15.06 Смешанное

Решение 1 (ручками):

Система для врагов:

Разберём мечты врагов:

, то есть .

, то есть (объединяя с первым условием)

, то есть (предыдущие два условия уже учли третье)

, то есть (учитывая три предыдущих условия)

Теперь рассмотрим последнюю мечту: . Поскольку мы знаем все иксы, которые будут выбирать враги, переведём их в двоичную систему счисления:

Таким образом, мечты врагов такие: «Вот бы на любом из последних шести разрядов в двоичной записи у числа была единичка».

Друзья говорят: «Нет, любая из последних шести цифр числа в двоичной записи равна нолику». Таким образом, .

Решение программой

Мы решаем задачу перебором, чтобы найти наименьшее натуральное число , при котором заданное логическое выражение верно для любого целого . Идея решения заключается в следующем:

1. Мы определяем вспомогательную функцию inn(x, A), которая проверяет принадлежность числа отрезку .

- Функция возвращает True, если находится между и включительно, иначе False.

- Это позволяет легко проверять часть выражения .

2. Далее мы определяем основную функцию f(x, A), которая вычисляет логическое выражение для конкретного и текущего кандидата .

- Внутри функции мы задаём множество и отрезок .

- Логическое выражение реализуем через Python:

      - проверяем, делится ли на 3 (x % 3 != 0)

      - проверяем, что не принадлежит множеству (not (x in S))

      - проверяем вложенное условие через функцию inn(x, Q)

      - проверяем, выполняется ли

- Используем логический оператор <= для импликации, так как в Python можно записать как not p or q, или используя оператор сравнения <= с логическими значениями.

3. После этого мы перебираем все возможные значения от 1 до 999 с помощью цикла for A in range(1, 1000).

- Для каждого предполагаем, что оно подходит, и создаём логический флаг flag = True.

4. Для текущего проверяем все значения от -100 до 999 (чтобы учесть отрицательные значения) с помощью цикла for x in range(-100, 1000).

- Для каждого вызываем функцию f(x, A).

- Если выражение ложно для хотя бы одного , устанавливаем flag = False и прерываем цикл, так как текущее не подходит.

5. Если после проверки всех флаг flag остался равен True, это значит, что выражение тождественно истинно для всех при текущем .

- В этом случае выводим как наименьшее и прерываем внешний цикл с помощью break.

Таким образом, программа гарантированно находит наименьшее натуральное число , при котором выражение истинно для любого целого .

# Функция проверяет принадлежность числа x отрезку A
def inn(x, A):
    return A[0] <= x <= A[1]

# Функция проверяет выполнение логического выражения для конкретного x и A
def f(x, A):
    # Задаем множество S и отрезок Q
    S = {45, 23, 67}
    Q = [12, 48]
    # Вычисляем логическое выражение по условию задачи
    return (((x % 3 != 0) and (not (x in S))) <=
    ((abs(x - 50) <= 7) <= (inn(x, Q))) or (x & A == 0))

# Перебираем все возможные значения A от 1 до 999
for A in range(1, 1000):
    # Предполагаем, что текущее A подходит
    flag = True
    # Перебираем все значения x от -100 до 999
    for x in range(-100, 1000):
        # Если выражение ложно для текущего x
        if not f(x, A):
            # Устанавливаем флаг в False и прерываем цикл
            flag = False
            break
    # Если выражение истинно для всех x, выводим A и завершаем перебор
    if flag:
        print(A)
        break