Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела газпром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#123689

Найти минимальное натуральное k> 2025,  при котором число

-----1----  -----1------      -----------1-----------
1 +√32 + 3√4 + √34-+ 3√6+ 3√9-+ ...+ 3√k2−-2k+1-+√3k2-− k-+ 3√k2

является рациональным.

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Глобальная идея решения такая: нужно некоторым образом преобразовать каждое слагаемое так, чтобы большинство слагаемых взаимно уничтожились.

Подсказка 2

Если не понимаете, как преобразовать, то вот над чем стоит задуматься: в знаменателе присутствуют кубические корни. От них было бы хорошо избавиться, вероятно, возведением в куб.

Подсказка 3

Ещё каждый знаменатель является неполным квадратом. Было бы неплохо домножить и поделить каждую дробь на скобочку, которой не хватает до разности кубов в знаменателе.

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное выражение, перемножив каждую дробь на числовое выражение для получения разности кубов в знаменателях дробей:

     1      1− 3√2          1        √32-− 3√3                1            3√k−-1− 3√k
---3√---√3-2 ⋅1−-3√2-+ 3√-2-3√-3√----3√-2 ⋅√32-−-3√3 + ...+ √3-2--√3----3√---3√-2 ⋅3√k−-1−-3√k-=
1+  2 +  2           2 +  2  3+  3                 k− 1+   k− 1 k+  k

       -    -   -       ----  √ -
  1-−√32  3√-2−√33      3√k-− 1-−-3k
=  1− 2 +   2− 3 + ...+  (k − 1)− k =

      √ -   √-  √-        √----  √-
=− (1− 3 2)− (32− 33)− ...− (3k− 1− 3k)=

      √3-  3√-  3√-      √3----  3√-
= −1 +  2−  2+  3 − ...− k− 1+  k=

   -
= 3√k − 1

Это число будет рациональным, когда k  является полным кубом. Итак,

k= 133 = 2197> 2025.
Ответ:

 2197

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!