходит
            break
    # Если выражение истинно для всех x, выводим текущее A и завершаем перебор
    if flag:
        print(A)
        break

Решение 1 (ручками):

Система для врагов:

Разберём мечты врагов:

, то есть .

, то есть (объединяя с первым условием)

, то есть (предыдущие два условия уже учли третье)

, то есть (учитывая три предыдущих условия)

Теперь рассмотрим последнюю мечту: . Поскольку мы знаем все иксы, которые будут выбирать враги, переведём их в двоичную систему счисления:

Таким образом, мечты врагов такие: «Вот бы на любом из последних шести разрядов в двоичной записи у числа была единичка».

Друзья говорят: «Нет, любая из последних шести цифр числа в двоичной записи равна нолику». Таким образом, .

Решение программой

Мы решаем задачу перебором, чтобы найти наименьшее натуральное число , при котором заданное логическое выражение верно для любого целого . Идея решения заключается в следующем:

1. Мы определяем вспомогательную функцию inn(x, A), которая проверяет принадлежность числа отрезку .

- Функция возвращает True, если находится между и включительно, иначе False.

- Это позволяет легко проверять часть выражения .

2. Далее мы определяем основную функцию f(x, A), которая вычисляет логическое выражение для конкретного и текущего кандидата .

- Внутри функции мы задаём множество и отрезок .

- Логическое выражение реализуем через Python:

      - проверяем, делится ли на 3 (x % 3 != 0)

      - проверяем, что не принадлежит множеству (not (x in S))

      - проверяем вложенное условие через функцию inn(x, Q)

      - проверяем, выполняется ли

- Используем логический оператор <= для импликации, так как в Python можно записать как not p or q, или используя оператор сравнения <= с логическими значениями.

3. После этого мы перебираем все возможные значения от 1 до 999 с помощью цикла for A in range(1, 1000).

- Для каждого предполагаем, что оно подходит, и создаём логический флаг flag = True.

4. Для текущего проверяем все значения от -100 до 999 (чтобы учесть отрицательные значения) с помощью цикла for x in range(-100, 1000).

- Для каждого вызываем функцию f(x, A).

- Если выражение ложно для хотя бы одного , устанавливаем flag = False и прерываем цикл, так как текущее не подходит.

5. Если после проверки всех флаг flag остался равен True, это значит, что выражение тождественно истинно для всех при текущем .

- В этом случае выводим как наименьшее и прерываем внешний цикл с помощью break.

Таким образом, программа гарантированно находит наименьшее натуральное число , при котором выражение истинно для любого целого .

# Функция проверяет принадлежность числа x отрезку A
def inn(x, A):
    return A[0] <= x <= A[1]

# Функция проверяет выполнение логического выражения для конкретного x и A
def f(x, A):
    # Задаем множество S и отрезок Q
    S = {45, 23, 67}
    Q = [12, 48]
    # Вычисляем логическое выражение по условию задачи
    return (((x % 3 != 0) and (not (x in S))) <=
    ((abs(x - 50) <= 7) <= (inn(x, Q))) or (x & A == 0))

# Перебираем все возможные значения A от 1 до 999
for A in range(1, 1000):
    # Предполагаем, что текущее A подходит
    flag = True
    # Перебираем все значения x от -100 до 999
    for x in range(-100, 1000):
        # Если выражение ложно для текущего x
        if not f(x, A):
            # Устанавливаем флаг в False и прерываем цикл
            flag = False
            break
    # Если выражение истинно для всех x, выводим A и завершаем перебор
    if flag:
        print(A)
        break

Решение аналитикой

Запишем мечты врагов:

Рассмотрим мечты врагом из совокупности отдельно:

Враги хотят, чтобы , то есть , но так как мы берем только натуральные иксы, то .

Враги хотят, чтобы и был кратен или . Тогда они будут брать из промежутка , кратные или , и по условию нас интересуют натуральные иксы, значит .

Так как условия и указаны в совокупности, значит врагам подойдут иксы, находящиеся в объединении множеств первого и второго условия.

Поэтому враги мечтают, чтобы и чтобы .

Друзья говорят: «Нет, все эти иксы не принадлежат ». Тогда друзья могут взять, например, или или . Наибольшую длину имеет , его длина = .

Решение программой

Мы решаем задачу перебором, чтобы найти промежуток максимальной длины, при котором заданное логическое выражение верно для всех натуральных . Идея решения заключается в следующем:

1. Мы реализуем функцию inn(x, A), которая проверяет, принадлежит ли число отрезку .

