.02 Задачи №25 из сборника И.В. Ященко

Способ 1.

Обозначим точку пересечения и за Рассмотрим треугольник

1.

так как по условию, следовательно, — высота в треугольнике

2.

так как — биссектриса

Тогда в треугольнике отрезок — биссектриса и высота, следовательно, треугольник — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника — медиана треугольника Тогда

В равнобедренном треугольнике с основанием боковые стороны равны. Тогда

так как — медиана треугольника — биссектриса в По свойству биссектрисы треугольника

Тогда

Продлим медиану на её длину. Пусть точка — полученная точка. Тогда Четырёхугольник — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, Следовательно, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей поэтому Тогда по двум углам. Запишем отношение подобия:

Так как по свойству параллелограмма, то

Значит,

Тогда

Следовательно,

Рассмотрим треугольник Следовательно, — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Рассмотрим треугольник В нём Следовательно, — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Найдём стороны треугольника

 

Способ 2.

Рассмотрим треугольник В нем — биссектриса и следовательно, треугольник — равнобедренный с основанием то есть

Так как — равнобедренный и — биссектриса, проведённая к основанию, то также является медианой. То есть

Поэтому

— биссектриса в треугольнике По свойству биссектрис

Пусть тогда

По теореме Менелая для и его секущей

следовательно,

в треугольнике , поэтому треугольник — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Следовательно,

в треугольнике , поэтому треугольник — прямоугольный. По теореме Пифагора

значит,

Таким образом, Тогда