Преобразования с целой и дробной частями

Заметим, что выражение равняется количеству чисел, которые не превосходят и делятся на Воспользуемся фактом, что если число не является точным квадратом, то оно имеет чётное количество делителей, а если число является точным квадратом, то оно имеет нечётное число делителей. Тогда рассмотрим выражение

Из утверждений выше получаем, что каждое число, не превосходящее будет учтено в нём столько раз сколько у него делителей. Значит, каждый не точный квадрат будет учтён чётное число раз, а каждый точный квадрат — нечётное число. Но заметим, что число точных квадратов, не превосходящих равно Тогда в выражении

каждое число учтено чётное число раз, т.е. выражении число равно сумме чётных чисел, а, следовательно, и само является чётным.