backlog (работа над имеющимися решениями)

Назовём натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа и — однобокие, а число — нет). Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025, состоящая из 150 натуральных чисел, каждое из которых — однобокое?

Шахматного короля поставили на клетку доски 8 × 8 и сделали им 64 хода так, что он побывал на всех клетках и вернулся в исходную клетку. В каждый момент времени вычислялось расстояние от центра клетки, в которой находился король, до центра всей доски. Назовём сделанный ход приятным, если в результате хода это расстояние стало меньше, чем было до хода. Найдите наибольшее возможное количество приятных ходов. (Шахматный король за один ход передвигается на клетку, соседнюю по стороне или по углу.)

Дана прямая призма Известно, что треугольники и — остроугольные. Докажите, что точки пересечения высот этих треугольников вместе с точкой пересечения медиан треугольника лежат на одной сфере.

Решите в целых числах и уравнение

Все ненулевые коэффициенты многочлена равны а сумма коэффициентов равна Могут ли коэффициентов многочлена оказаться равны

Пусть и — приведённые квадратные трёхчлены, а точки и — соответственно вершины парабол и Через будем обозначать наименьшее значение функции Известно, что разности

оказались равными положительными числами. Найдите угол между прямой и прямой, содержащей ось

Петя выбрал 100 попарно различных положительных чисел, меньших 1, и расставил их по кругу. Затем он проделывает с ними операции. За одну операцию можно взять три стоящих подряд (именно в таком порядке) числа и заменить число на . При каком наибольшем Петя мог выбрать исходные числа и сделать несколько операций так, чтобы после них среди чисел оказалось целых?

На периметре треугольника выбраны точки так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке Оказалось, что

Докажите, что периметры треугольников, образованных тройками прямых и равны.

При каком наименьшем для любого многочлена степени 100 с вещественными коэффициентами найдётся такой многочлен степени не выше с вещественными коэффициентами, что графики и имеют ровно 100 общих точек?

Четырёхугольник в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность В треугольники вписаны окружности соответственно. Проведены общие внешние касательные к окружностям и и и и не содержащие сторон четырёхугольника Четырёхугольник, последовательные стороны которого лежат на четырёх проведённых прямых (именно в таком порядке), вписан в окружность Докажите, что прямые, соединяющие центры окружностей и и и пересекаются в одной точке.

Пусть — непрерывная функция. Хордой будем называть отрезок целой длины, параллельный оси абсцисс, концы которого лежат на графике функции Известно, что у графика функции ровно хорд, причём среди них есть хорда длины 2025. Найдите наименьшее возможное значение

Докажите, что уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Пусть — натуральное число такое, что уравнение имеет решение в натуральных числах. Докажите, что представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Докажите, что существуют натуральные числа большие такие, что

Натуральные числа и таковы, что число целое. Докажите, что оно равно

На клетчатую доску размера разместили квадратов со сторонами по линиям сетки. Докажите, что хотя бы одна клетка доски будет покрыта не менее квадратами.

Докажите, что по любому простому модулю существует первообразный корень.

(a) Основное свойство поляры. Покажите, что точка лежит на поляре точки тогда и только тогда, когда лежит на поляре точки

(b) Поляры точек и пересекаются в точке Чем является поляра точки

Через произвольную точку провели секущую к окружности . Она пересекла окружность в точках и Докажите, что точка пересечения касательных к в точках и лежит на поляре

Докажите, что точка лежит на поляре точки относительно окружности с центром и радиусом тогда и только тогда, когда