Тема Изумруд

Стереометрия на Изумруде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела изумруд

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#94271

В кубе $ABCDA B C D 1 1 1 1$ , все рёбра которого равны единице, точка $M$ — середина ребра $CC 1$ , точка $O$ — центр грани $ABB A 1 1$ . Множество точек, лежащих на грани $CBB1C1$ , таково, что для любой точки $X$ этого множества плоскость $XOM$ пересекает ребро $AD$ . Найдите площадь этого множества.

Источники: Изумруд - 2021, 11.3 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неудобно рассматривать какой-то произвольный случай для точки X. Тогда попробуйте рассмотреть граничные случаи (когда XOM пересекает ребро AD в точке A или D).

Подсказка 2

Для точки A всё ясно. В этом случае плоскостью XOM будет являться плоскость B₁AM. Теперь посмотрим на случай с точкой D. Прямые OD и B₁C₁ лежат в одной плоскости. Тогда что можно сказать про их взаимное расположение?

Подсказка 3

Точно! Они пересекаются (пусть в точке E). Теперь рассмотрим произвольную точку X нашего множества. Пусть она пересекает AD в точке F, а OF пересекает AD в точке G. Раз X лежит и в BB₁C₁C, и в FOM, то на какой прямой лежит эта точка?

Подсказка 4

Верно! На MG. Значит, наше множество представляется всеми такими прямыми MG. Но все они заключены между ME и MB₁. И раз X лежит на грани BB₁C₁C, то X лежит в той части треугольника MEB₁, что находится на грани BB₁C₁C. Тогда нам всего лишь осталось найти её площадь.

Подсказка 5

Необходимо найти площадь треугольника MHB₁ (H является точкой пересечения BB₁ и ME). То есть нужно вычислить значение 1/2×B₁H×C₁B₁. Осталось всего лишь найти B₁H. Для этого посмотрите на треугольники EHB₁ и EMC₁. Что можно про них сказать?

Показать ответ и решение

Построим плоскость $AOM$ . Для этого найдём точку пересечения прямой $AO$ с плоскостью $BB C C 1 1$ . Очевидно, что это будет точка $B 1$ . Значит, сечение куба плоскостью $AOM$ пересекает ребро $BB1$ в точке $B1$ .

$PIC$

Построим плоскость $DOM$ . Для этого найдём точку пересечения прямой $DO$ с плоскостью $BB1C1C$ . Прямые $DO$ и $B1C1$ лежат в плоскости $AB1C1D$ , а $AD ∥B1C1$ , значит, $DO$ пересекает $B1C1$ . Обозначим их точку пересечения через $E$ , она также лежит в плоскости DOM. Прямая $EM$ также лежит в плоскости $DOM$ и пересекает ребро $BB1$ в некоторой точке $H$ . Заметим, что треугольники $EB1O$ и $AOD$ равны, значит, $EB1 = AD = B1C1$ . Треугольники $EB1H$ и $EC1M$ подобны с коэффициентом 2 , значит, $B1H = 12C1M = 14$ . Пусть $X$ - некоторая точка искомого множества и плоскость $XOM$ пересекает ребро $AD$ в точке $F$ . Прямая $FO$ лежит в плоскости $AB1C1D$ , а значит, точка пересечения $G$ прямой $FO$ с плоскостью $BB1C1C$ лежит на отрезке $EB1$ . Прямая $MG$ лежит в плоскости $XOM$ , причём она заключена между прямыми $EM$ и $B1M$ . Поскольку точка $X$ лежит в плоскостях $BB1C1C$ и $FOM$ , то она лежит на прямой $MG$ , а следовательно, внутри треугольника $HB1M$ , значит, треугольник $HB1M$ — искомое множество.