Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

02 Задачи №24 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#42836Максимум баллов за задание: 2

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CDB$ и $CAB$ равны. Докажите, что углы $BCA$ и $BDA$ также равны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 23

Показать доказательство

По условию четырёхугольник $ABCD$ — выпуклый. Тогда точки $A$ и $D$ лежат по одну сторону от $BC.$ Известно, что $∠CDB = ∠CAB,$ при этом они опираются на сторону $BC,$ следовательно, около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

$ABDC$

Тогда $∠BCA = ∠BDA$ как вписанные, опирающиеся на дугу $AB.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#27830Максимум баллов за задание: 2

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $DAC$ и $DBC$ равны. Докажите, что углы $CDB$ и $CAB$ также равны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 24

Показать доказательство

По условию четырёхугольник $ABCD$ — выпуклый. Тогда точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от $CD.$ Известно, что $∠DAC = ∠DBC,$ при этом они опираются на сторону $CD,$ следовательно, около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

$ABDC$

Тогда $∠CDB = ∠CAB$ как вписанные, опирающиеся на дугу $BC.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#40284Максимум баллов за задание: 2

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA1$ и $CC1.$ Докажите, что углы $CC1A1$ и $CAA1$ равны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 25

Показать доказательство

По условию $AA1$ и $CC1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC.$ Тогда

∠CA A = 90∘ = ∠AC C. 1 1

Эти углы опираются на отрезок $AC,$ следовательно, около четырёхугольника $ACA1C1$ можно описать окружность.

$ABCCA11$

Тогда $∠CC1A1 =∠CAA1$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу $A1C.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#27834Максимум баллов за задание: 2

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA1$ и $BB1.$ Докажите, что углы $BB1A1$ и $BAA1$ равны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 26

Показать доказательство

По условию $AA1$ и $BB1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC.$ Тогда

∠BA A = 90∘ = ∠BB A. 1 1

Эти углы опираются на отрезок $AB,$ следовательно, около четырёхугольника $ABA1B1$ можно описать окружность.

$ABCAB11$

Тогда $∠BB1A1 = ∠BAA1$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу $A1B.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#43616Максимум баллов за задание: 2

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $L$ и $N$ соответственно. Докажите, что отрезки $CL$ и $AN$ равны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 29

Показать доказательство

По условию четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны параллельны. В частности, $BC ∥AD.$

$ABCDOLN$

Рассмотрим треугольники $OLC$ и $ONA :$

1.: $CO = OA,$ так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2.: $∠COL = ∠AON$ как вертикальные.
3.: $∠OCL = ∠OAN$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC.$

Тогда треугольники $OLC$ и $ONA$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $CL = AN$ как соответственные элементы равных треугольников.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#48479Максимум баллов за задание: 2

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABD$ и $ACD$ равны. Докажите, что углы $DAC$ и $DBC$ также равны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 30

Показать доказательство

По условию четырёхугольник $ABCD$ — выпуклый. Тогда точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от $AD.$ Известно, что $∠ABD = ∠ACD,$ при этом они опираются на сторону $AD,$ следовательно, около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

$ABDC$

Тогда $∠DAC = ∠DBC$ как вписанные, опирающиеся на дугу $CD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#52702Максимум баллов за задание: 2

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 12 и 75, $AC = 30.$ Докажите, что треугольники $CBA$ и $ACD$ подобны.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 32

Показать доказательство

$PIC$

Рассмотрим треугольники $CBA$ и $ACD :$

1.: $BC- 12 2 30 AC- AC = 30 = 5 = 75 = AD .$
2.: $∠BCA =∠CAD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD.$

Тогда треугольники $CBA$ и $ACD$ подобны по двум сторонам и углу между ними.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#44721Максимум баллов за задание: 2

Точка $K$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD.$ Докажите, что площадь треугольника $ABK$ равна сумме площадей треугольников $BCK$ и $AKD.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33

Показать доказательство

Опустим перпендикуляры $KH$ и $KM$ из точки $K$ на прямые $BC$ и $AD$ соответственно. Тогда $KH ⊥BC,$ $KM ⊥ AD.$ $BC ∥AD,$ следовательно $KH ⊥ AD.$ Так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, то точки $K,$ $H,$ $M$ лежат на одной прямой, то есть $HM$ — высота трапеции $ABCD.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $KHC$ и $KMD.$ В них $∠KHC = ∠KMD = 90∘,$ $CK = KD$ по условию, $∠HKC = ∠MKD$ как вертикальные. Тогда треугольники $KHC$ и $KMD$ равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $KH = KM$ как соответственные элементы равных треугольников.

Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, то

S = 1BC ⋅KH BCK 2 1 1 SAKD = 2AD ⋅KM = 2AD ⋅KH

Значит,

SBCK +SAKD = 1(BC ⋅KH + AD ⋅KH )= 2 1 1 = 2KH ⋅(BC +AD )= 4 HM ⋅(BC + AD )= ( ) = 1 HM ⋅ BC-+-AD = 1SABCD 2 2 2

Так как $SABK + SBCK + SAKD = SABCD,$ то

SABK =SABCD − (SBCK + SAKD)= 1 1 = SABCD − 2SABCD = 2 SABCD = SBCK +SAKD

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#46987Максимум баллов за задание: 2

Точка $E$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD.$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BCE$ и $ADE$ равна половине площади трапеции.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 34

Показать доказательство

Построим общий перпендикуляр $HN$ к основаниям трапеции — параллельным прямым $BC$ и $AD,$ проходящий через точку $E.$ Тогда $HN ⊥ BC,$ $HN ⊥ AD.$ Таким образом, $HN$ — высота трапеции $ABCD.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $EHB$ и $ENA.$ В них $∠EHB = ∠ENA = 90∘,$ $AE = EB$ по условию, $∠HEB = ∠NEA$ как вертикальные. Тогда треугольники $EHB$ и $ENA$ равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $EH = EN$ как соответственные элементы равных треугольников.

Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, то

1 1 SBCE + SADE = 2BC ⋅EH + 2AD ⋅EN = 1 = 2EN ⋅(BC + AD )

Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

SABCD = 1HN ⋅(BC + AD )= 2⋅ 1 ⋅EN ⋅(BC +AD ) ⇒ 2 2 1 ⇒ SBCE +SADE = 2SABCD

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2