Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тригонометрия на Газпроме

Тема Газпром

Тригонометрия на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67083

Решите уравнение

(x 11π) ( ( 7π )) tg 2 − 16 ⋅log2 sin 2x + 4 = 0

Источники: Газпром - 2022

Показать ответ и решение

Из данного уравнения следует:

[ tg(x− 11π-)=0 log 2(sin1(62x+ 7π)) =0. 2 4

Решим первое уравнение:

x − 11π =πn,n ∈ℤ 2 16

11π x= -8-+ 2πn.

Тогда:

( 7π) ( 18π ) (9π ) π sin 2x+ 4- = sin -4-+ 4πn = sin -2 +4πn = sin2 =1.

Значит такие $x$ нам подходят. Решим второе уравнение:

( ) sin 2x+ 7π =1 4

2x+ 7π= π + 2πk,k∈ ℤ 4 2

5π- x= − 8 + πk.

Тогда:

(x 11π) ( 5π πk 11π) ( πk) tg 2 −-16 = tg − 16 +-2 − 16- = tg −π+ -2 .

Что определено только при четных $k$ , значит такие значения $x$ при четных $k$ нам подходят. Но заметим, что решения, полученные из первого уравнения такие же, как от второго уравнения.

Ответ:

$x = 11π+ 2πn,n∈ℤ. 8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67505

Решите уравнение

∘----x----1 ∘------1 ∘ ----x---------- cos2018 − 2 + cosx− 2 = cos 2018 + cosx − 1

Источники: Газпром 2019

Показать ответ и решение

Возведём обе части в квадрат

x 1 1 ∘ ----x---1- ∘------1 x cos2018 − 2 + cosx− 2 + 2 cos2018-−2 ⋅ cosx− 2 = cos2018 + cosx− 1

∘---------- ∘ ------- cos-x--− 1⋅ cosx− 1 =0 2018 2 2

Найдём решения первого уравнения

-x--= ±π +2πn 2018 3

( π ) x =± 673π −3 + 4036πn

Заметим, что при каждом таком значении $x$ выполнено $1 cosx − 2 < 0$ , поэтому найденная серия не подходит под ОДЗ. Поэтому остаётся второе уравнение

cosx= 1 2

x =± π+ 2πk 3

Для выполнения условий ОДЗ нужно найти такие значения $x$ , что

--x- 1 cos2018 ≥ 2

π x π 2πn− 3 ≤ 2018-≤2πn +3

Подставим

( π) π ( π) 2018⋅ 2πn − 3 ≤ ±3 +2πk ≤2018⋅ 2πn + 3

1 1 1 2018n− 3363 ≤ ±6 +k ≤2018n +3363

Заметим, что числа в левой и правой части находятся от ближайшего целого числа на расстоянии $13 > 16$ , поэтому $± 16$ можно убрать — решения при целых $k$ не изменятся. В результате получим $k∈ [2018n − 336,2018n+ 336]$ .

Ответ:

${± π+ 2πk|k∈ [2018n− 336,2018n+ 336], k,n∈ ℤ} 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70300

Решите уравнение

-tgt-- tg5t cos25t − cos2t = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $cos2t⋅cos5t⁄= 0⇔ t⁄= π +πn,t⁄= π-+ πn,n∈ ℤ 2 10 5$

Преобразуем на ОДЗ:

tgt tg 5t sint sin5t cos25t − cos2t = 0⇔ cos25tcost − cos2tcos5t = 0

sintcost− sin5tcos5t ----cos25tcost---- =0

sin 2t= sin10t

[ π- πk t= 1π2k + 6 ,k∈ℤ t= 4 ,k∈ ℤ

⌊ | t= ±1π2 + 2πk || t= ±5π12 +2πk ||| t= ±7π12 +2πk || t= ±111π2 + 2πk ||| t= ±π4 + 2πk || t= ±π2 + 2πk |⌈ t= ±3π4 +2πk t= πk

Пересекая с ОДЗ, получим:

⌊ π t=± 12 + 2πk ||| 5π- ||t= ± 12 + 2πk |||t= ± 7π-+ 2πk || 12 |||t= ±11π+ 2πk || 1π2 ||| t= ±4 +2πk ||t= ± 3π-+ 2πk |⌈ 4 t=πk

⌊ π πk |t= 12 +-6 ,k∈ ℤ ⌈ t= πk,k∈ℤ

Ответ:

$-π+ πk,πk; k∈ ℤ 12 6$