Планиметрия на Изумруде
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная окружность треугольника 
с центром в точке 
касается сторон 
соответственно в точках
. Точки 
и 
симметричны вершине 
относительно прямых 
и 
соответственно. Окружности,
построенные на отрезках 
и 
как на диаметрах, вторично пересекаются в точке 
. Докажите, что 
лежит на прямой
.
Источники:
Подсказка 1
Хочется с самого начала понять, что за точка K нам дана. Заметим, что одна сторона у наших треугольников одинаковая на будущее. К тому же из условия вытекает, что какие-то углы прямые. Тогда чем же является точка K на нашей картинке?
Подсказка 2
Верно, точка K лежит на отрезке FE и является серединой, так как FIE равнобедренный. Теперь когда объекты на картинке так или иначе связаны, то можно вернуться к вопросу задачи. Что если посмотреть на четырёхугольник NFME. Чем в нём является K? Если же K будет лежать на NM, то что должно выполняться?
Подсказка 3
Верно, K середина диагонали и, если NFME будет параллелограммом, то K как раз будет лежать на NM. Осталось доказать это. Причём мы знаем, что NF =AF = AE = EM, как отрезки касательных из одной точки и симметрии. Остаётся только ввести стандартно углы треугольника, посчитать немного, и победа!
Проведем 
. Так как окружности построены на диаметрах,
Следовательно, точка 
— середина отрезка 
, так как 
и 
— высота равнобедренного треугольника
Проведем 
и 
. 
как отрезки касательных, и в силу симметрии получаем 
Обозначим углы 
Тогда 
. И 
. Следовательно, 
, и тогда 
Аналогичным счетом углов показываем, что 
и 
Следовательно, 
— параллелограмм. В нем 
— середина диагонали 
. Диагонали параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам, поэтому 
— середина 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В неравнобедренном треугольнике 
точка 
— середина стороны 
— точка пересечения медиан, 
— центр вписанной
окружности. Известно, что 
. Докажите, что 
.
Источники:
Подсказка 1
Нужно как-то использовать условие про угол, но углы с серединами сторон обычно очень плохо считаются, нужно как-то использовать, что угол именно прямой...
Подсказка 2
Давайте вспомним, что внутренняя и внешняя биссектрисы одного угла перпендикулярны, это наталкивает нас на мысль рассмотреть...
Подсказка 3
Центр I_a вневписанной окружности! Ведь тогда мы получим, что KI параллельно BI_a.
Подсказка 4
Тогда KI - средняя линия, и мы получаем, что AI=II_a. Мы получили какое-то отношение длин на прямой AI_a. Какой ещё есть факт, связанный с отношениями на этой прямой?
Подсказка 5
Лемма о трезубце! Применив её, мы получим, что IW=WI_a, где W - середина дуги BC. Но это значит, что AI/IW=2/1. Это что-то напоминает... Вспомните, что мы ещё не использовали?
Подсказка 6
Мы ещё ничего не говорили, что точку M пересечения медиан, настало время ей воспользоваться, и тем, что медиана делится в отношении 2/1 точкой M, и задача решится!
Давайте поймем, как реализовать странное условие про угол. Вспомним про то, что внутренняя и внешняя биссектрисы одно и того же угла
перпендикулярны. Тогда давайте дополнительно отметим центр вневписанной окружности данного треугольника, касающейся стороны
Пусть это 
Значит,
Так как 
то 
— средняя линия треугольника 
По лемме о трезубце 
— середина 
следовательно,
Тогда
Пусть 
— середина стороны 
Тогда по свойству медианы:
Тогда
Так как 
— середина дуги 
не содержащей 
то
А это означает требуемое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
высоты 
и 
пересекаются в точке 
. Точки 
и 
— середины высот 
и 
.
Оказалось, что центр 
вписанной в треугольник 
окружности лежит на биссектрисе угла 
. Докажите, что треугольник
равнобедренный.
Источники:
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
с общим углом при вершине 
. Они подобны, поэтому 
и
. Так как 
и 
, то 
, а значит, треугольники 
и 
подобны и
.
Последнее равенство означает, что биссектриса 
угла 
является также биссектрисой угла 
. Из точки 
опустим
перпендикуляры 
и 
на прямые 
и 
соответственно, а также перпендикуляры 
и 
на прямые 
и 
соответственно. Так как точка 
лежит на биссектрисе угла 
, то 
. Так как 
— центр вписанной в треугольник 
окружности, то 
. Прямые углы 
и 
опираются на отрезок 
, а значит, четырёхугольник 
вписанный и
, как вписанные.
Аналогично доказывается, что 
. По уже доказанному, 
, а значит, 
, из чего
следует равенство треугольников 
и 
. Отсюда получаем 
и 
, а значит,
треугольники 
и 
равны. Из равенства этих треугольников следует, что 
, а 
по свойству отрезков
касательных, а значит, 
, то есть треугольник 
равнобедренный. Из равнобедренности получаем 
, откуда
и треугольник 
— равнобедренный.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание. Точки 
и 
могли оказаться на отрезках 
и 
. Если они обе эти точки попали на отрезки 
и 
, то
решение получается аналогичным. Если
же одна точка попала на один из указанных отрезков, а вторая - нет, то центр 
вписанной в треугольник 
окружности не будет
лежать на биссектрисе угла 
. За отсутствие доказательства этого факта баллы не снижались.
