Тема Газпром

Тождественные преобразования на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#123689

Найти минимальное натуральное $k> 2025,$ при котором число

-----1---- -----1------ -----------1----------- 1 +√32 + 3√4 + √34-+ 3√6+ 3√9-+ ...+ 3√k2−-2k+1-+√3k2-− k-+ 3√k2

является рациональным.

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Глобальная идея решения такая: нужно некоторым образом преобразовать каждое слагаемое так, чтобы большинство слагаемых взаимно уничтожились.

Подсказка 2

Если не понимаете, как преобразовать, то вот над чем стоит задуматься: в знаменателе присутствуют кубические корни. От них было бы хорошо избавиться, вероятно, возведением в куб.

Подсказка 3

Ещё каждый знаменатель является неполным квадратом. Было бы неплохо домножить и поделить каждую дробь на скобочку, которой не хватает до разности кубов в знаменателе.

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное выражение, перемножив каждую дробь на числовое выражение для получения разности кубов в знаменателях дробей:

1 1− 3√2 1 √32-− 3√3 1 3√k−-1− 3√k ---3√---√3-2 ⋅1−-3√2-+ 3√-2-3√-3√----3√-2 ⋅√32-−-3√3 + ...+ √3-2--√3----3√---3√-2 ⋅3√k−-1−-3√k-= 1+ 2 + 2 2 + 2 3+ 3 k− 1+ k− 1 k+ k

- - - ---- √ - 1-−√32 3√-2−√33 3√k-− 1-−-3k = 1− 2 + 2− 3 + ...+ (k − 1)− k =

√ - √- √- √---- √- =− (1− 3 2)− (32− 33)− ...− (3k− 1− 3k)=

√3- 3√- 3√- √3---- 3√- = −1 + 2− 2+ 3 − ...− k− 1+ k=

- = 3√k − 1

Это число будет рациональным, когда $k$ является полным кубом. Итак,

k= 133 = 2197> 2025.

Ответ:

$2197$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99235

Вычислить:

√ ----6∘----√--------- ∘ √------- ∘ √------- 2023( 2027 2024 +6073+ 2024+ 1)⋅ 2024− 1.

Источники: Газпром - 2024, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим почти везде похожие числа, как будто построенные вокруг 2024 (всё-таки олимпиада проводилась в 2024 году). Понятно, что корень из 2023 почти нереально преобразовывать, используя как-то правую скобку. Значит, надо преобразовать сначала правую скобку, независимо от корня слева. Аналогичные рассуждения приводят нас к тому, что нам надо сначала преобразовать корень шестой степени, а значит, сначала подкоренное выражение. Как же это сделать?

Подсказка 2

6073 похоже на 2024, умноженное на 3, но только увеличенное на 1. А 2027 на что похоже? На 2024 + 3. Давайте тогда разложим на такую сумму, чтобы у нас были только маленькие числа и 2024 и посмотрим, на что это похоже. 2024 корня из 2024, 3 * 2024, 3 корня из 2024 и 1. Что это?

Подсказка 3

Это куб суммы корня из 2024 и 1. Доведите преобразование до конца, извлеките корень, а потом сверните по формуле разности квадратов и получите ответ!

Показать ответ и решение

Выделим куб суммы в подкоренном выражении первого слагаемого скобки:

2027√2024-+6073= 2024√2024+3√2024+ 6072+ 1= √ ----3 √ ---- 2 √ ---2 3 √---- 3 = ( 2024) +3 2024⋅1 + 3⋅( 2024) ⋅1 +1 = ( 2024 +1).

Тогда:

√ ---( 6∘-√-------- ∘√-------)∘ √------- √ ---- ∘ √-------∘ √------- 2023 ( 2024+1)3+ 2024+ 1 2024 − 1= 2023(2 ⋅ 2024+ 1) 2024 − 1= √---- ∘-√--------√------- √---√ ------- =2 2023⋅ ( 2024+ 1)( 2024 − 1)= 2 2023 2024− 1= 4046.

Ответ:

$4046$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99218

Найти

a12+-4096 64a6 ,

если

a 2 2 − a =5.

Источники: Газпром - 2023, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В числителе нашей дроби стоит сумма, тогда давайте попробуем записать всю дробь в виде суммы дробей, поделив каждое слагаемое на знаменатель. Получим очень знакомое выражение! Причём оба слагаемых — квадраты. А что можно сделать, когда видишь сумму квадратов?

Подсказка 2

Выделить квадрат разности! Для этого нужно всего лишь прибавить и вычесть двойку. И теперь под скобками в этом выражении оказалась уже разность кубов. Проделываем схожие махинации, чтобы выделить куб разности и получаем известное нам из условия выражение.

Показать ответ и решение

a12+ 4096 a6 64 a6 64 --64a6---= 64 + a6 = 64 − 2+ a6 + 2= (a3 8)2 ( a3 a 2 8 ( a 2))2 = -8 −a3 +2 = 8-− 3⋅2 + 3⋅a − a3 +3 2 − a +2= (( )3 ( ))2 ( ) = a2 − 2a +3 a2 − 2a +2 = 53+ 3⋅52+ 2= 19602.

Ответ:

$19602$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99153

Доказать неравенство:

1- 1- 1- -1--- 12 + 22 + 32 + ...+ 20212 < 2.

Источники: Газпром - 2021, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хотелось бы как-то красиво "собрать" сумму и по возможности что-то сократить. Как можно оценить квадраты, чтобы знаменатели стали более похожими друг на друга?

Подсказка 2

Квадрат числа больше, чем произведение его на число, меньшее на единицу.

Подсказка 3

Нам хочется, чтобы многие дроби сократились. Для этого нам нужно представить наше выражение в виде разностей и сумм. Попробуем тогда выразить в виде разности выражения вида 1/(x(x+1)).

Подсказка 4

1/(x(x+1)) = 1/x - 1/(x+1). Смотрите, теперь в нашем выражении многое сокращается ;)

Показать доказательство

Перепишем неравенство в виде

1- 1- -1--- 22 + 32 +...20212 <1.

Справедливо неравенство

1 1 1 1 1 1 1 22 + 32 +...20212 < 1⋅2 +2-⋅3 + 3⋅4 + ...2020-⋅2021

Так как

-1-+ -1- +-1- +...+ ---1----= 1⋅2 2⋅3 3 ⋅4 2020⋅2021

( ) ( ) ( ) ( ) = 1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...+ -1--− -1-- = 2 2 3 3 4 2020 2021

= 1− -1--= 2020, 2021 2021

то

1-+ 1-+ ...--1--< 2020-<1. 22 32 20212 2021

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105071

Найти значение выражения $A,$ если

(----1--- ----1--- ----1---) A= 19,19⋅ 1919⋅1920 +1920⋅1921 +...+2018⋅2019 .

Источники: Газпром - 2020, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать с такой длинной суммой неудобно. Давайте подумаем, как можно преобразовать дроби так, чтобы многое из скобки сократилось ;)

Подсказка 2

Попробуйте представить каждую дробь в виде разности, чтобы получилась так называемая, "телескопическая сумма ". Тогда многое сократится и останутся лишь дроби со знаменателем 1919 и 2019.

Подсказка 3

1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)

Показать ответ и решение

Так как