Тема Региональные этапы ВСОШ прошлых лет

04 Задания 2017-18 года

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела региональные этапы всош прошлых лет

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#96287

Страна A, обладающая трудовыми ресурсами в размере 200 единиц, производит с их помощью два товара - Икс и Игрек, причем для производства единицы Икса необходимо две единицы труда, а для производства единицы Игрека - одна единица труда. На мировом рынке единица Игрека стоит так же, как единица Икса, в этой пропорции страна может обменивать любой товар на другой в любом количестве.

Однако пропорцию обмена можно изменить с помощью лоббирования. Наняв лоббистов, страна А сможет добиться удвоения мировой цены любого из товаров (выраженной в единицах другого товара). Стоимость услуг лоббистов равна 50 единицам Игрека независимо от товара, цену которого страна решит лоббировать.

Назовем кривой торгово-лоббистских возможностей (КТЛВ) множество точек, которое ограничивает сверху множество всех наборов $(x,y),$ доступных стране в результате производства, торговли и лоббирования. Постройте КТЛВ страны А и выведите аналитическое выражение для данной КТЛВ.

Показать ответ и решение

В отстутствие лоббирования страна А имеет сравнительное преимущество перед остальным миром в производстве Игреков. Внутренняя альтернативная стоимость 1 игрека равна 0,5 Икса, а на мировом рынке игрек стоит, как один икс: $px :py = 1:1.$ Получается, что страна произведет 200 (максимальное количество) единиц Игрека и, возможно, часть из них будет продавать, получая за каждый игрек 1 Икс взамен. Получается, что страна может добиться любого количества Икса и Игрека, сумма которых равна $200 :X + Y = 200.$ Эту линию иногда называют кривой торговых возможностей (КТВ).

Стране не может быть выгодно лоббировать повышение цены Икса, так как в этом случае она добьется пропорции обмена, равной альтернативным издержками производства внутри страны. А значит, выгод от торговли не будет, а товар Игрек на лоббирование будет потрачен.

Если страна решит лоббировать повышение цены Игрека, то она, конечно, продолжит его экспортировать (экспорт станет еще выгоднее, чем раньше), но потратит на эту операцию 50 единиц Игрека. Получается, что для торговли останется только 150 единиц Игрека, но зато за единицу Игрека можно будет получить 2 единицы Икса. Получаем уравнение КТВ после лоббирования: $X ∕2+ Y =150.$

Примечание. Такого объяснения получения данного уравнения достаточно, однако возможен и более формальный подход. Предположим, страна будет экспортировать $z$ единиц Игрека. Тогда она получит взамен $2z$ единиц Икса. Получается, что для потребления доступно $Y = 150− z$ и $X = 2z.$ Выражая $z$ из любого из этих условий и подставляя в другое, получаем $X ∕2+ Y =150.$

В каких случаях страна будет применять лоббирование, а в каких не будет? Ответ зависит от того, какая из линий КТВ (без лоббирования или с ним) лежит выше. В первой КТВ $Y = 200− X,$ во второй $Y = 150 − X ∕2.$ Составим неравенство:

200− X ≥ 150 − X ∕2 X ≤ 100

Получаем уравнение КТЛВ:

{ Y = 200− X, 0≤ X ≤ 100 (1.1) 150− X∕2, 100< X ≤ 300

Альтернативный способ - составить неравенство, сравнивающее $X$ (так мы узнаем, какая КТВ лежит правее):

200− Y ≥ 300− 2Y Y ≥ 100

Получаем уравнение КТЛВ:

{ 200 − Y, 100 ≤ Y ≤ 200 X = 300 − 2Y, 0≤ Y < 100 (1.2)

Выражение (1.2) эквивалентно выражению (1.1), найденному ранее.
Графически ситуация сводится к следующему:

$PIC$

На этом рисунке изображены и подписаны исходная КПВ (не требуется для правильного ответа), КТВ без лоббирования, КТВ с лоббированием. КТЛВ - более толстая линия, состоящая из участков двух КТВ.

Примечание. В обоих вариантах записи уравнения КТЛВ точка $(100,100)$ может быть отнесена как к верхнему интервалу, так и к нижнему, поскольку КТЛВ является непрерывной функцией. Кроме того, указание нижних и верхних границ ( $X ≥ 0,Y ≥ 0,$ $X ≤ 300,Y ≤ 200$ ) необязательно для корректной записи. Иными словами, следующие варианты, а также аналогичные, также корректны:

{ { Y = 200 − X, X < 100; X = 200− Y, Y > 100 150 − X ∕2, X ≥ 100. 300− 2Y, Y ≤ 100

Ответ:

ответ в решении

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#96288

В закрытой экономике страны Альфа продается единственный конечный товар, который производят $N$ одинаковых фирм. Рынок товара является рынком совершенной конкуренции. Выпуск каждой из фирм следующим образом зависит от количества используемых ею работников: $√ -- y = L.$ Заработная плата одного работника фиксирована профсоюзом и составляет $W.$ Совокупный спрос в рассматриваемой экономике описывается уравнением:

YAD =2 M- P

где $M$ - денежная масса, $P$ - уровень цен.
Центробанк неожиданно применяет меры сдерживающей денежно-кредитной политики, в результате которой новое предложение денег отличается от старого на $36%$ (профсоюз не успевает скорректировать назначенную им зарплату, количество фирм на рынке не меняется). На сколько процентов и в каком направлении в результате этой меры изменится реальная заработная плата работников?

Показать ответ и решение

Найдем равновесие на рынке в зависимости от параметров.
Прибыль каждой фирмы равна $π = Py − W L = Py − W y2.$ Это парабола с ветвями вниз, максимум которой достигается в вершине: $y = P∕(2W ).$

Можно также выразить прибыль не через выпуск, а через количество нанятых работников: $√ -- π = P L− W L.$ Производная этой функции равна

π′ =-P√--− W 2 L

и достигает нуля при

2 L = (P ∕(2W ))

В этом случае необходимо отметить, что производная убывает (вторая производная отрицательна), а при использовании правила $MRPL = w$ - что убывает функция $MRPL (L).$ Поэтому найденное значение $L$ является точкой максимума.

Отсюда получаем фукнцию совокупного предложения всех фирм:

NP- YAS = 2W .

Найдем равновесие:

YAD =YAS M- NP- 2P = 2W ∘ MW--- P = 2 --N-

Реальная заработная плата $W ∕P$ в равновесии равна

∘ ---- W- 1 NW-- P = 2 M

Если денежная масса меняется со значения $M0$ до значения $M1,$ а остальные параметры не меняются, то отношение новой и старой реальной заработной платы равно

1∘ NW-- ∘ --- W-∕P1 2---M1- M0- W ∕P0 = 1∘ NW-= M1 (2.1) 2 M0

Так как описанная в задаче политика сдерживающая, то предложение денег снижается. Следовательно, $M1 = 0,64M0.$ Подставляя в формулу (2.1), получаем

W-∕P1 ∘ --M0--- W ∕P0 = 0,64M0 = 1,25 (2.2)

Получается, что реальная зарплата выросла на $25%.$

Ответ:

ответ в решении

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#96289

Часто считается, что фирмы должны не просто максимизировать прибыль, а учитывать интересы общества: ограничивать негативное влияние на окружающую среду, не нарушать этических стандартов при ведении бизнеса, предоставлять рабочие места представителям социально незащищенных слоев населения.

Рассмотрим фирму ABC, которая максимизирует не прибыль, а сумму прибыли и величины, зависящей от уровня безработицы в стране:

B = π+ 16(100 − u)

где $π$ - прибыль, а $u$ - уровень безработицы в процентах.
Всего в стране проживают 100 человек, 70 из которых стабильно заняты на других производствах и не собираются устраиваться на фирму АВС. 30 человек являются безработными, и фирма $ABC$ наймет сотрудников именно из их числа. (Больше никакие работодатели не предлагают им работу.)

Спрос на продукцию фирмы АВС задается уравнением $Q= 120− P.$ Фирма производит товар, используя только труд, при этом $Q = 2L.$ Если фирма наймет $L$ работников, нужно будет платить каждому из них зарплату $w = 4L.$

На сколько процентных пунктов в этой ситуации уровень безработицы будет меньше по сравнению с тем, который был бы при максимизации фирмой ABC прибыли?

Показать ответ и решение

Запишем целевую функцию фирмы с учетом того, что $π = TR − TC,TR =$ $P Q,TC = wL,P = 120− Q,w =4L,Q = 2L,u= (30− L)∕100 ⋅100% :$

B =(120− 2L)⋅2L− 4L ⋅L + 16(100− (30− L)).

После упрощения получаем $B = −8L2+ 256L+ 1120.$ Это квадратичная парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $L⋆ = 16.$ Тот же ответ можно получить, взяв производную функции ( $′ B =− 16L+ 256$ ) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с + на - (варианты: первая производная убывает, вторая производная равна -16, то есть отрицательна), так что это точка максимума.

Примечание. В этой задаче не будут работать стандартные формулы для ценообразования монополии ( $MR = MC, MRPL =MCL,$ связь индекса Лернера и эластичности спроса и т. п.), так как целевая функция фирмы - не прибыль.

Уровень безработицы составит

u⋆ = (100− 70 − 16)∕100⋅100% = 14%

Прибыль фирмы равна $π = (120 − 2L)⋅2L − 4L ⋅L.$ Это квадратичная парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $L⋆ = 15.$ Тот же ответ можно получить, взяв производную функции ( $π′ = −16L + 240$ ) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с + на - (варианты: первая
производная убывает, вторая производная равна -16, то есть отрицательна), так что это точка максимума.

Уровень безработицы в этом случае составил бы

u⋆⋆ =(100− 70− 15)∕100⋅100% = 15%

то есть на 1 процентный пункт больше.
Альтернативное решение. Выше представлена максимизация по переменной $L,$ поскольку ее непосредственно просят найти в задаче. С не меньшим успехом можно было бы выразить функцию прибыли через $w,Q$ или $P$ (во всех случаях она оказалась бы квадратичной параболой с ветвями вниз), максимизировать, а затем перейти к $L.$ В случае корректного решения должно получаться:

---Выраж-ение-для B-|--Вы-раж-ение для-π-|max-B--|-max-π-- −w2∕2+ 64w +1120 | −w2∕2+ 60w |w⋆ = 64|w⋆⋆ = 60 −2Q2 +128Q + 1120 | 120Q − 2Q2 |Q⋆ = 32|Q⋆⋆ = 30 − 2P2+ 352P − 12320 − 2P2+ 360P − 14400 P⋆ = 88 P⋆⋆ = 90

Ответ:

ответ в решении

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#96290

В стране А есть столица и очень много маленьких городов. Автобусная компания «Солнышко» является единственным перевозчиком между столицей и маленькими городами. Компания сама выбирает цены билетов, а также то, в какие города будут ходить автобусы из столицы (между маленькими городами дорог нет), при этом количество городов может быть только целым. Спрос на перевозки в каждый город одинаков и имеет следующий вид: $2 qi = 400∕pi,$ где $qi$ - величина спроса на билеты на автобус в $i$ -й город (в штуках), $pi$ - цена билета в этот город ( $i= 1,2,...,N,$ где $N$ - общее количество городов, в которые ходят автобусы компании «Солнышко»).

Издержки перевозки одного пассажира в любой город составляют 2 денежных единицы, не считая издержек организации маршрута. Создание всё новых маршрутов не такая уж и простая задача, требующая составления расписания, организации логистики, закупок, установки турникетов и т. п. Организация маршрута в первый город стоит 1 денежную единицу, во второй -2 денежные единицы,..., в $N$ -й город $− N$ денежных единиц.

Определите максимальную прибыль фирмы «Солнышко».

Показать ответ и решение

Общую прибыль можно записать так:

π = (p1q1− 2q1)+(p2q2− 2q2)+ ⋅s +(pNqN − 2qN)− (1+ 2+ ⋅s +N )

После подстановки обратных функций спроса $-- pi = 20∕√ qi$ и применения формулы суммы арифметической прогрессии получаем:

2 π = (20√q1-− 2q1)+ (20√q2− 2q2)+ ⋅s+ (20√qN-− 2qN)− N-+-N-. 2

Выражение в каждой из скобок - парабола относительно $√q- i$ (каждое $√q- i$ влияет на значение только «своей» параболы). Если $√qi-= t,$ то выражения в скобках принимают вид ( $20t− 2t2$ ). Все параболы имеют вершину в точке $t= 5,$ то есть $qi =25.$

Тот же ответ можно получить, взяв производную функции прибыли от перевозок до отдельного города:

′ √-- ′ 10- πi = (20 qi− 2qi) = √qi − 2

Это убывающая функция, а значит, приравнивание ее к 0 даст максимум выражения под знаком производной: $qi = 25.$

Еще один способ - посчитать прибыль в регионе $i$ как функцию от цены:

π = p⋅ 400-− 2⋅ 400 i i p2i p2i

Это парабола с ветвями вниз относительно $s = 1∕pi,$ максимум достигается при $p = 4. i$
Наконец, можно было узнать оптимальную цену, воспользовавшись формулой взаимосвязи индекса Лернера и эластичности спроса (третий способ):

pi− MC 1 ---pi-- = |𝜀|

При данных функциях спроса $|𝜀|= 2,$ а $MC =2$ по условию. Отсюда получаем $pi = 4.$
Этот результат никак не зависит от того, каково значение $N :$ сколько бы городов ни обслуживала компания, в каждый будет продано 25 билетов, цена каждого билета равна 4.

Запишем функцию прибыли с учетом выбора оптимальных $qi :$

π = (20⋅5− 2⋅25)⋅N − N2+-N-= 99N-−-N2- (4.1) 2 2

Это тоже парабола с ветвями вниз - теперь уже зависящая от переменной $N.$ Ее максимум достигается в вершине - точке $N = 49,5,$ но количество городов должно быть целым. Поскольку квадратичная парабола симметрична относительно своей вершины, а числа 49 и 50 находятся на одинаковом расстоянии от 49,5, в двух ближайших целочисленных точках прибыль будет одинаковой и равной

π = 99⋅50−-502= 1225 2

Альтернативное решение. С помощью рассуждений из предыдущего пункта можно рассчитать максимальную прибыль (не считая издержек открытия маршрута). Она равна 50, то есть открытие каждого нового маршрута приносит компании дополнительно 50 денежных единиц. Запускать маршруты нужно до тех пор, пока издержки на запуск меньше или равны дополнительной выгоде (после этого запуск нового маршрута будет уменьшать прибыль). Таким образом, оптимально будет открыть 49 или 50 маршрутов, а максимальная прибыль составит $50⋅49− (1 +2 +⋅s+ 49)=$ $=50 ⋅50 − (1+ 2+ ⋅s+ 50)= 1225.$

Ответ:

ответ в решении

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел