backlog (работа над имеющимися решениями)

Докажем утверждение для вписанной окружности. Для вневписанных рассуждения аналогичны. Пусть — длина отрезка точка касания вписанной со стороной и середина стороны соответственно. Аналогично определим

Отрезки и равны где — полупериметр треугольника Без ограничений общности, можем считать, что следовательно,

Тогда, по обратной слабой теоремы Кэзи, касание эквивалетно выполнению соотношения

которое верно при любых после приведения общих слагаемых.