Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Параметры на Звезде

Тема Звезда (только часть по математике)

Параметры на Звезде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только часть по математике)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#95857

В зависимости от параметра $a> 1$ найдите решение системы

({ √x2−-1∘y2−-1= a2− 1 (x−a)2 (x)logxy−1 ( y = y

Источники: Звезда - 2021, 11.3 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если a > 1, какие ограничения можно наложить на x, y из первого уравнения? А о чем нам говорит ОДЗ?

Подсказка 2

x, y > 1. Попробуем решить второе уравнение. Слева и справа у нас степень, которую хотелось бы "вынести". Как тогда можно преобразовать обе части?

Подсказка 3

Прологарифмируем второе уравнение по основанию y! Чему равен (x-a)²? Давайте оценим обе части!

Подсказка 4

Правая часть равенства неотрицательна, а левая — неположительна! Осталось понять, когда же такое возможно ;)

Показать ответ и решение

При $a> 1$ из первого уравнения получим, что $|x|> 1,|y|>1.$ При этом из второго уравнения $x >0,y > 0.$ Поэтому обе переменные больше единицы.

Логарифмируем второе уравнение по основанию $y ⁄=1$ :

2 (x)logx y−1 logyy(x−a) = logy y

( ) (x − a)2 = (logx y− 1)logy x y

2 ( ) (x− a) = (logxy− 1)logyx − 1

2 −-(logx-y− 1)2 (x− a) = logx y

Левая часть заведомо неотрицательна, а правая неположительна, ведь $logx y > 0$ при $x >1,y > 1.$

Значит, возможно только $x− a= 0,logxy = 1.$ Откуда получаем решение системы $x =y =a$ и убеждаемся, что оно подходит в первое уравнение.

Ответ:

$(a;a)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел