Тема Газпром

Тригонометрия на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67083

Решите уравнение

(x 11π) ( ( 7π )) tg 2 − 16 ⋅log2 sin 2x + 4 = 0

Источники: Газпром - 2022

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражение уже разложено на множители, так что решаем совокупность! Из уравнения на тангенс несложно выразить x.

Подсказка 2

Во втором уравнении есть логарифм, поэтому уже для найденных значений не забываем проверить, входят ли они в ОДЗ!

Подсказка 3

Второе уравнение также несложно решить, если понять, когда логарифм будем равен нулю.

Подсказка 4

В первом уравнении есть тангенс, поэтому уже для найденных значений не забываем проверить, определён ли он!

Показать ответ и решение

Из данного уравнения следует:

[ tg(x− 11π-)=0 log 2(sin1(62x+ 7π)) =0. 2 4

Решим первое уравнение:

x − 11π =πn,n ∈ℤ 2 16

11π x= -8-+ 2πn.

Тогда:

( 7π) ( 18π ) (9π ) π sin 2x+ 4- = sin -4-+ 4πn = sin -2 +4πn = sin2 =1.

Значит такие $x$ нам подходят. Решим второе уравнение:

( ) sin 2x+ 7π =1 4

2x+ 7π= π + 2πk,k∈ ℤ 4 2

5π- x= − 8 + πk.

Тогда:

(x 11π) ( 5π πk 11π) ( πk) tg 2 −-16 = tg − 16 +-2 − 16- = tg −π+ -2 .

Что определено только при четных $k$ , значит такие значения $x$ при четных $k$ нам подходят. Но заметим, что решения, полученные из первого уравнения такие же, как от второго уравнения.

Ответ:

$x = 11π+ 2πn,n∈ℤ. 8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67505

Решите уравнение

∘----x----1 ∘------1 ∘ ----x---------- cos2018 − 2 + cosx− 2 = cos 2018 + cosx − 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заменим два подкоренных выражения левой части на a и b - тогда хорошо выразится и подкоренное выражение в правой части. Пора возводить в квадрат обе части!

Подсказка 2

Верно, оказывается, что либо а, либо b должно быть равно нулю, и получится, что один из косинусов равен 1/2, а второй из них дает существование корню - то есть он не меньше, чем 1/2.

Подсказка 3

Случай, когда cos(x/2018) = 1/2, нам не подойдёт, потому что тогда другой косинус будет меньше 1/2. Рассмотрите второй случай, когда cos(x) = 1/2. Ответом будет x = ± π/3 + 2πk, k - целое, при этом нужно решить cos(x/2018) ≥ 0. Отсюда у нас появится ограничение на k, будем использовать для этого еще одну целую переменную n. Таким образом, мы и получили ответ!

Показать ответ и решение

Возведём обе части в квадрат

x 1 1 ∘ ----x---1- ∘------1 x cos2018 − 2 + cosx− 2 + 2 cos2018-−2 ⋅ cosx− 2 = cos2018 + cosx− 1

∘---------- ∘ ------- cos-x--− 1⋅ cosx− 1 =0 2018 2 2

Найдём решения первого уравнения

-x--= ±π +2πn 2018 3

( π ) x =± 673π −3 + 4036πn

Заметим, что при каждом таком значении $x$ выполнено $1 cosx − 2 < 0$ , поэтому найденная серия не подходит под ОДЗ. Поэтому остаётся второе уравнение

cosx= 1 2

x =± π+ 2πk 3

Для выполнения условий ОДЗ нужно найти такие значения $x$ , что

--x- 1 cos2018 ≥ 2

π x π 2πn− 3 ≤ 2018-≤2πn +3

Подставим

( π) π ( π) 2018⋅ 2πn − 3 ≤ ±3 +2πk ≤2018⋅ 2πn + 3

1 1 1 2018n− 3363 ≤ ±6 +k ≤2018n +3363

Заметим, что числа в левой и правой части находятся от ближайшего целого числа на расстоянии $13 > 16$ , поэтому $± 16$ можно убрать — решения при целых $k$ не изменятся. В результате получим $k∈ [2018n − 336,2018n+ 336]$ .