Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.09 Параллелепипед как частный случай призмы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1666

$ABCDA1B1C1D1$ — параллелепипед, точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AA1$ и $BB1$ соответственно. Известно, что объём тела $MNCDAB$ равен 1. Найдите объём $ABCDA1B1C1D1.$

Показать ответ и решение

Тело $MNCDAB$ — это призма, так как треугольники $MAD$ и $NBC$ равны по двум сторонам и углу между ними, $(MAD )∥(NBC ).$ Тогда имеем:

VMNCDAB = SMAD ⋅h,

где $h$ — длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $(NBC ).$

С другой стороны,

VABCDA1B1C1D1 = SAA1D1D ⋅h

$PIC$

Тогда имеем равенство

VABCDA1B1C1D1- SAA1D1D- VMNCDAB = SMAD

Пусть $h0$ — высота в параллелограмме $AA1D1D,$ проведённая к стороне $AA1,$ тогда

SAA1D1D = AA1 ⋅h0, SMAD = 0,5⋅MA ⋅h0

Так как $MA = 0,5 ⋅AA1,$ то

SAA1D1D AA1 ⋅h0 -SMAD---= 0,5⋅0,5⋅AA1-⋅h0-= 4

Тогда окончательно получим

VABCDA1B1C1D1 = 4⋅VMNCDAB = 4⋅1= 4

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2770

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A, B,C, D, C1,D1$ , где $ABCDA1B1C1D1$ – параллелепипед, объем которого равен $13$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что плоскость $AD1C1B$ делит параллелепипед на два равных многогранника. Следовательно, объем каждого равен половине объема параллелепипеда. Значит, ответ $13 : 2 = 6,5$ .

Ответ: 6,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1885

В параллелепипеде $ABCDA1B1C1D1$ все грани представляют из себя ромбы с острым углом $60∘$ . Точки $K$ , $L$ и $M$ принадлежат соответственно ребрам $BB1$ , $CC1$ и $DD1$ , причем $BK :KB1 = 1:3$ , $CL =LC1$ , $DM :MD1 = 3 :1$ . Найдите длину ломаной $AKLMA1$ , если сторона ромба равна $√21 − √13$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

Для решения задачи воспользуемся вспомогательным чертежом. Изобразим местоположения точек искомой ломаной на ромбе, представляющем грань параллелепипеда, следующим образом:

$PIC$

Тогда становится ясно, что для того, чтобы подсчитать длину ломаной, необходимо найти длины отрезков $AK$ и $MA1$ . Длины этих отрезков можно вычислить по теореме косинусов из соответствующих треугольников, учитывая, что острый угол ромба равен $∘ 60$ , а тупой угол ромба равен соответственно $∘ ∘ ∘ 180 − 60 = 120$ . Используя обозначения на чертеже найдем: $2 2 2 ∘ 2 AK = (4x) + x − 2 ⋅4x⋅x⋅cos120 = 21x$ $⇒$ $√ -- AK = 21x$ ; $2 2 2 ∘ 2 MA 1 = (4x) + x − 2⋅4x⋅x ⋅cos60 = 13x$ $⇒$ $√-- MA1 = 13x$ . Длина ломаной будет тогда равна: $√-- √-- √-- √ -- L = 2AK +2MA1 = 2 21x+ 2 13x =2( 21 + 13)x$ . Так как на чертеже за $4x$ обозначена сторона ромба, то $√-- √-- 4x = 21− 13$ $⇒$ $√21− √13 x= ---4-----$ .
Тогда $√-- √ -- √-- √ -- (√21-− √13-) 2(21 − 13) 2⋅8 L= 2( 21+ 13)x =2( 21 + 13) ----4---- = ---4----= -4-= 4$ .

Ответ: 4