02 Конус Маха - Каталог заданий по Олимпиадной физике в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#99269

Сверхзвуковой самолет, летящий горизонтально со скоростью, вдвое большей скорости звука, пролетает мимо двух микрофонов. Через какое время после первого зафиксирует звук самолета второй микрофон, если расстояние между ними $Δl = 13,2 м,$ а скорость звука $c = 330 м/с$ ?

Рассмотрите два случая: а) микрофоны расположены горизонтально; б) микрофоны расположены вертикально.

Показать ответ и решение

В обоих случаях надо найти время, через которое конус Маха, коснувшись первого микрофона, коснется второго.

а) Посмотрите на рисунок A), на котором нарисована лишь половинка конуса Маха и трасса самолета проложена прямо через микрофоны. Вершина конуса – это сам самолет, поэтому движется она со скоростью самолета. Чтобы дойти до второго микрофона, ей понадобится время

Δt = Δl-= Δl-= 2 ⋅10−2 с. v 2c

б)В этом случае посмотрите на рисунок Б). Чтобы конуc Маха коснулся второго микрофона, самолету надо пройти путь $√ ------- Δs = Δlctgα = Δl M 2 − 1.$ Для этого нужно время

Δs Δl√M--2 −-1 −2 Δt = -v-= ----2c---- = 3,46⋅10 с.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99270

Траектория сверхзвукового самолета проходит с запада на восток. Первый наблюдатель находится непосредственно под траекторией самолета, второй – на расстоянии $a = 4500 м$ от него к югу, а третий – на расстоянии $b = 8000 м$ к северу. Чему равны высота полета самолета и число Маха, если второй наблюдатель услышал звук на $Δt = 2,28 с 2$ позже первого, а третий – на $Δt3 = 3,80 с$ позже второго? Скорость звука $c = 330 м/ с.$

Показать ответ и решение

В пространственном случае под точкой З надо понимать не зенит, а ближайшую к наблюдателю точку на траектории самолета, и для длины отрезка $ЗН$ брать не высоту полета $h,$ а минимальное расстояние $√ ------- h2 + d2$ от наблюдателя до траектории. Воспользуемся формулой $h = √--vΔt--- M 2 − 1$ и запишем для каждого наблюдателя выражение для времени регистрации звукового сигнала:

√ ------- √ ------√ ------- --M-2 −-1 h --M-2 −-1-h2 +-a2 t1 = M c,t2 = M c ,

√M-2-−-1√h2-+-b2 t3 = ----------------. M c

Все времена отсчитаны от момента прохождения самолетом «зенита», которым для всех трех наблюдателей является точка З. В условии задачи задаются не сами времена, а разности времен, поэтому система уравнений будет иметь вид

√M-2-−-1(∘ ------- ) cΔt2 = -------- h2 +a2 − h , M

√ ------- --M-2 −-1 (∘-2---2 ∘ -2---2) cΔt3 = M h + b − h + a .

Решение этих уравнений дает

H = 6000 м,M = 1,16.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99272

Два сверхзвуковых самолета летят навстречу друг другу параллельными курсами. Число Маха для первого самолета $M1,$ для второго $M2$ . Скорость звука $c.$ Второй летчик услышал звук первого самолета через время $Δt$ после того, как первый летчик услышал звук второго самолета. Чему равно расстояние между траекториями самолета? Чему было равно расстояние между самолетами, когда первый летчик услышал звук? Чему было равно расстояние между самолетами, когда второй летчик услышал звук?

Показать ответ и решение

На рисунке изображен момент, когда первый летчик (более быстрый) услышит звук второго самолета. Рассмотрим треугольник $AC1C2.$ В этом треугольнике нам заданы три величины:

∠C1AC2 = α1,∠AC2C1 = 180∘ − α и AC2 = (v1 + v2)Δt.

Pacстояние между самолетами в тот момент, когда первый летчик слышит самолет второго, равно

sinα1 (M1 + M2 )M2 C1C2 = (v1 + v2)Δt sin(α-−-α-)-= cΔt∘--2-----∘---2----, 2 1 M 1 − 1 − M 2 − 1

расстояние между самолетами в момент, когда второй летчик услышит первый самолет, равно

sin α2 (M1 + M2)M1 AC1 = (v1 + v2)Δtsin(α2-−-α1) = cΔt ∘M-2−-1−-∘M-2−-1, 1 2

а расстояние между траекториями самолетов составляет

sin-α2sin-α1- L = C1C2 sin α2 = (v1 + v2)Δt sin(α2 − α1) =

M + M = cΔt∘---2--1---∘2--2---- M 1 − 1 − M2 − 1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99273

Самолет 1 летит со сверхзвуковой скоростью $v1.$ Летчик самолета 2 хочет лететь так, чтобы не слышать шума мотора первого самолета. При какой минимальной скорости ему это удастся? Какого курса ему следует при этом придерживаться?

Показать ответ и решение

Пусть летчик второго самолета выбрал курс, составляющий угол $β$ с курсом первого самолета. Его траектория – прямая, и по этой прямой движутся две точки: сам второй самолет $C2$ и точка $А$ – точка пересечения этой прямой и образующей конуса Маха первого самолета. Летчик второго самолета никогда не услышит звука первого самолета, если точка $А$ никогда не догонит его. Поэтому скорость второго самолета должна быть больше или равна скорости точки $А.$ Найдем эту скорость.

Рассмотрим смещение первого самолета за некоторое время $Δt.$ В треугольнике $C1C ′A′′ 1$ сторона $C1A′′$ равна смещению $Δs$ точки $А.$ Используя теорему синусов, получаем

Δs = v1Δtsinα-, sin(α + β)

откуда для скорости точки А находим

Δs v1sin α c vA = Δt-= sin(α+-β) = sin(α+-β).

Обсудим полученное выражение. Если второй самолет будет лететь в том же направлении, что и первый $(β = 0),$ то

--c- v2 = vA = sinα = v1

– второму самолету следует иметь скорость, большую или равную скорости первого самолета. Разумный результат. Для курса, перпендикулярного курсу первого самолета $(β = 90∘),$ скорость точки $А$ будет равна

c c c v v⊥ = ---------∘- = -----= ∘--------2 = √--21---. sin(α+ 90 ) cosα 1− 1∕M M − 1

А вот минимальная скорость у точки пересечения будет в том случае, когда $sin (α + β) = 1,$ т.е. когда $∘ α+ β = 90 .$ Это условие будет выполнено, если наша прямая будет перпендикулярна образующей конуса Маха. Тогда скорость точки пересечения будет просто равна скорости звука $c.$ Об этой скорости часто говорят как о скорости движения волнового фронта или как о скорости движения огибающей. Итак, ответ к нашей задаче таков. Минимальная скорость, при которой второй летчик может лететь так, чтобы ему не мешал шум первого самолета, это скорость звука $c,$ т.е. достаточно, чтобы второй самолет был просто сверхзвуковым. А для того чтобы путешествовать в тишине, второму летчику следует выбрать курс, перпендикулярный образующей конуса Маха первого самолета.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99275

Сверхзвуковые самолеты летят перпендикулярно друг другу со скоростями, соответствующими числам Маха $M1 = 3,M2 = 4$ . Сколько времени второй летчик будет слышать шум мотора первого самолета, если первоначальное

расстояние между самолетами $L = 6600 м$ ? Услышит ли когда-нибудь первый летчик звук второго самолета? Скорость звука $c = 330 м/ с.$

Источники: МФТИ, 2006

Показать ответ и решение

Сразу после того, как первый самолет пересечет траекторию второго, на ней появятся две точки: $A1$ и $A2$ . Первая будет двигаться навстречу второму самолету, а вторая – от него. Скорости обеих точек равны

v v⊥ = ∘---12---. M 1 − 1

Второй летчик будет слышать звук первого самолета, пока будет находиться внутри конуса Маха первого самолета, т.е. между точками $A1$ и $A2.$ Пусть $t1$ – время встречи второго самолета с точкой $A1,$ а $t2$ – время, когда второй самолет догонит точку $A , 2$ тогда для «длительности звучания первого самолета» $Δt$ получим

Δt = t − t . 2 1

Если расстояние между самолетами было равно $L$ и они движутся навстречу друг другу со скоростями $v 2$ и $v , ⊥$ то они встретятся через время

--L---- t1 = v2 + v⊥

Если же один из самолетов движется в другую сторону, то второй нагонит первого через время

--L---- t2 = v2 − v⊥

Объединяя эти два ответа, окончательно получаем

∘ --2---- Δt = -22v⊥-2L = --22M12--M-12−-1-2L-= 2,85 с. v2 − v⊥ M1M 2 − M 1 − M 2c

А вот пилот первого самолета никогда не услышит звука второго самолета, так как его скорость $v1 = M1c = 990 м/с$ больше скорости точки пересечения его траектории с конусом Маха второго самолета $v = ∘--v22----= 341 м/с. M 2 − 1$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99338

Вдоль направления течения прямой реки по спокойной воде плывёт маленький катер, траектория которого параллельна берегу и лежит на расстоянии $L$ от него. Скорость течения реки равна $V.$ Стоящий на берегу в точке $A$ наблюдатель увидел, что первая волна от катера достигла точки $A$ спустя время $t$ после того, как катер пересёк прямую $AB,$ перпендикулярную берегу (см. рис.). После этого волны ударяли о берег в этом месте с периодом $T.$ Расстояние между соседними гребнями волн равно $λ.$ Найдите скорость катера относительно воды, считая, что волны, возбуждаемые катером на поверхности воды, близки к гармоническим.

Источники: Всеросс., 2023, МЭ, 8

Показать ответ и решение

Пусть $v$ – скорость катера относительно стоячей воды, $u$ – скорость распространения волн относительно поверхности стоячей воды. Запишем формулу для скорости волн, учитывая, что они близки к гармоническим:

u = λ ∕T0,

где $T0$ – период волн в системе отсчёта, связанной с водой.

Перейдём в систему отсчёта, связанную с катером:

В этой системе отсчета вода движется относительно катера со скоростью - $v$ , а волны распространяются относительно воды из каждой точки, в которой находился катер, во всех направлениях со скоростью, по модулю равной $u$ (иначе говоря, гребни волн, испущенных в некоторый момент, в следующие моменты времени находятся на одинаковом расстоянии от точки испускания, которая движется со скоростью $v$ ). Из закона сложения скоростей следует, что относительно катера волны распространяются только внутри угла $2α,$ изображённого на первом рисунке (это так называемый «конуса Маха»; в трёхмерном случае волны распространяются внутри конуса). Относительно берега реки «конус Маха» как единое целое движется со скоростью , и поэтому гребни волн образуют с берегом тот же угол $α,$ что изображён на первом рисунке. Из условия задачи следует, что $u < v$ (иначе волны обгоняли бы катер, и первая волна пришла бы в точку $A$ до того, как катер пересек линию $AB$ ).

Рассмотрим рисунок, на котором показан гребень волны $AD$ и набор параллельных ему гребней следующих волн.

В точку $A$ дошла волна, испущенная из точки $C,$ а катер за это время прошёл отрезок $CD.$ Из первого рисунка и второго рисунка следуют уравнения (1) и (2):

sin α = u- v

L = BD ⋅tgα = (v + V)t ⋅tg α.

Свяжем величины и $T$ (то есть фактически учтем эффект Доплера). Если волны распространяются в стоячей воде, то скорость движения вдоль берега точки $E$ (это точка пересечения линии гребня волны с берегом) равна $u1 = u∕ sinα.$ Отрезок $AE = λ∕sin α.$ Поэтому $--u- = ---λ--- sinα T0 sinα$ . Если же волны распространяются в воде, которая течет со скоростью $V,$ то эту скорость течения нужно добавить к скорости $u1,$ и учесть, что изменится период волн. При этом получится следующее соотношение: $u λ ----+ V = ------, sinα T sin α$ где $T$ - заданный в условии задачи период волн, наблюдаемых в системе отечета, связанной с берегом.