.02 Задачи №25 из сборника И.В. Ященко

Пусть и — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть и пересекаются в точке Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

 

как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

Так как меньшая окружность вписана в угол то её центр лежит на биссектрисе угла поэтому — биссектриса угла точки лежат на одной прямой

Так как большая окружность вписана в угол то её центр лежит на биссектрисе угла поэтому — биссектриса угла точки лежат на одной прямой

Таким образом, так как и — один и тот же угол, то точки лежат на одной прямой

Пусть — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка лежит на прямой

Пусть — точка пересечения и — точка пересечения и

Треугольник равнобедренный и — его биссектриса, следовательно, Треугольник равнобедренный и — его биссектриса, следовательно, Значит, Таким образом, в задаче требуется найти

Так как то Проведём тогда — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник В нём

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как — общий. Тогда

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как — общий. Тогда как соответственные.

как соответственные углы при и секущей как соответственные углы при и секущей Тогда

как соответственные углы при и секущей как соответственные углы при и секущей Тогда

Тогда треугольник подобен треугольнику по двум углам. Следовательно,

Так как — высота в равнобедренном треугольнике опущенная на основание, то — биссектриса,

Так как — высота в равнобедренном треугольнике опущенная на основание, то — биссектриса,

Поэтому

Треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как Тогда

Тогда