Тема 2. Задачи на векторы

2.01 Задачи №2 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Разделы подтемы Задачи №2 из ЕГЭ прошлых лет

Задачи №2 из ЕГЭ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90735

Даны векторы $⃗a(3;4)$ и $⃗b(5;2).$ Найдите длину вектора $⃗a +⃗b.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗r = ⃗a +⃗b :$

⃗r((3+ 5);(4 +2))= ⃗r(8;6)

Тогда длина вектора $⃗r$ равна

∘ -2---2 √------ √ --- 8 + 6 = 64+ 36 = 100= 10.

Ответ: 10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90736

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $⃗a − ⃗b.$

$110xy⃗a⃗b$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b$ , исходя из условия и определения координаты вектора.

⃗a ((6− 1);(5− 2))= ⃗a(5;3) ⃗b((5 − 3);(1 − 2))= ⃗b(2;− 1)

Теперь найдем вектора $⃗ ⃗r =⃗a− b$

⃗r((5− 2);(3− (−1)))= ⃗r(3;4)

Тогда длина вектора $⃗r$ равна

∘------ √ ----- √-- 32+ 42 = 9+ 16= 25 =5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90752

Даны векторы $⃗a(17;0)$ и $⃗b(1;−1).$ Найдите длину вектора $⃗a− 12⃗b.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток | ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗a− 12⃗b:$

⃗ ⃗a− 12b= {17− 12⋅1;0− 12⋅(− 1)} = {5;12}.

Значит, его длина равна

|| ⃗|| ∘ -2----2 √--2 |⃗a− 12b|= 5 + 12 = 13 = 13.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90753

Даны векторы $⃗a(1;2),$ $⃗b(3;−6)$ и $⃗c(4;−3).$ Найдите скалярное произведение $( ) ⃗a+⃗b ⋅⃗c.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗a+ ⃗b:$

⃗ ⃗a+ b= (1+ 3;2− 6)= (4;−4).

Тогда скалярное произведение равно

( ⃗) ⃗a+ b ⋅⃗c= 4⋅4 +(−4)⋅(−3)= 16+ 12= 28.

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90754

Даны векторы $⃗a(5;3)$ и $⃗b(4;−6).$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b =5 ⋅4+ 3⋅(− 6)= 20− 18= 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92095

Даны векторы $⃗a(5;−7)$ и $⃗b(14;1).$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b= 5⋅14+ (−7)⋅1= 70− 7 =63.

Ответ: 63

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91253

Даны векторы $⃗a(7;1)$ и $⃗b(− 1;− 7).$ Найдите косинус угла между ними.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

Поскольку скалярное произведение векторов равняется произведению их длин и косинуса угла между ними, то можем найти косинус угла между векторами как частное скалярного произведения векторов и произведения длин векторов. Пусть угол между векторами равен $α.$ Тогда имеем:

-⃗a-⋅⃗b ----7⋅(−1)+-1⋅(−7)--- −14- cosα= |⃗a|⋅|⃗b| = √72-+-12-⋅∘ (−1)2+-(−-7)2 = 50 = −0,28

Ответ: -0,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91708

Даны векторы $⃗a(3;3),$ $⃗b(7;8)$ и $⃗c(13;29).$ Найдите сумму координат вектора $⃗a +⃗b− ⃗c.$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗r = ⃗a +⃗b − ⃗c :$

⃗r(3+ 7− 13;3 +8 − 29)= ⃗r(−3;−18).

Тогда сумма координат вектора $⃗r$ равна

− 3+ (−18)= −3− 18= − 21.

Ответ: -21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#91709

Даны векторы $⃗a(3;3),$ $⃗b(9;8)$ и $⃗c(13;29).$ Найдите длину вектора $⃗a− ⃗b+ ⃗c.$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗r = ⃗a − ⃗b +⃗c :$

⃗r(3− 9+ 13;3− 8+ 29)= ⃗r(7;24).

Тогда длина вектора $⃗r$ равна

∘-2----2 √ ------- √--- |⃗r|= 7 +24 = 49+ 576 = 625= 25

Ответ: 25

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел