02 Задания 2015-16 года

a) Обозначим за и объемы производства пирожков и морса в Кабаджленде. Из условия следует, что Подставляя эти соотношения в уравнение КПВ, получаем, что (Это не что иное, как уравнение КПВ Кабаджленда относительно товаров.) Второе уравнение на и получаем из условия о том, что полдник должен состоять из одного пирожка и одного стакана морса: Решая получившуюся систему, получаем, что

Аналогично, и - объемы производства пирожков и морса в Бэриленде. Снова имеем соотношения откуда получаем, что Вновь учитывая, что получаем, что

Таким образом, максимальный мировой объем потребления полдников равен полдника.

Кабаджленд

Бэриленд

Рис. 1.1: Кривые производственных возможностей относительно товаров

б) В пункте а) мы вывели, что уравнения КПВ стран в координатах «пирожки-морс» имеют вид

и Сложим эти КПВ стандартным образом:

Рис. 1.2: Общая КПВ
Уравнение этой КПВ имеет вид:
5 баллов, если участник любым способом (аналитически или графически) демонстрирует, что может сложить эти КПВ.

где и - мировые объемы производства пирожков и морса соответственно.

Теперь нам нужно пересечь график мировой КПВ с лучом (Рис. 1.3).

Заметим, что точка излома КПВ имеет координаты то есть в ней Следовательно, пересечение в КПВ произойдет на втором участке, то есть тогда, когда Получаем уравнение откуда

Таким образом, максимальный мировой объем потребле-
3 балла за нахождение количества полдников (рисунок необязателен) ния полдников теперь равен 56.

Рис. 1.3: Общая КПВ и полдники

Примечание. Задача может быть решена и без получения уравнения суммарной КПВ. Воспользовавшись идеей о сравнительных преимуществах (альтернативная стоимость пирожка в Кабаджленде меньше, чем в Бэриленде), заметим, что первый пирожок должен быть произведен в Кабаджленде. Однако даже если мы произведем там все возможные пирожки (40 штук), морса в Бэриленде можно будет произвести большее количество (120 стаканов), значит, там тоже частично нужно производить пирожки. Производя дополнительных пирожков, мы отказываемся в Бэриленде от стаканов морса. Чтобы в сумме не было лишних пирожков или морса, должно быть выполнено то есть и всего можно произвести 56 полдников.
в) Докажем, что максимальный мировой объем потребления полдников равен 60. Для этого: 1) докажем, что искомый объем потребления не больше 60 (оценка); 2) приведем пример обмена между странами, при котором искомый объем равен 60 (пример).

1.

(Оценка) Выпишем снова уравнения КПВ стран относительно ресурсов:

Сложим эти уравнения (просто как уравнения, а не в смысле сложения КПВ). Получаем

Обозначим количество полдников за Заметим, что, в силу
пропорций производства и потребления верны следующие равенства: Подставляя эти равенства в уравнения выше, получаем, что

Таким образом, откуда что мы и хотели доказать.
2) (Пример.) 60 полдников страны могут получить следующим образом:

• Кабаджлэнд производит 60 единиц муки и 60 единиц капусты;
• Берилэнд производит 60 единиц муки и 60 единиц смородины;
• Кабаджлэнд отправляет 30 единиц капусты в Бэриленд, где из муки и этой капусты делают 30 пирожков;
• Из оставшейся капусты и муки в Кабаджлэнде делают 30 пирожков.
• Из смородины в Бэрилэнде делают 60 единиц морса;
• Бэрилэнд отправляет в Кабаджлэнд 30 единиц морса, в результате чего в каждой стране оказывается по 30 полдников.
  Примечание 1. Этот пример не единственен. Легко проверить, что подойдет любой пример, в котором Кабаджлэнд производит 60 единиц капусты и отправляет в Бэрилэнд не меньше 30 из них (и при этом производство муки в двух странах определяется из количеств капусты, которые окажутся в двух странах в результате этого, а производство смородины определяется по остаточному принципу).

Примечание 2. Построение примера является неотъемлемой частью решения. Из того, что выполнено неравенство еще не следует, что оно может быть выполнено как равество. Действительно, наше доказательство неравенства никак не учитывало возможности торговли, а потому это неравество могло быть абсолютно так же доказано и в пунктах а) и б). Тем не менее, как мы видим, в этих пунктах верхняя граница не достигается.

Найдем сначала оптимальный выпуск фирмы, если она выбрала определенный налог.

1.

Налог на выручку. Фирма будет максимизировать

Графиком функции прибыли является парабола с ветвями вниз, поэтому оптимальный выпуск находится в ее вершине, если абсцисса вершины неотрицательна, и равен нулю в противном случае: при и при Максимальная прибыль при этом составит

3.

Теперь найдем, при каких ценах выгоднее выбирать налог на выручку, а при каких - налог на прибыль. Выбирать налог на выручку выгоднее, если Разобьем значения цены на интервалы в соответствии с полученными выше результатами:

• В этом случае оптимальный выпуск при двух налогах совпадает и равен 0.
• В этом случае а лучше выбирать налог на прибыль и производить
• В этом случае налог на прибыль выгоднее, если

Это неравенство легко решить, умножая обе части на 2 и извлекая квадратный корень (выражения в скобках положительны). Получаем - условие, при котором налог на прибыль (и производить ) выгоднее. При выгоднее выбирать налог на выручку (и производить ), при варианты равнозначны.
В итоге, функция предложения фирмы будет описываться уравнением

(При оба выпуска ( и ) являются оптимальными.)

При росте цены фирма может снизить выпуск. Например, при росте цены с 19 до 21 фирме выгодно снизить выпуск с 9 до 8,9 единиц.

a) Из-за действий государства на рынке товара X вырастет спрос и, следовательно, вырастет равновесная цена. На рынке товара Z из-за введения налога тоже вырастет равновесная цена для потребителей. Так как цены всех товаров растут, то указанная политика правительства приведет к инфляции.
б) В 2016 году за счет государственных закупок товара X спрос на этот товар составит:

Найдем новое равновесие на рынке этого товара:

Для закупки 15 единиц товара X по такой равновесной цене государству потребуется денежных единиц, следовательно, потоварный налог на рынке товара нужно устанавливать таким образом, чтобы поступления в бюджет в результате его введения равнялись этой сумме.

С учетом налога функиия предложения в 2016 году будет иметь вид: а функция спроса останется без изменений. Из всего сказанного выше следует система уравнений, откуда можно найти все нужные нам переменные:

Решая эту систему, находим:

Ставка налога составляет 3 денежных единицы.
Примечание: участник может не искать равновесия на двух рынках по отдельности, а сразу составить систему из уравнения (3.1) и уравнений системы (3.2). При условии объяснения выполняемых действий баллы за такое решение снижаться не должны.
в) Чтобы найти равновесные параметры двух рынков до государственного вмешательства (в 2015 году), приравняем спрос и предложение из таблицы в условии:

Решив эту систему, составим таблицу из известных значений цен и выпусков:

Реальный ВВП 2015 года равен:

Реальный ВВП 2016 года (в ценах 2015 года) равен:

Таким образом, в результате реализации предложенной политики реальный ВВП упадет на
г)

Решение. Заметим, что Составим таблицу с расчетом стоимости всех активов Кузьмы в разных случаях и подставим

(Изначальные коэффициенты перед и рассчитаны как отношение новой и старой цены, то есть показывают, во сколько раз увеличиваются вложения. Соответствующее количество акций равно и а их стоимость через год, скажем, при хорошей погоде равна и )
a) Каждая из двух получившихся функций возрастает по одной из переменных ( или ) и убывает по другой. Значит, для максимизации нужно выбирать максимально возможное значение одной переменной ( 1,5 ) и минимальное значение другой ( 0 ). Таким образом, нужно вкладывать в акции определенной компании все 1,5 миллиона, не оставляя ничего на депозите.

К такому же выводу можно было прийти, сравнив доходности трех активов: у депозита она равна у компании в хорошую погоду и у компании в плохую погоду - больше ( и ), а у компании в хорошую погоду и у компании в плохую погоду - меньше ( и ).

Таким образом, при хорошем прогнозе погоды Кузьма вложит все деньги в акции компании А, а при плохом - вложит все деньги в акции компании В, не оставляя ничего на депозиme. (Также ответ можно дать в виде количества акций: нужно купить 150 тыс. акций соответствующей компании.) В первом случае ожидаемая стоимость портфеля через год будет равна 3 млн руб., а во втором она будет равна 2,1 млн руб.

б) Найдем, при каком условии стоимость портфеля в хорошую погоду будет не меньше, чем в плохую (то есть минимальной будет стоимость портфеля при плохой погоде):

Минимальная (из двух типов погоды) стоимость портфеля Кузьмы составит

Кузьма стремится, чтобы значение этого выражения было максимально, выбирая и удовлетворяющие условиям (Значение затем определяется автоматически из условия )

Зафиксируем и найдем оптимальное при каждом Как видно из формулы (4.1), Кузьме нужно выбирать самое маленькое при и самое большое при Так или иначе, решением будет то есть ему нужно сделать так, чтобы стоимость портфеля была одинакова независимо от погоды. Тогда стоимость активов будет равна

Видно, что эта функция возрастает по то есть оптимальным будет максимальное значение удовлетворяющие условию откуда

Итак, Кузьма должен вложить 500 тыс. руб. в акции компании А и 1 млн руб. в акции компании В. (Также ответ можно дать в виде количества акций: нужно купить 50 тыс. акций компании и 100 тыс. акций компании B.) Стоимость портфеля через год при этом будет равна млн руб. независимо от погоды.

Примечание. Как мы видим, оптимальной в данном случае является покупка акций обеих компаний. Это явление получило название диверсификация портфеля или хеджирование рисков. Действительно, если доходность двух акций находится «в противофазе» (экономисты говорят в этом случае об «отрицательной корреляции»), покупка акций второго типа является страховкой от убытков по акциям первого типа, и наоборот.
Это примечание носит информационный характер и не должно требоваться при проверке работ. Тем не менее, если участник, не решая задачу численно, опишет идею диверсификации (то есть сделает вывод, что инвестиции нужно делить между и ), то за весь пункт ставится не более 5 баллов в зависимости от четкости обоснования.
в) Если Кузьма не платит Гидрометцентру, то, как мы нашли в б), при использовании острожной стратегии он получает 1,7 млн. Рассматривая возможность заплатить гидрометцентру, при осторожной стратегии он должен исходить из плохого прогноза, поскольку там доходность меньше он будет согласен заплатить если даже в худшем случае стоимость его портфеля не уменьшится по сравнению с пунктом б). Если он заплатит сумму то при плохом прогнозе вложит в акции компании млн руб. Стоимость его активов в конце, таким образом, составит

Чтобы заплатить Гидрометцентру было выгодно, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

Отсюда млн руб.