Тема 2. Задачи на векторы

2.01 Задачи №2 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Разделы подтемы Задачи №2 из ЕГЭ прошлых лет

№2 из ЕГЭ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126353

Даны векторы $⃗a(2;1)$ и $⃗b(1;−3).$ Найдите скалярное произведение векторов $2⃗a+ ⃗b$ и $5⃗a − ⃗b.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 26.05, Центр

Показать ответ и решение

Для того чтобы найти скалярное произведение данных векторов, необходимо вычислить их координаты:

2⃗a +⃗b =(2⋅2+ 1;2⋅1+ (−3))= (5;−1) 5⃗a− ⃗b= (5⋅2− 1;5⋅1− (− 3)) =(9;8)

Тогда скалярное произведение равно

( ) 2⃗a+ ⃗b;5⃗a − ⃗b = 5⋅9+ (−1)⋅8= 37.

Ответ: 37

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#113015

Даны векторы $⃗a(2;1)$ и $⃗b(1;−3).$ Найдите скалярное произведение векторов $⃗a − ⃗b$ и $5⃗a − ⃗b.$

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

Для того чтобы найти скалярное произведение данных векторов, необходимо вычислить эти векторы:

⃗a− ⃗b= (2 − 1;1− (−3))= (1,4) 5⃗a− ⃗b= (10 − 1;5− (−3))= (9;8)

Тогда скалярное произведение:

( ) ⃗a− ⃗b;5⃗a − ⃗b = 1⋅9+ 4⋅8= 41.

Ответ: 41

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#127703

Даны векторы $⃗a(11;0)$ и $⃗b(1;−5).$ Найдите длину вектора $⃗a− 3⃗b.$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Центр

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗a− 3⃗b:$

⃗ ⃗a − 3b = {11 − 3 ⋅1;0− 3⋅(−5)}= {8;15}.

Значит, его длина равна

|| ⃗|| ∘-2----2 √ -2- |⃗a− 3b|= 8 +15 = 17 = 17.

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#127759

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b.$ Найдите длину вектора $⃗a +⃗b.$

$110xy⃗a⃗b$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Центр

Показать ответ и решение

Запишем координаты векторов: $⃗a(6;4),$ $⃗b(− 2;− 1).$ Координаты вектора $⃗a +⃗b :$

(6+ (− 2);4+ (−1))= (4;3).

Длина вектора $⃗a+⃗b:$

⃗ ∘ -2---2 √----- √ -- |⃗a + b|= 4 + 3 = 16+ 9 = 25= 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#127855

Даны векторы $⃗a(1;1)$ и $⃗b(0;7).$ Найдите длину вектора $5⃗a +⃗b.$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $5⃗a+ ⃗b:$

(5⋅1 +0;5⋅1+ 7)= (5;12)

Таким образом, получаем, что длина равна

⃗ ∘ -2---2- √ --2 |5⃗a +b|= 5 +12 = 13 = 13

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90735

Даны векторы $⃗a(3;4)$ и $⃗b(5;2).$ Найдите длину вектора $⃗a +⃗b.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗r = ⃗a +⃗b :$

⃗r((3+ 5);(4 +2))= ⃗r(8;6)

Тогда длина вектора $⃗r$ равна

∘ -2---2 √------ √ --- 8 + 6 = 64+ 36 = 100= 10.

Ответ: 10

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90736

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $⃗a − ⃗b.$

$110xy⃗a⃗b$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b$ , исходя из условия и определения координаты вектора.

⃗a ((6− 1);(5− 2))= ⃗a(5;3) ⃗b((5 − 3);(1 − 2))= ⃗b(2;− 1)

Теперь найдем вектора $⃗ ⃗r =⃗a− b$

⃗r((5− 2);(3− (−1)))= ⃗r(3;4)

Тогда длина вектора $⃗r$ равна

∘------ √ ----- √-- 32+ 42 = 9+ 16= 25 =5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90752

Даны векторы $⃗a(17;0)$ и $⃗b(1;−1).$ Найдите длину вектора $⃗a− 12⃗b.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток | ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗a− 12⃗b:$

⃗ ⃗a− 12b= {17− 12⋅1;0− 12⋅(− 1)} = {5;12}.

Значит, его длина равна

|| ⃗|| ∘ -2----2 √--2 |⃗a− 12b|= 5 + 12 = 13 = 13.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90753

Даны векторы $⃗a(1;2),$ $⃗b(3;−6)$ и $⃗c(4;−3).$ Найдите скалярное произведение $( ) ⃗a+⃗b ⋅⃗c.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗a+ ⃗b:$

⃗ ⃗a+ b= (1+ 3;2− 6)= (4;−4).

Тогда скалярное произведение равно

( ⃗) ⃗a+ b ⋅⃗c= 4⋅4 +(−4)⋅(−3)= 16+ 12= 28.

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90754

Даны векторы $⃗a(5;3)$ и $⃗b(4;−6).$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b =5 ⋅4+ 3⋅(− 6)= 20− 18= 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#92095

Даны векторы $⃗a(5;−7)$ и $⃗b(14;1).$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b= 5⋅14+ (−7)⋅1= 70− 7 =63.

Ответ: 63

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#91253

Даны векторы $⃗a(7;1)$ и $⃗b(− 1;− 7).$ Найдите косинус угла между ними.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

Поскольку скалярное произведение векторов равняется произведению их длин и косинуса угла между ними, то можем найти косинус угла между векторами как частное скалярного произведения векторов и произведения длин векторов. Пусть угол между векторами равен $α.$ Тогда имеем: