.02 Конус Маха

Пусть – скорость катера относительно стоячей воды, – скорость распространения волн относительно поверхности стоячей воды. Запишем формулу для скорости волн, учитывая, что они близки к гармоническим:

где – период волн в системе отсчёта, связанной с водой.

Перейдём в систему отсчёта, связанную с катером:

В этой системе отсчета вода движется относительно катера со скоростью - , а волны распространяются относительно воды из каждой точки, в которой находился катер, во всех направлениях со скоростью, по модулю равной (иначе говоря, гребни волн, испущенных в некоторый момент, в следующие моменты времени находятся на одинаковом расстоянии от точки испускания, которая движется со скоростью ). Из закона сложения скоростей следует, что относительно катера волны распространяются только внутри угла изображённого на первом рисунке (это так называемый «конуса Маха»; в трёхмерном случае волны распространяются внутри конуса). Относительно берега реки «конус Маха» как единое целое движется со скоростью , и поэтому гребни волн образуют с берегом тот же угол что изображён на первом рисунке. Из условия задачи следует, что (иначе волны обгоняли бы катер, и первая волна пришла бы в точку до того, как катер пересек линию ).

Рассмотрим рисунок, на котором показан гребень волны и набор параллельных ему гребней следующих волн.

В точку дошла волна, испущенная из точки а катер за это время прошёл отрезок Из первого рисунка и второго рисунка следуют уравнения (1) и (2):

Свяжем величины и (то есть фактически учтем эффект Доплера). Если волны распространяются в стоячей воде, то скорость движения вдоль берега точки (это точка пересечения линии гребня волны с берегом) равна Отрезок Поэтому . Если же волны распространяются в воде, которая течет со скоростью то эту скорость течения нужно добавить к скорости и учесть, что изменится период волн. При этом получится следующее соотношение: где - заданный в условии задачи период волн, наблюдаемых в системе отечета, связанной с берегом.

Отсюда

С учетом уравнения (1),

Далее, с учетом уравнения (2):

Отсюда

Окончательно получаем: