backlog (работа над имеющимися решениями)

Ключевая лемма. Докажите, что если показатели каких-то двух чисел и равны и соответственно такие, что то существует число, показатель которого равен

Доказательство. Во-первых, Осталось понять почему эта степень минимальная. Пусть Тогда

Возведем в степень

то есть и так как Аналогично то есть значит,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь вернемся к доказательству теоремы. Пусть  — показатели чисел соответственно.

НОК() = Тогда есть Если у показатель то хочется сказать, что у числа показатель ведь и, если существует такой, что то у показатель был бы меньше.

Раз то Значит, существует число у которого показатель Тогда найдем такие числа для каждого простого и перемножим их. По предыдущей лемме у произведения показатель будет НОК(

Осталось доказать, что = НОК() = по свойству показателя. Значит, и

Давайте рассмотрим сравнение С одной стороны, корней не больше, чем С другой стороны, для любого поэтому то есть решений хотя бы и Соединяем последних факта и получаем, что то есть мы найдем первообразный корень.