Тема Региональные этапы ВСОШ прошлых лет

05 Задания 2018-19 года

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела региональные этапы всош прошлых лет

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#96276

Одна из распространенных задач в управленческом консалтинге - не только снизить издержки производства, но и ускорить его, чтобы фирма могла произвести больше продукции в единицу времени. Рассмотрим фирму-монополиста Ф. Изначально ее издержки производства описываются функцией $TC (q) =10q$ , функция спроса имеет вид $q = 40 − 2P$ единиц в месяц. Изначально максимальная скорость произвоства такова, что фирма $Φ$ может произвести не более 8 единиц продукции в месяц.
a) (8 баллов) Найдите максимальную прибыль фирмы.
б) (8 баллов) Консалтинговая компания MBB предлагает фирме план А, при реализации которого без увеличения скорости производства себестоимость упадет на $40%$ при любом объеме производства. При этом фирма Ф должна будет платить компании MBB комиссию $Y$ каждый месяц. Найдите максимальное значение $Y$ , которое согласится заплатить фирма $Φ$ .
в) (6 баллов) Вместо плана А фирме Ф предлагают план Б, согласно которому максимальная скорость производства вырастет и позволит фирме выпустить на $50%$ больше продукции в месяц, чем раньше. Найдите максимальное значение $Y$ в этом случае.
г) (8 баллов) У фирмы Ф есть возможность внедрить оба плана одновременно. Найдите максимальное значение $Y$ в этом случае.

Показать ответ и решение

a) Найдем первоначальный оптимум, для чего составим функцию прибыли.

π (q)= (20− q∕2)q− 10q = 10q− q2∕2 0

Фирма максимизирует эту функцию на отрезке [0;8]. Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке $q =10$ . (Это значение можно найти и приравниванием производной прибыли к 0.) Следовательно, функция возрастает на допустимом отрезке $[0;8]$ , оптимальный выпуск равен $⋆ q0 = 8$ . При этом максимальная прибыль составит $π0(8)= 80− 32 = 48$ .

Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного дохода $(MR = 20− q)$ и предельных издержек $(MC = 10)$ . При всех $q ≤ 8$ выполнено $MR > MC$ , так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптимальное значение $q⋆ = 8$ . Функции $MR$ и $MC$ пересекаются в точке $q =10$ , но это больше допустимого количества.

б) После внедрения плана А функция издержек примет вид $TC (q)= 0,6 ⋅10q +Y =$ $= 6q +Y$ .

Функция прибыли примет вид

π1(q) = (20− q∕2)q − (6q+ Y) =14q− q2∕2− Y

Фирма максимизирует эту функцию на отрезке $[0;8]$ . Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке $q = 14$ . Следовательно, функция возрастает на отрезке $[0;8]$ , оптимальный выпуск равен $⋆ q1 = 8$ . При этом максимальная прибыль составит $π1(8)= 112 − 32 − Y = 80− Y$ .

Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного дохода $(MR = 20− q)$ и предельных издержек $(MC = 6)$ . При всех $q ≤ 8$ выполнено $MR > MC$ , так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптимальное значение $q⋆ = 8$ . Функции $MR$ и $MC$ пересекаются в точке $q =14$ , но это больше допустимого количества.

Для получения этого ответа можно формально не максимизировать новую функцию прибыли. Заметим, что при снижении предельных издержек монополиста его оптимальный выпуск увеличится, так как в силу убывания функции $MR$ ее пересечение с $MC$ будет правее, чем раньше. А значит, фирма по-прежнему будет производить максимально доступное количество товара.

Чтобы узнать максимально допустимое для фирмы значение $Y$ , решим неравенство $80 − Y ≥ 48$ . Получаем, что за план А фирма будет готова платить не более, чем 32 ден. ед.

в) Функция прибыли не изменится; изменится отрезок, на котором фирма проводит оптимизацию. Теперь фирма будет максимизировать прибыль на отрезке [0;12]. Заметим, что теперь отрезок содержит вершину параболы $q⋆ = 10$ , найденную в пункте а). Значит, фирма выберет этот объем выпуска. Максимальная прибыль составит $π0(10)− Y = 50− Y$ .

Решая неравенство $50− Y ≥ 48$ , получаем, что за план Б фирма будет готова платить не более, чем 2 ден. ед.

г) Теперь изменится и функция прибыли, и отрезок. Фирма будет максимизировать функцию $2 π1(q) = 14q − q ∕2− Y$ на отрезке $[0;12]$ . В пункте б) мы видели, что эта функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке 14 . Следовательно, функция возрастает на отрезке [0;12], оптимальный выпуск равен 12. Максимальная прибыль составит $π1(12)= 14⋅12− 122∕2− Y =$ $12⋅(14− 6)− Y =12 ⋅8 − Y = 96− Y$ .

Решая неравенство $96− Y ≥ 48$ , получаем, что за план Б фирма будет готова платить не более, чем 48 ден. ед.

Ответ:

а) 48

б) 32

в) 2

г) 48

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#96277

Все население страны делится на три группы: безработные $(U )$ , занятые $(E)$ и выбывшие из рабочей силы $2(V )$ . Известно, что в отсутствие шоков совокупного спроса и предложения каждый год $10%$ от всех выбывших переходят в рабочую силу и сразу же находят работу. Также каждый год $5%$ занятых становятся безработными, $25%$ безработных находят работу, а $20%$ безработных выбывают из рабочей силы. Занятые не выбывают из рабочей силы напрямую. Численность населения неизменна и положительна.
a) (15 баллов) Определите естественный уровень безработицы $u⋆$ , то есть такой, при котором достигается долгосрочное равновесие (число занятых, безработных и выбывших не изменяется со временем). Определите также долю экономически активного населения в долгосрочном равновесии.
б) (15 баллов) Из-за кризиса в году Z потеряли работу вдвое больше людей, чем обычно, а также вдвое меньше безработных смогли найти работу. Количество выбывших, перешедших в рабочую силу, не изменилось, но работу смогли найти только половина из них. Определите процентное отклонение фактического ВВП от потенциального в году Z , если в данной стране коэффициент Оукена равен 2. При ответе на данный вопрос учитывайте фактический уровень безработицы на конеи года Z.

Показать ответ и решение

a) Пусть $ΔX$ - изменение показателя $X$ . Тогда в долгосрочном равновесии выполняются равенства:

ΔE = 0,25U +0,1V − 0,05E = 0 ΔV =0,2U − 0,1V = 0 ΔU = −0,25U + 0,05E − 0,2U = 0

(Достаточно выписать любые два из трех этих уравнений, так как любое из них следует из двух других, поскольку $ΔE + ΔU + ΔV =0$ .)

Уровень безработицы равен $UU+E-⋅100%$ , и его удобно найти из уравнения (3.3). Имеем $0,05E = 0,45U$ , откуда $E = 9U$ и значит,

--U-- ⋅100% = ---U-- ⋅100% = 10% U + E U + 9U

Из уравнения (3.2) $V = 2U$ , тогда доля экономически активного населения равна

E +U 10U 5 E-+-U +-V-= 12U-= 6

б) На начало года все величины равны своим долгосрочным равновесным значениям $E, U,V$ . На конец года Z количество безработных $Uz$ будет равно

U+0,05E⋅2− 0,25U ∕2− 0,2U +0,1V ∕2 = U+0,9U− 0,125U− 0,2U+0,1U = 1,675U.

Количество занятых на конец года составит

Ez = E− 2 ⋅0,05E+ 0,25U∕2 +0,1V∕2= 9U − 0,9U + 0,125U + 0,1U = 8,325U

Значит, новый фактический уровень безработицы составит

uz = --Uz---⋅100% = ----1,675U---- ⋅100% = 1,675⋅100% =16,75% Uz + Ez 1,675U + 8,325U 10

Согласно закону Оукена,

Yz −-Y⋆-⋅100% = −β ⋅(u − u⋆) Y⋆ z

где $β−$ коэффициент Оукена, а $(uz − u⋆)$ - отклонение фактического уровня безработицы на конец года Z от естественного. Тогда

Yz − Y⋆ --Y⋆---⋅100% = −2 ⋅(16,75% − 10%)= − 2⋅6,75% = −13,5%

Этот показатель и требовалось найти.

Ответ:

а) $5 6$

б) $− 13,5%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#96278

Градообразующее предприятие является монополистом на внутреннем рынке товара $X$ , а также монопсонистом на рынке труда специалистов по его производству. Производственная функция имеет вид $Q =L ∕2$ , где $L$ - число нанятых работников. Предложение труда работников задается функцией $w = 3+ L∕4$ , где $w$ - зарплата. Спрос потребителей на товар $X$ зависит от фазы экономического цикла. Он задается функцией $Q = 90− P$ во время экономического подъема; во время спада спрос меньше в 5 раз при каждой цене. Монополист планирует свою деятельность на следующие два года: считая, что в ближайший год будет подъем, а в следующий - спад, он определяет оптимальные цены и количество нанятых работников в каждом периоде.
a) (12 баллов) Сколько работников наймет фирма в каждом периоде?
б) (16 баллов) Государство изменило трудовое законодательство, чтобы защитить работников в кризис: монополисту разрешено увольнять не более $50%$ работников после окончания первого года. Об этом правиле стало известно заранее, еще до начала первого года. Сколько работников наймет фирма в каждом из периодов?
в) (2 балла) Допустим, благосостояние работников положительно зависит от суммы количеств работающих в первом и втором периоде. Вырастет ли благосостояние работников в результате изменения трудового законодательства, призванного защитить их?

Показать ответ и решение

a) Во время спада функция спроса будет иметь вид $Q = (90− P)∕5= 18− P∕5$ . Обратная функция спроса будет иметь вид $P = 90 − 5Q$ . Выпишем прибыль как функцию от количества нанятых работников в период подъема $(L1)$ и спада $(L2)$ :

π(L1,L2)=TR1 + TR2− w (L1) ⋅L1 − w(L2)⋅L2 = =(90− Q1)⋅Q1 +(90− 5Q2)⋅Q2 − (3+ L1∕4)⋅L1− (3+ L2∕4) ⋅L2 = =(90− L1∕2)⋅L1∕2+ (90− 5L2∕2)⋅L2∕2− (3 +L1∕4)⋅L1 − (3+ L2∕4)⋅L2 = =(42L1− L21∕2)+ (42L2 − 3L22∕2).

Как видим, прибыль является суммой двух не зависящих друг от друга слагаемых, и поэтому каждое их них можно оптимизировать по отдельности. Каждое из них задает параболу с ветвями вниз относительно своей переменной, откуда $L ⋆1 = 422∕2-= 42,L⋆2 =$ $= 24⋅23∕2 = 14$ .

Ответ можно найти и с помощью выписывания стандартных условий $MRPL =$ $= MCL$ для каждого периода:

Функции $MRPL$ убывают, а $MCL$ возрастают, так что найденные точки являются точками максимума.

Еще один способ - взять производную функции прибыли по обеим переменным: $′ πL1 =42 − L1 = 0$ , откуда $⋆ ′ L1 = 42;πL2 = 42− 3L2 = 0$ , откуда $⋆ L 2 = 14$ . Эти точки являются точками максимума, так как производные меняют знак с плюса на минус (вариант: вторая производная, равная ( -1 ) в период подъема и ( -3 ) в период спада, отрицательна).

Кроме того, с таким же успехом можно было оптимизировать прибыль по $Q,P$ или $w$ . В каждом из случаев функция является суммой двух квадратичных парабол.

б) В этом пункте нам нужно найти максимум той же функции $π(L1,L2)$ , которую мы нашли выше, но при ограничении $L2 ≥ 0,5L1$ .

Легко убедиться, что самая лучшая для фирмы точка $(42,14)$ этому условию не удовлетворяет. Поскольку функция прибыли, будучи суммой двух квадратичных функций, убывает при движении в любом направлении от точки глобального максимума $(42,14)$ , максимум этой функции при ограничении $L2 ≥ 0,5L1$ достигается на границе допустимого множества, то есть когда ограничение выполняется как равенство $1$ . При этом условии

2 2 2 π(L1,L2)= π(L1,0,5L1)= 42L1 − L 1∕2 +42L1∕2− 3(L1∕2) ∕2= 63L1− 7L1∕8

Полученная функция одной переменной является квадратичной, ветви параболы направлены вниз. Поэтому оптимальным является $L⋆ = 63-= 7⋅9-=36 1 7∕4 7∕4$ . Тогда $L⋆= 2$ $= 0,5L = 18 1$ .

Максимум снова можно найти с помощью производной. $π′ = 63− 7L1∕4 = 0$ , откуда $L ∗1 = 36$ . Это точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус (вариант: вторая производная (-7/4) отрицательна).

Также можно было выписать прибыль как функцию от $L2$ .

в) В пункте а) суммарная занятость за два периода равна $42+ 14 = 56$ , а в пункте б) $36 +18 = 54$ < 56. Таким образом, благосостояние работников упало.

Ответ:

а) 42 и 14

б) 36 и 18

в) Нет, не вырастет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#96279

Во Фруктовой Стране есть три региона (А, В и С), в каждом из которых выращивают персики $(X )$ и бананы $(Y)$ . В каждом из регионов КПВ имеет линейный вид; альтернативные издержки производства персиков положительны, и в регионе А они больше, чем в регионе B , а в регионе B больше, чем в регионе C . Максимально возможное количество произведенных персиков в каждом из регионов одинаково и равно 24 тонны. Максимально возможное производство бананов в стране равно 104 тонны.

Страна потребляет персики и бананы только в пропорции $1 :1$ и максимизирует потребление фруктов. Известно, что в условиях закрытой экономики каждый из фруктов производился более, чем в одном регионе. На мировом рынке можно обменять 1 тонну персиков на 1 тонну бананов. После того как страна открылась для международной торговли, стране стало безразлично, сколько персиков и бананов производить в одном из регионов (при оптимальных уровнях производства в других регионах).

В результате открытия международной торговли потребление как персиков, так и бананов в стране выросло на $Z > 0$ тонн. Какие значения может принимать $Z$ ?

Для удобства проверки при построении КПВ указывайте количество произведенных персиков по горизонтали. Кроме того, если вы будете решать задачу аналитически (что необязательно), обозначьте альтернативные издержки (а. и.) производства персиков в регионах за $a,b$ и $c,a> b> c> 0$ .

Показать ответ и решение

Всю задачу можно решить двумя способами - либо с помощью геометрических соображений, не вводя уравнения КПВ регионов в общем виде аналитически, либо вводя эти уравнения. В дальнейшем мы будем приводить оба этих способа (конечно, участнику достаточно решить задачу каким-нибудь одним из способов, причем их можно комбинировать, то есть получить какие-то из выводов геометрически, а какието - аналитически).

Заметим, что луч $Y =X$ пересекает КПВ страны на «среднем» участке, так как каждый из товаров производится более чем в одном регионе. Тогда из геометрических соображений видно, что точка $(48;48)$ должна находиться выше КПВ страны. Для дальнейшего решения геометрическим способом этого наблюдения достаточно.

Решая аналитически, получаем, что уравнения КПВ в трех регионах имеют вид $Y = a(24− X),Y =b(24− X),Y = c(24− X)$ . Поскольку КПВ страны является суммой трех линейных КПВ, она вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), и значит участок общей КПВ, соответствующий региону А, является самым правым. Тогда уравнение КПВ страны на этом участке имеет вид $Y = a(72− X)$ . Пересечение этой прямой и прямой $Y = X$ должно произойти при $X < 48$ . Точка пересечения имеет абсциссу $72a∕(a+ 1) < 48$ , откуда $a< 2$ . Это аналитический вариант условия о том, что точка $(48;48)$ должна находиться выше КПВ страны.

Альтернативные издержки в одном из регионов должны равняться 1 , так как стране неважно, сколько каких товаров производить в этом регионе после открытия торговли. Рассмотрим три случая. a) Допустим, а. и. равны 1 в регионе А.

Способ 1. Поскольку КПВ страны является суммой трех линейных КПВ, она вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), и значит участок общей КПВ, соответстующий региону А, является самым правым. Тогда уравнение КПВ страны на этом участке имеет вид $Y = 72− X$ . И снова, поскольку КПВ страны вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), вся КПВ лежит под прямой $Y = 72− X$ . В этом случае максимальный объем производства бананов в стране не больше 72 , а по условию он равен 104. Противоречие.

Способ 2. Уравнения КПВ в трех регионах имеют вид $Y = a(24 − X ),Y = b(24 − X)$ , $Y = c(24 − X )$ . Тогда максимальное производство бананов равно $24(a+ b+ c) <24 ⋅3a = 72$ . По условию же оно равно 104. Противоречие.

$PIC$

Рис 1: Невозможные случаи

b) Допустим, а. и. равны 1 в регионе В.

Способ 1. Поскольку участок общей КПВ, соответствующий региону В, является «средним», при открытии международной торговли объемы потребления не изменятся, а по условию $Z > 0$ . Противоречие.

Способ 2. Поскольку точка $(48;48)$ лежит над КПВ и поскольку наклон КПВ на среднем участке равен 1 , вся КПВ, в силу своей вогнутости (выпуклости вверх, выполнения закона возрастающих а. и.) должна лежать под прямой $Y = 96− X$ , а значит, максимальное производство бананов в стране меньше 96. По условию же оно равно 104. Противоречие.

Способ 3. Поскольку $b = 1$ и $c< b$ , а по выведенному выше $a< 2$ , максимальное производство бананов, равное $24(a +b +c)$ , меньше $24 ⋅4= 96$ . По условию же оно равно 104. Противоречие. c) Значит, а. и. равны 1 в регионе С. Поскольку выполняется закон возрастающих альтернативных издержек, регион С соответствует верхнему участку КПВ страны. Значит, уравнение КПВ на этом участке имеет вид $Y = 104 − X$ . Кроме того, такое уравнение имеет прямая, вдоль которой страна обменивается товарами с другими странами. Значит, объемы потребления после открытия торговли определяются из пересечения прямых $Y = 104 − X$ и $Y = X$ , откуда $X = Y = 52$ .

$PIC$

Случай с). КПВ страны может лежать только между пунктирными линиями, откуда и получаем ответ.

щих альтернативных издержек, регион С соответствует верхнему участку КПВ страны. Значит, уравнение КПВ на этом участке имеет вид $Y = 104− X$ . Кроме того, такое уравнение имеет прямая, вдоль которой страна обменивается товарами с другими странами. Значит, объемы потребления после открытия торговли определяются из пересечения прямых $Y = 104 − X$ и $Y = X$ , откуда $X = Y = 52$ .

Для ответа на вопрос задачи осталось определить, какие значения может принимать потребление фруктов в условиях закрытой экономики.

Заметим, что точка $(24;80)$ является точкой излома КПВ, а точка $(72;0)$ лежит на КПВ. Соединим эти точки прямой. Ее уравнение имеет вид $Y = 120− 5X∕3$ . Поскольку КПВ вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), КПВ не может лежать ниже этой прямой. Значит, объемы потребления в отсутствие торговли не меньше, чем те, что получаются при пересечении прямых $Y = 120− 5X∕3$ и $Y = X$ . Эти объемы равны 45.

Наконец, по сказанному выше, точка $(48;48)$ лежит выше КПВ страны, и поэтому объемы потребления в условиях закрытой экономики меньше 48. Значит, объемы потребления в условиях закрытой экономики лежат в пределах от 45 до 48 , не включая границы. Граница 48 не включается, так как в противном случае оказалось бы, что точка $(48;48)$ лежит на КПВ, а это не так. Граница 45 не включается, так как в противном случае оказалось бы, что альтернативные издержки в регионах А и В одинаковы, а по условию это не так.

Легко убедиться графически, что все промежуточные объемы между 45 и 48 возможны. Отсюда получаем, что выигрыш страны от торговли $Z ∈ (52 − 48;52− 45)= (4;7)$ . Ответ: $Z ∈ (4;7)$ .

Ответ:

$Z ∈ (4;7)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел