03 Задания 2016-17 года

a) Определить можно одним из двух способов.

Способ 1. При эффективном распределении производства товар производят те страны, в которых альтернативные издержки его производства минимальны.

В данном случае альтернативные издержки производства Икса равны и 4 единицы Игрека в странах соответственно. Значит, товар Икс производят страны 1 и 2, а товар Игрек - страны 3 и 4. Таким образом, общее производство Икса равно общее производства Игрека равно Следовательно, товары потребляются в пропорции то есть

Способ 2. Тот же результат можно было получить, построив суммарную КПВ (Рис. 1.2). Точка на КПВ, в которой две страны производят только Икс - это вторая точка излома КПВ (если считать слева направо), ее координаты - (230; 230). Через нее и начало координат проходит прямая с наклоном 1 (отсюда получается ).

В странах 1 и 2 производится Икс, и поэтому они не экспортируют Игрек. Страна 3 производит 90 единиц Игрека,

и поэтому она не может экспортировать 100 единиц. Значит, «страна N» - это страна 4.
б) Поскольку страна 4 экспортирует 100 единиц Игрека и производит 140, для домашнего потребления остается 40 единии Игрека, а 40 единиц Икса импортируется.

В отсутствие торговли (в условиях автаркии) страна 4 будет производить равное количество единиц Икса и Игрека (и потреблять столько же). Значит, откуда В условиях торговли страна потребляла по 40 единиц Икса и Игрека. Значит, потребление комплектов из Икса и Игрека сократилось на 12 единии (Рис. 1.3b).

Этот результат не должен вызвать удивления: отказываясь от участия в торговле, страна лишает себя возможности покупать товар дешевле, чем ей обходится его производство.

в) В условиях торговли со страной 4 страны 1,2 и 3 в сумме потребляли единиц Икса и Игрека. После исключения страны 4 из торговли объемы потребления будут определяться пересечением суммарной КПВ стран 1, 2 и 3 и прямой

Суммарная КПВ стран 1,2 и 3 является ломаной, соединяющей точки она представлена на Рис. 1.3а. Поскольку точка излома ( ) лежит ниже прямой пересечение будет достигаться на первом участке КПВ. Первый участок описывается уравне-

нием значит, точка пересечения удовлетворяет уравнению откуда Значит, суммарное потребление комплектов из Икса и Игрека в трех странах уменьшилось на единиц.

Этот результат не должен вызвать удивления: когда одна из стран отказалась от участия в торговле, остальные страны потеряли возможность покупать товар, в котором она имеет сравнительное преимущество.

a) Пусть - количество проектов, на которые фирма будет ставить неопытных консультантов вместе с опытными, а - количество проектов, на которые фирма будет ставить только двух опытных консультантов, Обозначим за количество неопытных консультантов, за - количество опытных. Тогда Затраты компании на услуги труда консультантов равны

Нужно минимизировать эту функцию при ограничениях Эту задачу можно свести к задаче минимизации по одной переменной. Поскольку переменных у нас четыре ( и ), это можно сделать четырьмя способами.

Способ 1 (по ). Подставим выражения для и в целевую функцию:

Затем, подставляя получаем

Фирма минимизирует значение этого выражения по на отрезке Относительно это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине если Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с - на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При имеем
Способ 2 (по ). Подставим выражения для и в целевую функцию:

Затем, подставляя получаем

Фирма минимизирует значение этого выражения по на отрезке Относительно это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине если Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с - на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При имеем
Окончание способов 1 и 2.3 начит, на 5 проектов фирма отправит только опытных консультантов, а на 20 - группы из 1 опытного и 3 неопытных консультантов. Всего она наймет неопытных и опытных консультантов.

Способ 3 (по ). Выразим и через и и поэтому Отсюда Значит, ограничение принимает вид то есть Отсюда Подставляя это соотношение в целевую функцию, получаем

Фирма минимизирует значение этого выражения по на отрезке Относительно это парабола с ветвями ввер и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине если Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с - на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При имеем Получаем тот же ответ, что выше: фирма наймет 60 неопытных и опытных консультантов.

Способ 4 (по ). Аналогично способу 3, получаем, что Отсюда Подставляя это соотношение в целевую функцию, получаем

Фирма минимизирует значение этого выражения по на отрезке Относительно это парабола с ветвями ввер и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине если Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с - на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При имеем Получаем тот же ответ, что выше: фирма наймет 30 опытных консультантов неопытных консультантов.
б) Будем руководствоваться ответами, полученными в предыдущем пункте для произвольного

Если фирма не нанимает неопытных консультантов, то то есть и должны лежать на левой границе допустимого интервала, а и - на правой.

Для этого вершина параболы, которую мы минимизировали в пункте а), должна лежать или на соответствующей границе, или за ней (например, если получилось, что издержки минимизируются при и а при этом то нужно выбирать и ).

В зависимости от способа решения пункта а) (которое может быть в общем виде приведено в пункте б), если пункт а) решался для ) это будет или правая ( ), или левая граница найденного интервала.

Решая соответствующее неравенство ( или или или во всех четырех случаях получаем

Значит, фирма не будет нанимать неопытных работников, если общее количество проектов не больше 15.

a) Способ 1. Пусть - ставка налога в 2016 году, - объем госзакупок, а и - значения ВВП при выборе первой и второй меры соответственно. Для сбалансированности бюджета в 2017 году нужно, чтобы доходы бюджета были равны расходам. В первом варианте это будет означать

а во втором -

Отсюда получаем

Отсюда ясно, что первая мера снижает ВВП не так сильно, как вторая.

Способ 2. Можно найти изменения ВВП при применении обеих мер непосредственно, а затем сравнить их. В первом случае новый ВВП должен получиться равным 400, а во втором - равным 1000/3 (решение приведено в пункте б)). Таким образом, участник может просто решить пункт б), а выводы пункта а) будут следовать из него автоматически.
б) Обозначим за объем ВВП в 2016 году. Тогда выполнена система уравнений

Первые три уравнения представляют собой формулу ВВП по расходам записанную для 2016 года и для двух вариантов развития событий в 2017 году. Остальные два уравнения являются условиями сбалансированности бюджета для двух рассматриваемых политик.

Решать эту систему можно, например, так.

1.

Подставляя из четвертого уравнения во второе, получаем откуда Подставляя из пятого уравнения в третье, получаем, что откуда

2.

Деля четвертое уравнение на пятое (это можно делать, поскольку налог и госзакупки по условию существуют), получаем и значит, откуда Значит, Из четвертого уравнения получаем, что

3.

Наконец, найдем ВВП в 2016 году из первого уравнения. Подставляя найденные значения ставки налога и госзакупок, получаем, что

откуда
Значит, сокращение ВВП при повышении ставки налога составит

Чтобы определить, какую долю суммарного дохода всех олигархов получает доля наиболее бедных олигархов, можно для каждого значения

1.

определить, какую часть составляет доход всех олигархов в общем доходе страны;

2.

определить, какую часть составляет доход доли наиболее бедных олигархов в общем доходе страны;

3.

разделить второй показатель на первый.
a) населения, не входящие в группу олигархов, получают долю всего дохода, а олигархи, следовательно, получают всего дохода.

Доля наиболее бедных олигархов составляет долю от всего населения страны. При этом вместе с неолигархов они составляют населения и получают всего дохода; без учета неолигархов они получают всего дохода.

Значит, в общем доходе всех олигархов доход наиболее бедных из них составляет

Это и есть искомое уравнение кривой Лоренца.

Сравнить степень неравенства можно двумя способами.
Способ 1. (Не требует расчета коэффициентов Джини.) Заметим, что полученная кривая Лоренца лежит ближе к линии абсолютного равенства, чем кривая Лоренца для всей страны: действительно, для так как в этом интервале (На Рис. 4.1а новая кривая Лоренца почти неотличима от прямой линии.) Значит, коэффициент Джини распределения доходов среди олигархов меньше, чем коэффициент Джини для всей страны. Среди олигархов степень неравенства доходов меньше, чем в стране в целом.
Способ 2. Рассчитаем коэффициенты Джини. Во всей
Графики приведены с целью иллюстрации авторского решения, в решениях участников для полного балла они не требуются.

Среди олигархов коэффициент Джини равен

Поскольку среди олигархов степень неравенства доходов меньше.
б) Действуя по аналогии, получаем, что искомая кривая

Лоренца будет иметь вид

Таким образом, кривая Лоренца распределения доходов среди богатейших имеет точно такой же вид, как кривая Лоренца в стране в целом! Следовательно, коэффициент Джини распределения доходов среди олигархов точно такой же, как в стране в целом.

Примечание. Для ответа на вопрос не понадобилось рассчитывать сам коэффициент Джини (он равен 1/3).
в) Представим себе страну С, населенную только олигархами страны В. богатейших жителей страны В являются богатейших жителей страны C (то есть олигархами среди олигархов). Таким образом, нам нужно сравнить неравенство доходов в стране С в целом и неравенство доходов среди олигархов страны

В пункте б) мы решили точно такую же задачу для страны B; при этом мы вывели, что в стране С кривая Лоренца имеет точно такой же вид как в стране В. Значит, и ответ будет таким же: кривая Лоренца среди олигархов страны C будет иметь такой же вид, как в стране С в целом, и коэффициент Джини будет тем же самым. Продолжая по аналогии, получаем, что и среди богатейших жителей страны В ( 1 % богатейших жителей страны С) коэффициент Джини будет точно таким же.