15.06 Смешанное

Решение аналитикой

Запишем мечты врагов:

Рассмотрим мечты врагом из совокупности отдельно:

Враги хотят, чтобы , то есть , но так как мы берем только натуральные иксы, то .

Враги хотят, чтобы и был кратен или . Тогда они будут брать из промежутка , кратные или , и по условию нас интересуют натуральные иксы, значит .

Так как условия и указаны в совокупности, значит врагам подойдут иксы, находящиеся в объединении множеств первого и второго условия.

Поэтому враги мечтают, чтобы и чтобы .

Друзья говорят: «Нет, все эти иксы не принадлежат ». Тогда друзья могут взять, например, или или . Наибольшую длину имеет , его длина = .

Решение программой

Мы решаем задачу перебором, чтобы найти промежуток максимальной длины, при котором заданное логическое выражение верно для всех натуральных . Идея решения заключается в следующем:

1. Мы реализуем функцию inn(x, A), которая проверяет, принадлежит ли число отрезку .

- Функция возвращает True, если , и False в противном случае.

2. Мы реализуем функцию f(x, A), которая вычисляет логическое выражение для заданного и промежутка .

- Задаём отрезки и .

- Проверяем четыре условия внутри выражения:

      - и , что соответствует отрицанию делимости на 4.5 и на 3.

      - , проверка принадлежности отрезку с помощью функции inn.

      - , проверка принадлежности отрезку .

      - или , аналогично через inn.

- Все эти проверки объединяются через логические and и or, точно повторяя структуру исходного выражения.

3. Мы задаём переменные для хранения ответа: - ans — максимальная длина найденного промежутка , изначально 0. - borders — список из двух элементов, хранящий левую и правую границы промежутка . - n — множитель для перехода от дробных значений к целым при переборе, чтобы избежать проблем с шагом цикла.

4. Основной перебор промежутков :

- Для левой границы от до :

      - Для правой границы от до :

         - Создаём текущий промежуток .

         - Предполагаем, что этот промежуток подходит, устанавливаем flag = True.

         - Перебираем все натуральные от 1 до :

         - Вычисляем f(x, A).

         - Если функция возвращает False, значит нарушает тождественность, устанавливаем flag = False и прерываем цикл по .

      - После проверки всех , если flag = True и длина промежутка больше текущего ans, обновляем ans и границы в borders.

5. После завершения перебора выводим borders — левую и правую границы максимального промежутка , и ans — его длину.

# Функция проверки принадлежности x промежутку A
def inn(x, A):
    return A[0] <= x <= A[1]

# Функция проверки логического выражения для x и промежутка A
def f(x, A):
    P = [15, 23]
    Q = [17, 34]
    return (((x % 4.5 != 0) and (x % 3 != 0) or (not inn(x, Q)) \
         or (not inn(x, A))) and (inn(x, P) or (not inn(x, A))))

# Инициализация переменных для хранения максимальной длины и границ
ans, n = 0, 15
borders = [0 ,0]

# Перебор всех возможных левых границ a
for a in range(1 * n, 70 * n):
    # Перебор всех возможных правых границ b, не меньше a
    for b in range(a, 70 * n):
        # Создаём текущий промежуток A
        A = [a / n, b / n]
        # Предполагаем, что промежуток подходит
        flag = True
        # Перебираем все натуральные x
        for x in range(1, 70 * n):
            # Проверяем выполнение логического выражения
            if not f(x, A):
                # Если найдено нарушение, устанавливаем флаг False
                flag = False
                # Прерываем перебор x
                break
        # Если промежуток подходит и длина больше текущей, обновляем ans и границы
        if flag:
            if A[1] - A[0] > ans:
                ans = A[1] - A[0]
                borders[0] = A[0]
                borders[1] = A[1]

                                                                                                     
                                                                                                     
# Выводим границы и длину максимального промежутка A
print(borders)
print(ans)

Видим, что программа вывела промежуток и его длину .

Значит, ответом является промежуток с дробными границами, левая граница которого стремится к , а правая к , тогда длина стремится к .