- Функция возвращает True, если , и False в противном случае.

2. Мы реализуем функцию f(x, A), которая вычисляет логическое выражение для заданного и промежутка .

- Задаём отрезки и .

- Проверяем четыре условия внутри выражения:

      - и , что соответствует отрицанию делимости на 4.5 и на 3.

      - , проверка принадлежности отрезку с помощью функции inn.

      - , проверка принадлежности отрезку .

      - или , аналогично через inn.

- Все эти проверки объединяются через логические and и or, точно повторяя структуру исходного выражения.

3. Мы задаём переменные для хранения ответа: - ans — максимальная длина найденного промежутка , изначально 0. - borders — список из двух элементов, хранящий левую и правую границы промежутка . - n — множитель для перехода от дробных значений к целым при переборе, чтобы избежать проблем с шагом цикла.

4. Основной перебор промежутков :

- Для левой границы от до :

      - Для правой границы от до :

         - Создаём текущий промежуток .

         - Предполагаем, что этот промежуток подходит, устанавливаем flag = True.

         - Перебираем все натуральные от 1 до :

         - Вычисляем f(x, A).

         - Если функция возвращает False, значит нарушает тождественность, устанавливаем flag = False и прерываем цикл по .

      - После проверки всех , если flag = True и длина промежутка больше текущего ans, обновляем ans и границы в borders.

5. После завершения перебора выводим borders — левую и правую границы максимального промежутка , и ans — его длину.

# Функция проверки принадлежности x промежутку A
def inn(x, A):
    return A[0] <= x <= A[1]

# Функция проверки логического выражения для x и промежутка A
def f(x, A):
    P = [15, 23]
    Q = [17, 34]
    return (((x % 4.5 != 0) and (x % 3 != 0) or (not inn(x, Q)) \
         or (not inn(x, A))) and (inn(x, P) or (not inn(x, A))))

# Инициализация переменных для хранения максимальной длины и границ
ans, n = 0, 15
borders = [0 ,0]

# Перебор всех возможных левых границ a
for a in range(1 * n, 70 * n):
    # Перебор всех возможных правых границ b, не меньше a
    for b in range(a, 70 * n):
        # Создаём текущий промежуток A
        A = [a / n, b / n]
        # Предполагаем, что промежуток подходит
        flag = True
        # Перебираем все натуральные x
        for x in range(1, 70 * n):
            # Проверяем выполнение логического выражения
            if not f(x, A):
                # Если найдено нарушение, устанавливаем флаг False
                flag = False
                # Прерываем перебор x
                break
        # Если промежуток подходит и длина больше текущей, обновляем ans и границы
        if flag:
            if A[1] - A[0] > ans:
                ans = A[1] - A[0]
                borders[0] = A[0]
                borders[1] = A[1]

                                                                                                     
                                                                                                     
# Выводим границы и длину максимального промежутка A
print(borders)
print(ans)

Видим, что программа вывела промежуток и его длину .

Значит, ответом является промежуток с дробными границами, левая граница которого стремится к , а правая к , тогда длина стремится к .

Решение аналитикой

Система для врагов:

Враги мечтают, чтобы , и . Тогда при единственные , которые смогут взять враги, чтобы условие выполнялось, будут равны и . Заметит, что при увеличении враги смогут брать больше вариантов , но всегда максимальное значение . Все натуральные не принадлежат , значит условие автоматически выполнено. Мечты врагов такие: «Вот бы ».

Друзья говорят: «Нет, ». Тогда при условии, что правая граница отрезка не больше , (чтобы даже ), а его максимальная длина равна .

Решение программой

Мы решаем задачу перебором, чтобы найти максимальную длину промежутка , при которой заданное логическое выражение верно для всех натуральных и . Идея решения заключается в следующем:

1. Мы создаём вспомогательную функцию inn(x, A), которая проверяет, принадлежит ли число промежутку .

- Функция возвращает True, если , иначе False.

2. Мы создаём функцию f(x, y, A), которая вычисляет логическое выражение для конкретной пары и заданного промежутка :

- Множество задаём как S = {23, 27, 45, 46, 47, 67}.

- Проверяем условие:

      - если не делится на 3 и , тогда влечёт ,

      - либо ,

      - либо не в ,

      - либо не в .

- Все эти условия объединяем логическим or, чтобы получить итоговое значение функции.

3. Для поиска максимальной длины промежутка используем масштабирование, чтобы работать с дробными значениями промежутка:

- Задаём n = 5 — делитель для дробного шага.

- Переменная ans хранит текущую максимальную длину промежутка.

4. Перебор всех возможных промежутков:

- Цикл for a in range(1 * n, 50 * n) перебирает левую границу с шагом .

- Цикл for b in range(a, 50 * n + 1) перебирает правую границу так, чтобы .

- Промежуток задаём как A = [a / n, b / n].

- Для каждого промежутка устанавливаем flag = True, предполагая, что промежуток подходит.

5. Проверка логического выражения для всех и в разумных диапазонах:

- Внешний цикл for x in range(1, 100) перебирает .

- Внутренний цикл for y in range(1, 15) перебирает .

- Если выражение f(x, y, A) ложно, устанавливаем flag = False и прерываем внутренний цикл.

- Если flag стал False, прерываем цикл по , так как промежуток не подходит.

6. Если после всех проверок flag = True, обновляем ans, используя ans = max(ans, A[1] - A[0]).

7. В конце выводим максимальную найденную длину промежутка .

# Функция проверяет, принадлежит ли x промежутку A
def inn(x, A):
    return A[0] <= x <= A[1]

# Функция вычисляет логическое выражение для x, y и A
def f(x, y, A):
    S = {23, 27, 45, 46, 47, 67}
    return (((x % 3 != 0) and (not y in S)) <= ((x > 7) <= (y > 11))) \
        or (x * y <= 76) or (not inn(x, A)) or (not inn(y, A))

# Масштабирование для дробного шага
n = 5
# Переменная для хранения максимальной длины промежутка
ans = 0

# Перебор возможных левых границ промежутка
for a in range(1 * n, 50 * n):
    # Перебор возможных правых границ промежутка
    for b in range(a, 50 * n + 1):  # +1 чтобы проверить саму точку b
        # Задаём промежуток A
        A = [a / n, b / n]
        # Предполагаем, что промежуток подходит
        flag = True
        # Проверяем все x от 1 до 99
        for x in range(1, 100):
            # Проверяем все y от 1 до 14
            for y in range(1, 15):
                # Если выражение ложно для текущих x и y
                if not f(x, y, A):
                    # Устанавливаем флаг в False
                    flag = False
                    # Прерываем цикл по y
                    break
            # Если флаг False, прерываем цикл по x
            if not flag:
                break
        # Если выражение истинно для всех x и y, обновляем максимальную длину
        if flag:
                                                                                                     
                                                                                                     
            ans = max(ans, A[1] - A[0])
# Выводим максимальную длину подходящего промежутка
print(ans)

Решение 1 (ручками):
Система для врагов:

Враги мечтают, чтобы (в ) и при этом они делились на . Таким образом, единственный подходящий на отрезке , делящийся на , равен . Тогда мечты врагов такие: «Вот бы , равный , не делился на ».

Друзья говорят: «Нет, делится на ». Максимальное равно максимальному делителю числа , то есть . Это и есть ответ.

Решение программой

Мы решаем задачу перебором, чтобы найти наибольшее число , при котором заданное логическое выражение верно для всех натуральных чисел . Идея решения заключается в следующем:

1. Мы определяем вспомогательную функцию inn(x, B), которая проверяет принадлежность числа отрезку .

- Функция возвращает True, если больше или равно левому концу отрезка и меньше или равно правому концу .

- Иначе возвращается False.

2. Мы определяем основную функцию f(x, A), которая проверяет истинность формулы для конкретного и .

- Логическое выражение переводится в Python как (x % A != 0) <= (inn(x, B) <= (x % 15 != 0)).

- Здесь оператор <= используется для имитации импликации: если левая часть ложна или правая часть истина, то выражение истинно.

3. Далее мы перебираем все возможные значения от 1 до 299 с помощью цикла for A in range(1, 300).

- Для каждого мы предполагаем, что оно подходит, и создаём логический флаг flag = True.

- Для проверки тождественной истинности выражения для всех , мы перебираем от 1 до 499 с помощью вложенного цикла for x in range(1, 500).

- Для каждого вызываем функцию f(x, A).

      - Если функция возвращает False, это значит, что формула ложна для данного .

      - В этом случае устанавливаем flag = False и прерываем внутренний цикл по , так как проверка для остальных значений не нужна.

4. После завершения проверки всех , если flag остался равен True, это значит, что формула верна для всех при текущем . Мы обновляем переменную maxim, которая хранит наибольшее подходящее .

5. В конце перебора выводим значение maxim — наибольшее , для которого формула тождественно истинна.

# Функция проверяет принадлежность числа x отрезку B
def inn(x, B):
    # Возвращаем True, если x принадлежит отрезку [B[0], B[1]]
    return B[0] <= x <= B[1]

# Функция проверяет истинность формулы для конкретного x и A
def f(x, A):
    B = [50, 70]  # Задаем отрезок B
    # Формула в Python: импликация через <=
    return (x % A != 0) <= (inn(x, B) <= (x % 15 != 0))

# Переменная для хранения наибольшего подходящего A
maxim = 0

# Перебор возможных значений A от 1 до 299
for A in range(1, 300):
    # Предполагаем, что текущее A подходит
    flag = True
    # Проверяем формулу для всех x от 1 до 499
    for x in range(1, 500):
        # Если формула ложна для текущего x
        if not(f(x, A)):
            # Устанавливаем флаг в False
            flag = False
            # Прерываем цикл по x, текущее A не подходит
            break
    # Если выражение истинно для всех x, обновляем наибольшее подходящее A
    if flag:
        maxim = A

# Выводим наибольшее подходящее A
print(maxim)

Запишем, чего хотят враги:

Исходя из этого уменьшим поиск по нечетным и четным значениям соответственно:

Решение (прогой, работает пару минут):

Пройдёмся по большому диапазону чисел (от 1 до 10000), этого хватит для нахождения нужного A. Переберём x и у в не менее большом диапазоне. Если x умноженный на y делится на А, значит переменную-флаг можно ставить на False, ведь такое число нам не подойдёт. Пройдёмся в точности по условию, прописанному в начале решения. Проверим все чётные y (меньше или равные 4095), все нечётные x и сделаем так, чтобы x был изначально 5, а y 2, что обеспечивает проверку третьего условия. Таким образом мы пройдёмся по всем запрещённым случаям и выясним, подходит ли под них A. Выведем первое подходящее.

# Перебор А
for A in range(1, 10000):
    flag = True # Флаг для проверки условий, он будет True, если всё соблюдено
    for x in range(5, (4095 + 1) * 2 + 1, 2): # Перебор х согласно условиям 3 и 5
        for y in range(2, 4095 + 1, 2): # Перебор у согласно условиям 2, 3 и 4
            if x * y % A == 0: # Проверка условия 1
                flag = False # Если условие нарушено - А не подходит
                break
        if not flag: # Если условие нарушено - А не подходит
            break
    if flag: # Если все проверки пройдены - выводим А
        print(A)
        break

Решение (ручками):

Повторим, чего хотят враги:

Друзья хотят, чтобы выполнялось условие при всех хотелках врага. Соответственно, нужно понять, когда же произведение не будет делиться на .

Исходя из хотелок врага мы понимаем, что будут подбираться такие , чтобы они делились на . Это значит, что будет содержать внутри себя делители хотя бы одного набора . Наша задача — предоставить такое , чтобы при любом произведении там не было такого делителя, что и в .

Заметим, что — четные числа. Значит, в самых больших будет содержаться максимум умноженное на что-то. Тогда, чтобы минимизировать возьмем (т.к. в степени что-то будет явно меньше, чем числа большие в степени что-то).

Решение руками:

Сначала проанализируем высказывание целиком. Дана импликация, она дает 0 только в том случае, когда из 1 следует 0. Определим, когда левая часть высказывания дает 1 – когда принадлежит отрезку . Значит, все эти иксы должны давать 1 в левой части.

Рассмотрим левую для : высказывание ДЕЛ дает истину для всех отрезка, кроме и , следовательно, нужно подобрать такое , которое будет давать истину в высказываниии ДЕЛ для этих двух значений.

Чтобы найти такое наибольшее нужно определить наибольший общий делитель чисел 42 и 63. Это число 21.

Решение программой:

Для того чтобы найти наибольшее значение , при котором выражение

тождественно истинно для всех , мы используем перебор.

Основная идея состоит в том, что мы будем поочерёдно проверять возможные значения , начиная с большого и уменьшая его. Для каждого мы должны убедиться, что для всех условие выполняется.

1. Сначала мы формируем список всех чисел, входящих в отрезок , то есть от 35 до 65 включительно. Для этого применяем генератор списка [i for i in range(35, 66)], где функция range(35, 66) создаёт числа от 35 до 65.

2. Далее мы запускаем цикл for a in range(100, 1, -1), который перебирает все целые числа от 100 до 2 включительно в порядке убывания. Мы начинаем с больших значений , чтобы при первой же полной проверке найти максимально возможное.

3. Внутри цикла для каждого мы создаём переменную-флаг f = 0, которая отвечает за то, корректно ли выполняется условие для данного . Если флаг изменится на 1, значит, найдено нарушение.

4. Дальше мы перебираем переменную в диапазоне range(1, 300), то есть от 1 до 299. В этом цикле мы проверяем для каждого , выполняется ли логическое выражение:

- условие проверяется с помощью (x in b),

- условие проверяется через x % 21 != 0, так как операция % возвращает остаток от деления, и если остаток не равен 0, то число не делится,

- условие проверяется через x % a == 0, то есть остаток от деления равен нулю.

Таким образом, вся проверка реализована как (x in b) <= (x % 21 != 0 or x % a == 0). Здесь символ <= играет роль импликации: если x in b истинно, то должно выполняться хотя бы одно из условий справа.

5. Если для какого-то выражение оказалось ложным, то есть результат сравнения равен False, мы присваиваем f = 1 и прерываем цикл. Это означает, что данное не подходит.

6. Если после полного перебора всех флаг f остался равным 0, значит, выражение истинно для всех . Тогда мы печатаем текущее значение и прерываем цикл, так как оно гарантированно является наибольшим подходящим .

Таким образом, программа методом перебора проверяет все кандидаты на и выбирает максимальный из них.

# формируем список чисел из отрезка [35; 65]
b = [i for i in range(35, 66)]

# перебираем кандидаты для A от 100 до 2 (включительно), в обратном порядке
for a in range(100, 1, -1):
    # флаг: 0 - условие выполняется для всех x, 1 - найдено нарушение
    f = 0
    # перебор значений x от 1 до 299
    for x in range(1, 300):
        # проверка импликации: (x in B) -> (x не делится на 21 или x делится на A)
        if ((x in b) <= (x % 21 != 0 or x % a == 0)) == False:
            # если найдено нарушение, ставим флаг = 1 и прерываем цикл
            f = 1
            break
    # если для данного a не было нарушений, выводим результат и останавливаем программу
    if f == 0:
        print(a)
        break

Решение программой

Мы используем перебор для нахождения наименьшего отрезка , при котором формула будет истинна для всех натуральных . Основная идея решения заключается в том, чтобы перебрать все возможные отрезки , проверить для каждого из них выражение для всех от 1 до некоторого достаточно большого числа (например, 500) и выбрать отрезок минимальной длины, при котором выражение выполняется для всех значений .

1. Сначала мы задаём отрезок в виде списка всех натуральных чисел от 36 до 51 включительно:

- Используем генератор списка [i for i in range(36, 52)], где 52 – это верхняя граница диапазона +1, так как range исключает верхний предел.

2. Создаём переменную mn, которая будет хранить минимальную длину подходящего отрезка , и инициализируем её очень большим числом (), чтобы любое найденное значение было меньше: - mn = 10**10

3. Запускаем двойной цикл для перебора всех возможных отрезков :

1. Внешний цикл пробегает левый конец отрезка a1 от 1 до 249 включительно.

2. Внутренний цикл пробегает правый конец отрезка a2 от a1+1 до 250 включительно, чтобы гарантировать, что не пуст.

3. Для каждой пары (a1, a2) создаём список a – все целые числа от a1 до a2-1 включительно:

- a = [i for i in range(a1, a2)]

4. Для текущего отрезка проверяем выполнение формулы для всех от 1 до 499:

- Инициализируем флаг f = 0, который сигнализирует о нарушении тождественной истины.

- Для каждого проверяем логическое выражение:

Здесь мы используем Python-подстановку, где <= между булевыми значениями работает как импликация: .

- Если выражение ложно для хотя бы одного , устанавливаем f = 1 и прерываем цикл по .

5. Если флаг f остался равным 0, значит для всех формула выполняется:

- Вычисляем длину отрезка как len(a)-1, так как длина отрезка = количество промежутков между целыми числами.

- Обновляем минимальное значение mn через mn = min(len(a)-1, mn).

6. После проверки всех возможных отрезков выводим mn – наименьшую возможную длину отрезка , при которой формула тождественно истинна.

