Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Последовательности и прогрессии на Газпроме

Тема Газпром

Последовательности и прогрессии на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#99201

Задана числовая последовательность:

1 -1-- x0 = n и xk = n− k (x0+x1+ ...+ xk−1),

где $k =1,2,...,n− 1.$ Найти

Sn = x0+ x1 +...+ xn−1,

если $n =2022.$

Источники: Газпром - 2022, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте найти ответы для маленьких n. Сравните их с коэффициентами из условия.

Подсказка 2

Докажем по индукции, что ответ — 1/(n-k).

Подсказка 3

Для того, чтобы произвести шаг индукции, достаточно к предыдущей сумме добавить новое слагаемое, которое также выражается через эту сумму!

Показать ответ и решение

С помощью математической индукции докажем, что

1 x0+x1+ ...+ xk−1+ xk = n−-k.

Для $k= 0$ это равенство выполняется. Для $k =1$ :

x0+ x1 = 1 +-1- ⋅ 1=--1-. n n − 1 n n − 1

Предположим, что это равенство выполняется для всех $m ≤k,$ тогда оно должно выполняться и для $k+ 1.$ Проверим это:

(x0+x1+ ...+ xk)+xk+1 =--1- +xk+1 =--1- + ---1----(x0 +x1+ ...+ xk)= n − k n − k n− (k+ 1) =--1- + ------1------= ----1--- n − k (n − k − 1)(n − k) n − (k+ 1)

Значит, это равенство выполняется и для $k+ 1.$ Следовательно, наше предположение, что

-1-- x0+ x1+...+xk−1+ xk = n− k

верно. Тогда при $n= 2022$ и $k =n − 1 =2021:$

1 S2022 = x0+x1+ ...+ x2021 = 2022− 2021 = 1.

Ответ:

$1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел