Тема . Теория вероятностей и математическая статистика

Аксиоматическая вероятность, случайные величины и их моменты (мат.ожидание)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория вероятностей и математическая статистика

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48860

Петя бросает несколько раз на стол игральный кубик и считает сумму очков, выпавших на его верхней грани. Для любого натурального числа $n$ событие $An$ наступает, если эта сумма равна $n$ . Найти вероятность события $A11$ .

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Считать количество способов собрать сумму в 11 не очень приятно. Но можно "откатить шаг назад", тогда способов набрать нужную сумму зная, какой она была ход назад, немного проще! Нам также понадобится переменная k — число ходов.

Подсказка 2

Мы знаем, что на k-том шаге у нас равновероятно выпадает каждое из чисел. Тогда нам подходит любая и сумм от n-1 до n-6 на предыдущем шаге!

Подсказка 3

Вероятность того, что на k-том шаге у нас сумма равна n, равна 1/6 от суммы вероятностей того, что на (k-1)-м шаге у нас выпали суммы от n-1 до n-6! Отлично, теперь мы можем спускать до нуля ;)

Подсказка 4

Можно, например, расписать таблицу 11x11 и посмотреть на сумму вероятностей в столбце суммы в 11. Не забудьте про то, что каждое количество шагов тоже наступает с некоторой вероятностью!

Показать ответ и решение

Используем рекуррентную формулу для поиска вероятности $A n,k$ — получить сумму $n$ за $k$ бросков

∑6 ( ) P(An,k)= P(An−i,k−1)⋅ 16 = 16 P(An−6,k−1)+ ...+P (An− 1,k− 1) i=1

Действительно, нам нужно откатиться на один бросок назад, в котором с равными вероятностями выпадают $1,2,3,4,5,6$ . Посчитаем таблицу вероятностей $A n,k$ (не будем явно прописывать знаменатели $6− k$ , оставим только числители)


$k∖n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$

$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

$1$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

$2$	$0$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$

$3$	$0$	$0$	$0$	$1$	$3$	$6$	$10$	$15$	$21$	$25$	$27$	$27$

$4$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$4$	$10$	$20$	$35$	$56$	$80$	$104$

$5$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$5$	$15$	$35$	$70$	$126$	$205$

$6$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$6$	$21$	$56$	$126$	$252$

$7$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$7$	$28$	$84$	$210$

$8$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$8$	$36$	$120$

$9$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$9$	$45$

$10$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$10$

$11$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$

Бросать кубик имеет смысл только от $2$ до $11$ раз, иначе невозможно получить $11$ очков в сумме. Предположим, что каждое количество бросков равновероятно и наступает с вероятностью $110$ , получим формулу

11 P(A11)= 1-∑ P(A11,k) = 10k=2

1 ( 2 27 104 205 252 210 120 45 10 1 ) 1 ( 710 73) = 10-⋅ 62 + 63 +-64-+ 65-+ 66-+ 67-+ 68-+ 69-+ 610 + 611 = 10 ⋅ 611-− 1165

Ответ:

$-1 ⋅( 710-− 1173) 10 611 65$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Аксиоматическая вероятность, случайные величины и их моменты (мат.ожидание)

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