# Задаём отрезок B как список чисел от 36 до 51 включительно
b = [i for i in range(36, 52)]

# Инициализируем минимальную длину подходящего A очень большим числом
mn = 10**10

# Перебираем все возможные левые границы отрезка A
for a1 in range(1, 250):
    # Перебираем все возможные правые границы отрезка A
    for a2 in range(a1+1, 251):
        # Флаг для проверки, нарушается ли формула для хотя бы одного x
        f = 0
        # Формируем список всех чисел от a1 до a2-1
        a = [i for i in range(a1, a2)]
        # Проверяем формулу для всех x от 1 до 499
        for x in range(1, 500):
            # Вычисляем значение логической формулы
            if ((x in a) or ((x in b) <= (x % 5 != 0))) == False:
                # Если формула ложна, устанавливаем флаг и прерываем цикл по x
                f = 1
                break
        # Если формула верна для всех x
        if f == 0:
            # Вычисляем длину отрезка A как количество промежутков между целыми числами
            mn = min(len(a)-1, mn)

# Выводим наименьшую длину отрезка A
print(mn)

Решение программой

Мы будем использовать перебор для нахождения минимального , при котором логическая формула всегда истинна. Для этого последовательно проверим все натуральные числа начиная с 1 и для каждого проверим выполнение формулы для всех значений от 0 до достаточно большого числа (например, 10000).

1. Запишем формулу в Python:

- Проверка делимости на 5: x % 5 != 0 соответствует ДЕЛ.

- Исключение чисел 25, 50, 55: x not in [25, 50, 55].

- Условие попадания в отрезок около 41: abs(x - 41) <= 11.

- Проверка принадлежности : 30 <= x <= 51.

- Поразрядное И с : x & A != 0.

- Импликация записывается как <= между булевыми выражениями.

- Полная формула в Python для конкретного и :

((x % 5 != 0 and x not in [25, 50, 55]) <= (((abs(x - 41) <= 11) <= (30 <= x <= 51)) or (x & A != 0)))

2. Перебор всех возможных :

- Запускаем цикл for a in range(1, 1000):, где a — кандидат на минимальное .

- Инициализируем флаг f = 0, который показывает, нарушена ли формула для текущего .

3. Проверка формулы для всех :

- Для каждого в диапазоне range(10000) проверяем логическую формулу.

- Если формула ложна для какого-либо , поднимаем флаг f = 1 и прерываем цикл по .

4. Выбор минимального :

- Если флаг f остался равным 0 после проверки всех , значит формула истинна для всех при данном .

- Выводим это значение и прекращаем перебор.

# Перебираем значения A
for a in range(1, 1000):  # кандидаты для A
    f = 0  # флаг нарушения формулы
    # проверяем формулу для всех x
    for x in range(10000):  # перебор x
        # если формула ложна, поднимаем флаг
        if (((x % 5 != 0) and (x not in [25, 50, 55])) <=
            (((abs(x - 41) <= 11) <= (30 <= x <= 51)) or (x & a != 0))) == False:
            f = 1  # формула не выполняется для данного a
            break
    # если формула выполняется для всех x, выводим результат
    if f == 0:
        print(a)
        break

Решение руками:

Для начала упростим выражение, раскрыв импликацию как отрицание первого или второе:

Получим, что левая скобка даёт истину тогда, когда x не кратен 2 или 3 и даёт ложь, когда x делится нацело на 2 и на 3, то есть кратен 6. Первый такой x, при котором левая скобка будет равна 0 равняется 6. Значит к 6 нам нужно добавить такое А, при котором правая скобка даст истину. Минимальное подходящее А равняется:

Идея решения:

Перебираем натуральные , начиная с наименьших, с помощью цикла for. Для каждого проверяем тождественную истинность

для всех натуральных . Проверку делимости реализуем через операцию %: . Если найдётся , при котором формула ложна, сбрасываем цикл и текущее не подходит. Первое , для которого формула истинна при всех , будет искомым наименьшим.

Решение программой:

# Перебор возможных A
for a in range(1, 1000):
    # Флаг проверки, подходит ли текущее A
    c = 0
    # Перебор натуральных x
    for x in range(1, 10000):
        # Проверка формулы с делимостью и условием x + A >= 100
        if (((x % 2 == 0) <= (x % 3 != 0)) or (x + a >= 100)) == False:
            # Сбрасываем цикл, данное A не подходит
            c = 1
            break
    # Если A подходит для всех x, выводим его и завершаем
    if c == 0:
        print(a)
        break