Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения и неравенства без логарифмов и тригонометрии на Газпроме

Тема Газпром

Уравнения и неравенства без логарифмов и тригонометрии на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#99238

Решите неравенство:

√ -x2−6x+9 √ -x2−6x+7 ---4- (2+ 3) + (2− 3) +√3-− 2 < 0.

Источники: Газпром - 2024, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

√ -x2−6x+9 √ -x2−6x+7 4 (2 + 3) + (2− 3) <− √3−-2

√- √- (2+ 3)x2−6x+9+ (2− 3)x2− 6x+7 <--4√- 2− 3

Домножив обе части на $2− √3> 0$ , получим

- √- √- x2−6x+9 √- √ -x2−6x+7 4(2−-√3) (2− 3)(2+ 3) + (2− 3)(2 − 3) < 2 − √3

√- √ - √ - 2 √- 2 (2− 3)(2 + 3)(2+ 3)x −6x+8 +(2− 3)x −6x+8 < 4

(2 +√3)x2−6x+8+ (2− √3-)x2−6x+8 <4

Заметим, что $√ - √- (2− 3)(2+ 3)= 1$ , следовательно, после замены $√- 2 t=(2+ 3)x −6x+8$ неравенство примет вид

t+ 1< 4 t

t2− 4t+ 1< 0

√- √- 2− 3< t< 2+ 3

Сделаем обратную замену:

{ (2+√3 )x2−6x+8 >2 − √3, { (2+ √3)x2−6x+8 > (2+√3)−1, (2+√3-)x2−6x+8 <2 +√3- ⇔ (2+ √3)x2−6x+8 < 2+ √3 ⇔ { 2 { 2 { ⇔ x − 6x+ 8> −1, ⇔ x − 6x +9 >0, ⇔ x ⁄=3√, √ - x2− 6x+ 8< 1 x2− 6x +7 <0 3− 2 <x <3 + 2.

Ответ:

$(3− √2;3)∪ (3;3+ √2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99220

Решить систему уравнений:

( x2+ 25y+ 19z = −471 |{ 2 |( y2+23x+ 21z = −397 z +21x+ 21y = −545

Источники: Газпром - 2023, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Прибавим к первому уравнению два других и выделим полные квадраты по каждой переменной:

2 2 2 x + y +z + 44x+46y+ 40z =− 1413

2 2 2 x + 44x+y + 46y+ z+ 40z+ 1413= 0

x2+ 44x+484+ y2+46y+ 529+z2+ 40z+400= 0

(x+ 22)2+ (y +23)2 +(z+ 20)2 = 0

Следовательно, $x= −22,y =− 23,z = −20−$ единственное возможное решение. Проверим это подстановкой в уравнения системы:

( |{ (− 22)2+ 25⋅(−23)+ 19 ⋅(−20)= 484 − 575− 380= −471 | (− 23)2+ 23⋅(−22)+ 21 ⋅(−20)= 529 − 506− 420= −397, ( (− 20)2+ 21⋅(−22)+ 21 ⋅(−23)= 400 − 462− 483= −545.

Ответ:

$(−22;− 23;−20)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99200

Решить уравнение:

9 3 √---- x − 2021x + 2022= 0.

Источники: Газпром - 2022, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Разложим на скобки:

9 3 3 √---- x − 2022x +x + 2022= 0

x3(x6− 2022)+ x3+ √2022-=0

x3 (x3 − √2022)(x3+ √2022) +(x3+ √2022) = 0

( 3 √----)( 6 3√ ---- ) x + 2022 x − x 2022+ 1 = 0

[ √---- x3+ 2√022-=0 x6− x3 2022+ 1= 0

Первое уравнение совокупности имеет одно решение $6√---- x =− 2022$ .

Введём замену во втором уравнении $t= x3$ , тогда:

√ ---- t2− t 2022+ 1= 0

[ √2022+√2018 t= √20222−√2018 t= 2

Вернемся к исходной переменной и получим

∘ √------√---- x = 3--2022±--2018 2

Ответ:

$−√62022; 3∘ √2022±√2018 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99169

Решить неравенство

|x-− 4|−-|x−-1| |x-− 3|+|x−-2| |x − 3|− |x− 2| < |x− 4|

Источники: Газпром - 2021, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

При ограничениях $x⁄= 4$ и $x ⁄= 2,5$ умножим обе части неравенства на положительную величину $--|x−4|--. |x−3|+|x−2|$ Получим равносильное неравенство

(x− 4)2 − |(x − 1)(x − 4)| ---(x−-3)2−-(x-− 2)2- <1.

Выполним преобразования:

2 | 2 | x--− 8x+-16−|x-−-5x-+4|− 1< 0⇔ 2 | 2 |−2x+ 5 2 |2 | ⇔ x-−-8x+-16−|x-−-5x-+4|+-2x-− 5 <0 ⇔ x-−-6x+11−-|x-− 5x+-4|> 0. −2x+ 5 2x− 5

1) Пусть $x2 − 5x+ 4≥ 0$ , тогда $x ∈(−∞;1]∪(4;+∞).$ Неравенство примет вид

x2−-6x+-11− x2+-5x−-4 −x+-7 2x− 5 > 0⇔ 2x− 5 > 0⇔ 2,5 <x < 7.

То есть, $x∈ (2,5;7).$ Учитывая, что $x ∈(−∞; 1]∪ (4;+∞ ),$ получим $x ∈(4;7).$

2) Пусть $2 x − 5x+ 4< 0,$ тогда $x ∈(1;4).$ Неравенство примет вид

x2−-6x+-11+x2−-5x+-4 2x2−-11x+15 (x−-3)(2x-− 5) 2x− 5 > 0⇔ 2x − 5 >0 ⇔ 2x− 5 > 0⇔ x > 3.

то есть $x ∈(3;+ ∞).$ Учитывая, что $x ∈(1;4)$ , получим $x∈ (3;4).$ Таким образом, решением исходного неравенства является множество $x∈ (3;4)∪(4;7).$

Ответ:

$(3;4)∪ (4;7)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105073

Найти все пары вещественных чисел $(x;y)$ , удовлетворяющих системе уравнений

{ (3− √8)x = 8y+ 9y ∘---2-------2 x − x − 3xy− y = 2y+ 2.

Источники: Газпром - 2020, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $y ≥ − x. 4$

{ (3− √8)x = 8y+ 9y, ∘---2-------2 x − x − 3xy− y = 2y+ 2;

{ (3− √8)x = 8y+ 9y, −x2− 3xy − y2 = 4y2+2xy+ x2; 4

{ (3− √8)x = 8y+9y, (y+ x2)2 = 0,

{ √- (3− 8)x = 8y+9y, y = − x2;

{ √- √- (3+ 8)−x = ( 8)−x +3−x, y = − x2.

Поделив левую и правую части первого уравнения системы на $√ - (3 + 8)−x ⁄=0,$ получим

( √- )−x ( ) ---8√-- + --3√- −x = 1. 3 + 8 3+ 8

Выражение слева есть сумма двух монотонно убывающих функций, значит данное уравнение имеет не более одного корня. Этот корень легко угадывается: $x= −1.$ Тогда $1 y = 2.$

Ответ:

$(−1;1) 2$