Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения и неравенства без логарифмов и тригонометрии на Газпроме

Тема Газпром

Уравнения и неравенства без логарифмов и тригонометрии на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#123701

Решить неравенство

√----- ∘ -2--------- 2 3x − 7− 3x − 13x+ 13 ≥3x − 16x +20

B ответе указать сумму целых решений.

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательный читатель может заметить, что правая часть неравенства равна разности покоренных выражений.

Подсказка 2

Значит, можно заменить корни на a и b, тогда неравенство примет вид a - b ≥ b² - a². Осталось разложить на скобочки и довести до конца.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $a= √3x−-7$ и $b=√3x2-− 13x+-13.$ По определению корня $a≥ 0,$ $b≥ 0.$ Заметим, что

2 2 2 2 2 b − a =(3x − 13x+ 13)− (3x− 7)= 3x − 13x+ 13− 3x +7 =3x − 16x +20

Тогда исходное неравенство примет вид:

2 2 a− b≥ b − a

a− b≥ (b− a)(b+ a)

(a − b)+ (a− b)(a+ b)≥0

(a − b)(1+ a+ b)≥0

Так как $a≥ 0$ и $b≥ 0,$ то $1+ a+b ≥1 >0.$ Следовательно, неравенство $(a− b)(1+ a+ b)≥ 0$ равносильно $a − b≥ 0,$ то есть $a ≥b.$

√ ----- ∘ ----------- 3x− 7 ≥ 3x2− 13x+ 13

Для того чтобы это неравенство имело смысл и его можно было возвести в квадрат, необходимо выполнение условий:

3x− 7 ≥0

Следовательно,

7 x ≥ 3

2 3x − 13x+ 13 ≥0

Отсюда

( ] [ ) 13−-√13 13+-√13 x ∈ − ∞; 6 ∪ 6 ;+∞

При выполнении этих условий возводим неравенство в квадрат:

3x− 7≥3x2− 13x+ 13

3x2 − 16x+ 20 ≥0

Значит: $[ 10] x∈ 2; 3$

Теперь объединим все условия в систему:

(| [ 10] ||||| x∈ 2; 3 ||{ 7 || x≥ 3 ||||| ( 13− √13-] [ 13-+√13 ) |( x∈ −∞; 6 ∪ 6 ;+∞

Пересекаем интервалы и получаем, что решение неравенства:

[ √-- ] x ∈ 13+--13;10 6 3

Целые значения $x$ в этом промежутке: единственное целое значение $x= 3.$ Сумма целых решений равна $3.$

Ответ:

$3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99238

Решите неравенство:

√ -x2−6x+9 √ -x2−6x+7 ---4- (2+ 3) + (2− 3) +√3-− 2 < 0.

Источники: Газпром - 2024, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, надо понять что в этом неравенстве хорошего, а что плохого. Хорошее — то, насколько похожие степени у нас слева и то, что у нас связаны числа в основании. Но как они связаны? А что нам это дает?

Подсказка 2

Это дает нам возможность сделать замену, ведь если заменить на t (2 + √3) в определенной степени, на месте (2-√3) появится 1/t! Какую тогда можно взять степень? Как решать такое неравенство?

Подсказка 3

Если сделать замену t = (2 + √3)^(x² - 6x + 8), то после сокращения неравенство превращается в t + 1/t < 4. Остается только решить его не забыть про неравенство на показатели, после чего получить ответ!

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

√ -x2−6x+9 √ -x2−6x+7 4 (2 + 3) + (2− 3) <− √3−-2

√- √- (2+ 3)x2−6x+9+ (2− 3)x2− 6x+7 <--4√- 2− 3

Домножив обе части на $2− √3> 0$ , получим

- √- √- x2−6x+9 √- √ -x2−6x+7 4(2−-√3) (2− 3)(2+ 3) + (2− 3)(2 − 3) < 2 − √3

√- √ - √ - 2 √- 2 (2− 3)(2 + 3)(2+ 3)x −6x+8 +(2− 3)x −6x+8 < 4

(2 +√3)x2−6x+8+ (2− √3-)x2−6x+8 <4

Заметим, что $√ - √- (2− 3)(2+ 3)= 1$ , следовательно, после замены $√- 2 t=(2+ 3)x −6x+8$ неравенство примет вид

t+ 1< 4 t

t2− 4t+ 1< 0

√- √- 2− 3< t< 2+ 3

Сделаем обратную замену:

{ (2+√3 )x2−6x+8 >2 − √3, { (2+ √3)x2−6x+8 > (2+√3)−1, (2+√3-)x2−6x+8 <2 +√3- ⇔ (2+ √3)x2−6x+8 < 2+ √3 ⇔ { 2 { 2 { ⇔ x − 6x+ 8> −1, ⇔ x − 6x +9 >0, ⇔ x ⁄=3√, √ - x2− 6x+ 8< 1 x2− 6x +7 <0 3− 2 <x <3 + 2.

Ответ:

$(3− √2;3)∪ (3;3+ √2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99220

Решить систему уравнений:

( x2+ 25y+ 19z = −471 |{ 2 |( y2+23x+ 21z = −397 z +21x+ 21y = −545

Источники: Газпром - 2023, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как работать с уравнениями по отдельности, поэтому попробуем их как-то связать. Что можно сказать о коэффциеинтах при каждой переменной?

Подсказка 2

Все коэффициенты нечётны, так что просто выделить полный квадрат вряд ли получится (и будет полезным). Но что можно сделать, чтобы всё-таки их собрать?

Подсказка 3

Сложите три уравнения! Тогда в выражении у нас будут и удвоенные произведения, и квадраты!

Показать ответ и решение

Прибавим к первому уравнению два других и выделим полные квадраты по каждой переменной:

2 2 2 x + y +z + 44x+46y+ 40z =− 1413

2 2 2 x + 44x+y + 46y+ z+ 40z+ 1413= 0

x2+ 44x+484+ y2+46y+ 529+z2+ 40z+400= 0

(x+ 22)2+ (y +23)2 +(z+ 20)2 = 0

Следовательно, $x= −22,y =− 23,z = −20−$ единственное возможное решение. Проверим это подстановкой в уравнения системы:

( |{ (− 22)2+ 25⋅(−23)+ 19 ⋅(−20)= 484 − 575− 380= −471 | (− 23)2+ 23⋅(−22)+ 21 ⋅(−20)= 529 − 506− 420= −397, ( (− 20)2+ 21⋅(−22)+ 21 ⋅(−23)= 400 − 462− 483= −545.

Ответ:

$(−22;− 23;−20)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99200

Решить уравнение:

9 3 √---- x − 2021x + 2022= 0.

Источники: Газпром - 2022, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у нас есть корень из 2022. А также интересный коэффициент 2021. Что хочется сделать?

Подсказка 2

Давайте вычтем x³, чтобы получить коэффициент 2022. Ведь тогда мы сможем разложить выражение на множители!

Подсказка 3

Попробуем разложить на скобки. Получится, что хотя бы одна из двух скобок должна равняться 0. Один из корней сразу виден – это корень 6-ой степени из 2022. А вот второй пока непонятен. Что нужно сделать с уравнением 6-ой степени, чтобы мы умели его решать?

Подсказка 4

Конечно же, делаем замену на x³. Дальше остаётся неприятное квадратное уравнение, но даже с таким Вы точно справитесь!

Показать ответ и решение

Разложим на скобки:

9 3 3 √---- x − 2022x +x + 2022= 0

x3(x6− 2022)+ x3+ √2022-=0

x3 (x3 − √2022)(x3+ √2022) +(x3+ √2022) = 0

( 3 √----)( 6 3√ ---- ) x + 2022 x − x 2022+ 1 = 0

[ √---- x3+ 2√022-=0 x6− x3 2022+ 1= 0

Первое уравнение совокупности имеет одно решение $6√---- x =− 2022$ .

Введём замену во втором уравнении $t= x3$ , тогда:

√ ---- t2− t 2022+ 1= 0

[ √2022+√2018 t= √20222−√2018 t= 2

Вернемся к исходной переменной и получим

∘ √------√---- x = 3--2022±--2018 2

Ответ:

$−√62022; 3∘ √2022±√2018 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99169

Решить неравенство

|x-− 4|−-|x−-1| |x-− 3|+|x−-2| |x − 3|− |x− 2| < |x− 4|

Источники: Газпром - 2021, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева какое-то страшное выражение и справа какое-то страшное… Не уж-то авторы задачи хотят, чтобы мы рассматривали пять вариантов, чему принадлежит наш х, а после этого пересекали каждый раз с нашим промежутком, а потом объединяли? Надо получше подумать. Знаменатели и числители попарно друг с другом удачно связаны. Это значит, что мы можем на что-то положительное домножить, чтобы у нас левая и правая части преобразовались. На что положительное здесь было бы удобно домножить, чтобы что-то могло свернуться по формулам и у чего-то убрался модуль?

Подсказка 2

Нам надо домножить на обратную к правой части дробь. Почему она положительна? Мы знаем, что x ≠ 4, при этом, и модуль и сумма модулей тогда строго больше 0. После домножения получили справа 1, а слева только один модуль во всей дроби! А если у нас остался только один модуль, то мы можем конкретно для него уже рассмотреть всего лишь два случая знака, и для каждого случая решить очевидное неравенство методом интервалов. Значит, идейно мы всё сделали, осталось только реализовать нашу идею!

Показать ответ и решение

При ограничениях $x⁄= 4$ и $x ⁄= 2,5$ умножим обе части неравенства на положительную величину $--|x−4|--. |x−3|+|x−2|$ Получим равносильное неравенство

(x− 4)2 − |(x − 1)(x − 4)| ---(x−-3)2−-(x-− 2)2- <1.

Выполним преобразования:

2 | 2 | x--− 8x+-16−|x-−-5x-+4|− 1< 0⇔ 2 | 2 |−2x+ 5 2 |2 | ⇔ x-−-8x+-16−|x-−-5x-+4|+-2x-− 5 <0 ⇔ x-−-6x+11−-|x-− 5x+-4|> 0. −2x+ 5 2x− 5

1) Пусть $x2 − 5x+ 4≥ 0$ , тогда $x ∈(−∞;1]∪(4;+∞).$ Неравенство примет вид

x2−-6x+-11− x2+-5x−-4 −x+-7 2x− 5 > 0⇔ 2x− 5 > 0⇔ 2,5 <x < 7.

То есть, $x∈ (2,5;7).$ Учитывая, что $x ∈(−∞; 1]∪ (4;+∞ ),$ получим $x ∈(4;7).$

2) Пусть $2 x − 5x+ 4< 0,$ тогда $x ∈(1;4).$ Неравенство примет вид

x2−-6x+-11+x2−-5x+-4 2x2−-11x+15 (x−-3)(2x-− 5) 2x− 5 > 0⇔ 2x − 5 >0 ⇔ 2x− 5 > 0⇔ x > 3.

то есть $x ∈(3;+ ∞).$ Учитывая, что $x ∈(1;4)$ , получим $x∈ (3;4).$ Таким образом, решением исходного неравенства является множество $x∈ (3;4)∪(4;7).$

Ответ:

$(3;4)∪ (4;7)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105073

Найти все пары вещественных чисел $(x;y)$ , удовлетворяющих системе уравнений

{ (3− √8)x = 8y+ 9y ∘---2-------2 x − x − 3xy− y = 2y+ 2.

Источники: Газпром - 2020, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте после возведения в квадрат раскроем скобки и попытаемся красиво "свернуть" второе уравнение ;)

Подсказка 2

Отлично, второе уравнение сворачивается в квадрат! Теперь мы можем выразить y через x и подставить в первое :)

Подсказка 3

Обратите внимание на то, что (3 - √8)(3 + √8) = 1. Тогда после подстановки у нас везде образуется -x в показателе степени.

Подсказка 4

Поделите обе части уравнения на (3 + √8)⁻ˣ. Много ли корней у получившегося уравнения?

Показать ответ и решение

ОДЗ: $y ≥ − x. 4$

{ (3− √8)x = 8y+ 9y, ∘---2-------2 x − x − 3xy− y = 2y+ 2;

{ (3− √8)x = 8y+ 9y, −x2− 3xy − y2 = 4y2+2xy+ x2; 4

{ (3− √8)x = 8y+9y, (y+ x2)2 = 0,

{ √- (3− 8)x = 8y+9y, y = − x2;

{ √- √- (3+ 8)−x = ( 8)−x +3−x, y = − x2.

Поделив левую и правую части первого уравнения системы на $√ - (3 + 8)−x ⁄=0,$ получим

( √- )−x ( ) ---8√-- + --3√- −x = 1. 3 + 8 3+ 8

Выражение слева есть сумма двух монотонно убывающих функций, значит данное уравнение имеет не более одного корня. Этот корень легко угадывается: $x= −1.$ Тогда $1 y = 2.$

Ответ:

$(−1;1) 2$