backlog (работа над имеющимися решениями)

В одну из сторон это утверждение просто частный случай теоремы Кэзи. Поэтому докажем в другую. Пусть дано, что

Тогда хотим доказать, что окружность касается окружности Сделаем инверсию с центром в точке которая оставляет окружность на месте, то есть с радиусом Обозначим образы точек и при этой инверсии за и Длины касательных из точек и до равны и соответственно. Попробуем выразить через Пусть — центр окружности Обозначим за и точки пересечения прямой и окружности Пусть — угол между прямыми и Тогда где — радиус окружности Выразим как а посчитаем по теореме косинусов. Отрезок выразим как Тогда получаем:

Теперь аналогичным образом посчитаем

Из инверсии знаем, что Поэтому получаем, что:

Аналогично

Из формулы измения длины отрезка при инверсии знаем, что

Теперь все подставляем в наше исходное равенство из условия:

Сократим на общий множитель и получим Докажем, что такое возможно только, если прямая касается Для этого зафиксируем точку и будем искать все такие точки что верно при этом длина отрезка фиксированная. С одной стороны такие точки лежат на окружности с центром в точке и радиусом а с другой на окружности концентрической ведь отрезок тоже фиксированной длины. Поэтому таких точек не более двух. Но как минимум две такие точки легко построить, достаточно пересечь касательные из к и окружность радиуса В итоге получаем, что точка в любом случае такова, что касется окружности следовательно после инверсии в окружность касается что и требовалось.