Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Аксиоматическая вероятность, случайные величины и их моменты (мат.ожидание)

Тема Теория вероятностей и математическая статистика

Аксиоматическая вероятность, случайные величины и их моменты (мат.ожидание)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория вероятностей и математическая статистика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86097

Если сегодня плохая погода, то завтра с вероятностью 1 будет хорошая погода. Если сегодня хорошая погода, то завтра хорошая погода будет с вероятностью 0,4. Какова вероятность, что 7 марта будет хорошая погода, если 3 марта плохая и хорошая погоды равновероятны? (Погода одинаковая весь день и может быть только плохой или хорошей).

Источники: Бельчонок - 2024, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим $P n$ вероятность хорошей погоды в день $n$ считая $3$ марта за первый день. Тогда

Pn = 0,4Pn−1+ (1− Pn−1)= 1− 0,6Pn

(Если в $n− 1$ -й день погода плохая, то в $n$ -й она точно хорошая, а если хорошая, то в $n$ -м дне будет хорошей с вероятностью $0,4$ ). По условию $P1 = 1 2$ . Находим последовательно

P2 =0,7

P = 0,58 3

P4 = 0,652,P5 =0,6088

Ответ:

0,6088

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#72116

Василий пытается отправить СМС в условиях слабой мобильной связи. Телефон делает попытки отправить СМС до тех пор, пока это не удастся. Известно, что вероятность удачной попытки равна $0,05$ независимо от предыдущих попыток. Найдите математическое ожидание числа сделанных попыток.

Показать ответ и решение

Вероятность отправки СМС равна $0,05.$ Это значит, что из $100$ попыток отправить СМС в среднем удачными окажутся $5.$ То есть, чтобы отправить $1$ СМС нужно сделать в среднем $20$ попыток. Значит, математическое ожидание числа сделанных попыток равно $20.$

Ответ:

$20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#72119

Бросаются две игральные кости. Выясните какие из следующих событий являются независимыми:

A — на первой кости выпало 6;

B — на второй кости выпало не более 2;

C — сумма очков на костях равна 7;

D — разность очков на первой и второй кости равна 1;

E — очки на костях различаются на 3.

Показать ответ и решение

По определению события $A$ и $B$ являются независимыми, если

$P(A ∩B )= P(A )⋅P (B )$

Для начала найдем вероятности всех событий как отношение количества благоприятных исходов ко всем $36$ исходам:

6 1 12 1 6 1 5 6 1 P(A)= 36 = 6, P(B)= 36 = 3, P (C )= 36-= 6, P(D)= 36, P (E )= 36-= 6

P(A∩ B)= 326 = 16 ⋅ 13

следовательно, $A$ и $B$ являются независимыми

P(A∩ C)= -1 = 1 ⋅ 1 36 6 6

следовательно, $A$ и $C$ являются независимыми

P(A ∩D )= 1-⁄= 1⋅ 5- 36 6 36

следовательно $A$ и $D$ не являются независимыми

-1 1 1 P(A∩ E)= 36 =6 ⋅6

следовательно, $A$ и $E$ являются независимыми

2 1 1 P(B ∩C)= 36 =6 ⋅3

следовательно, $B$ и $C$ являются независимыми

P(B ∩ D)= 2-⁄= 1 ⋅ 5 36 3 36

следовательно, $B$ и $D$ не являются независимыми

P(B ∩E)= -2 = 1 ⋅ 1 36 3 6

следовательно, $B$ и $E$ являются независимыми

P(C ∩D )= 1-⁄= 1 ⋅ 5 36 6 36

следовательно, $C$ и $D$ не являются независимыми

P(C ∩E)= -2 ⁄= 1 ⋅ 1 36 6 6

следовательно, $C$ и $E$ не являются независимыми

События $E$ и $D$ не могут произойти одновременно.

Ответ:

$A и B, A и C, A и E, B и C, B и E$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#101758

Изначально в корзине лежат все $2n− 1$ непустых подмножеств множества ${1,2,...,n}.$ Множеед Кевин питается множествами. Каждое утро он наугад выбирает из корзины ещё несъеденное множество и ест его и все его ещё несъеденные подмножества. Найдите среднее количество дней, на которое Кевину хватит корзины.

Показать ответ и решение

Для каждого из множеств $A$ в нашей корзине определим событие $X(A),$ состоящее в том, что Кевин выбирает как-то наутро множество $A.$ Через $ξA$ обозначим случайную величину, равную $1,$ если событие $X(A)$ произошло, и $0$ — иначе. Заметим, что интересующее нас количество завтраков, обеспеченных корзиной, равно $∑ AξA.$ Таким образом, среднее количество завтраков равно математическому ожиданию этой суммы, то есть сумме математических ожиданий случайных величин $ξA,$ то есть сумме вероятностей событий $X (A ).$ Для данного множества $A$ рассмотрим семейство из всех $n− |A| 2$ его надмножеств в корзине. В какой-то момент Кевин впервые выберет из корзины какое-то подмножество этого семейства, а до того все они лежат в корзине. Именно этим утром множество $A$ оказывается съеденным. Вероятность того, что первым выбранным подмножеством из семейства окажется именно $A,$ равна $n− |A| 1∕2 .$ Таким образом, искомое математическое ожидание равно

∑ ∑ ∑n 1∕2n−A = 2−n 2|A| = 2−n Ckn2k = (3n − 1)∕2n A A k=1

Ответ:

$(3n− 1)∕2n$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#48860

Петя бросает несколько раз на стол игральный кубик и считает сумму очков, выпавших на его верхней грани. Для любого натурального числа $n$ событие $An$ наступает, если эта сумма равна $n$ . Найти вероятность события $A11$ .

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Используем рекуррентную формулу для поиска вероятности $A n,k$ — получить сумму $n$ за $k$ бросков

∑6 ( ) P(An,k)= P(An−i,k−1)⋅ 16 = 16 P(An−6,k−1)+ ...+P (An− 1,k− 1) i=1

Действительно, нам нужно откатиться на один бросок назад, в котором с равными вероятностями выпадают $1,2,3,4,5,6$ . Посчитаем таблицу вероятностей $A n,k$ (не будем явно прописывать знаменатели $6− k$ , оставим только числители)


$k∖n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$

$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

$1$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

$2$	$0$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$

$3$	$0$	$0$	$0$	$1$	$3$	$6$	$10$	$15$	$21$	$25$	$27$	$27$

$4$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$4$	$10$	$20$	$35$	$56$	$80$	$104$

$5$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$5$	$15$	$35$	$70$	$126$	$205$

$6$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$6$	$21$	$56$	$126$	$252$

$7$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$7$	$28$	$84$	$210$

$8$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$8$	$36$	$120$

$9$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$9$	$45$

$10$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$10$

$11$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$

Бросать кубик имеет смысл только от $2$ до $11$ раз, иначе невозможно получить $11$ очков в сумме. Предположим, что каждое количество бросков равновероятно и наступает с вероятностью $110$ , получим формулу

11 P(A11)= 1-∑ P(A11,k) = 10k=2

1 ( 2 27 104 205 252 210 120 45 10 1 ) 1 ( 710 73) = 10-⋅ 62 + 63 +-64-+ 65-+ 66-+ 67-+ 68-+ 69-+ 610 + 611 = 10 ⋅ 611-− 1165

Ответ:

$-1 ⋅( 710-− 1173) 10 611 65$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74788

Двое играют в карточную игру. У каждого есть колода из 30 карт. Каждая карта красная, зелёная или синяя. По правилам красная карта сильнее зелёной, зелёная сильнее синей, а синяя сильнее красной. Карты одного цвета равны. Колода каждого игрока перед началом партии перемешивается и кладётся перед ним рубашкой вверх. После этого оба открывают по верхней карте своей колоды. Если карты разного цвета, то выигрывает тот, чья карта сильнее. Если карты одинаковые, то они уходят в сброс, а игроки открывают ещё по одной карте - и так до тех пор, пока карты не окажутся различными. Если же обе колоды кончились, а победитель не выявлен, объявляется ничья.

Известно, что у первого игрока в колоде по 10 карт каждого цвета. Второй игрок имеет право взять любую колоду из 30 карт. Может ли он подобрать колоду так, чтобы вероятность его выигрыша была больше 1/2?

Источники: ФЕ-2022, 11.5 (см. www.formulo.org)

Показать ответ и решение

Рассмотрим колоду, в которой одна синяя карта, а все остальные красного цвета. Найдём в этом случае вероятность выигрыша второго игрока. Пусть $u(r,g,b)−$ вероятность выигрыша, когда у первого игрока $r$ красных карт, $g$ зелёных, $b$ синих, а у второго одна синяя и все остальные красные (при условии $r+ g+ b>0$ ). Также пусть $v(r,g,b)$ - вероятность выигрыша, когда у второго игрока все карты красные.

Легко видеть, что

g⋅1+ r⋅v(r− 1,g,b) v(r,g,b)= ----r+-g+-b-----

при $r+ g+b> 0$ (если у первого выпала зелёная, то второй выиграл, если синяя, то проиграл, если красная, то игроки потратили по одной красной карте и продолжили игру). Ясно также, что $v(0,0,0)= 0$ (в этом случае будет ничья). Отсюда по индукции получаем, что $v(r,g,b)= gg+b$ при $g+ b> 0$ и $v(r,0,0)= 0$ .

Аналогично

u(r,g,b)= g(r+g+-b−-1)+r(1+(r+-g+-b− 1)u(r−-1,g,b))+-bv(r,g,b−-1)) (r+ g+ b)2

(Здесь мы рассматриваем всевозможные пары ходов: одна из $r+ g+b$ карт первого и одна из такого же количества карт второго. Если у первого выпала зелёная, то второй выиграет во всех случаях, кроме одного; если красная, то второй либо выкладывает синюю и побеждает, либо выкладывает красную и попадает в аналогичную игру с меньшим числом карт; если у первого синяя, то второй имеет шанс на выигрыш, только если выложит синюю и попадёт в новую игру со всеми красными). Кроме этого, $u(1,0,0)=1,$ $u(0,1,0)= u(0,0,1)= 0$ .

Легко проверить (догадаться сложнее... можно, например, угадать формулу, вручную посчитав вероятности для малых $r,g,b$ ), что эти равенства задают формулу

(r⋅(g+1) g⋅b g⋅(g− 1)) 1 u(r,g,b)= g-+b+-1 +g-+b−-1 +--g+-b- ⋅r+-g+b-

при $g+ b>1$ . Тогда

u(n,n,n)= 1 +----12--- > 1 2 6n(4n − 1) 2

при всех $n > 0$ , в том числе и при $n = 10$ .

Ответ: да

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#74911

Все марсиане делятся на одноглазых, двуглазых и трехглазых. Марсианин отдыхает только тогда, когда закрыт хотя бы один его глаз, причем каждую секунду каждый глаз может быть открыт с вероятностью 0.5 независимо от остальных.

Известно, что среди всех марсиан, у которых не меньше двух глаз, каждую секунду в среднем $80%$ отдыхают, а среди тех, у которых не больше двух глаз, каждую секунду отдыхают в среднем $2 3$ марсиан. Найдите долю двуглазых марсиан среди всех марсиан.

Источники: Иннополис-2022 (см. dovuz.innopolis.university)

Показать ответ и решение

Пусть $n k$ — количество марсиан, у которых $k$ глаз $(k= 1,2,3).$ Такой марсианин каждую секунду отдыхает с вероятностью $1− 0.5k,$ поскольку события "марсианин отдыхает"и "все глаза марсианина открыты"образуют полную группу событий, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Сначала рассмотрим случай, когда $n2 ⁄= 0.$

Тогда вероятность того, что наугад выбранный марсианин, у которого не больше двух глаз, отдыхает, равна

2 (1− 0.5)n1+(1− 0.52)n2 n + 0.5n 3 = ------n1+-n2-------= 1− 0.5⋅-1n1+-n22

Аналогичная вероятность для марсиан, у которых не меньше двух глаз, равна

( ) ( ) 0.8= -1− 0.52-n2+-1−-0.53n3-= 1− 0.25 ⋅ n2+0.5n3 n2+ n3 n2+n3

Разделим числители и знаменатели полученных дробей на $n ⁄= 0 2$ и обозначим $x= n1,y = n3+-n2 n2 n2$ $($ тогда искомое отношение $n--+nn2+-n- 1 2 3$ преобразуется к виду $x-+1y+-1).$ Получим систему уравнений

( ( |{ 0.5x +0.25 = 1(x +1) |{ x= 0.5 1 6 |( 3 =⇒ |( 2 =⇒ x+-y+-1 = 13 0.125y+ 0.25= 0.2(y+1) y = 3

Теперь рассмотрим случай, когда $n2 = 0.$ Тогда доля отдыхающих марсиан среди тех, у кого не больше двух глаз, должна быть равна доле отдыхающих одноглазых марсиан, т.е. $0.5.$ Однако, согласно условию, эта доля равна $2 3 ⁄= 0.5$ — получили противоречие, значит, $n2 ⁄= 0.$

Ответ:

$-6 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#76631

Блоха Кузя может совершать прыжки по прямой $L.$ Старт для прыжков находится в точке $A$ прямой $L,$ длина одного прыжка $h,$ направление каждого прыжка выбирается случайным и равновозможным. Найти вероятность того, что, сделав от четырех до восьми случайных прыжков, Кузя хотя бы один раз будет находиться на расстоянии $3h$ от $A.$

Источники: Росатом-2022, Москва,11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Обозначение: $pk n$ — вероятность того, сделав $k∈{1,2,...$ } прыжков блоха отклоняется от $A$ на величину $nh,n ∈{±1,±2,...}$ (отрицательные $n$ указывают, что блоха находится слева от $A,$ положительные — справа, число $n = 0$ соответствует точке $A$ ).

Свойства $k pn :$

1) $k pn =0$ для $n 1 n >0,k< n,pn = 2n$

2) $pkn =pk−n$ (равновозможность направления прыжка)

3) попасть на $(k+1)$ прыжке в положение $nh$ возможно по условию только из положений $(n− 1)h$ и $(n+ 1)h$ с вероятностью $0,5,$ поэтому

( ) pkn+1= 1pkn−1+ 1pkn+1 = 1 pkn−1+ pkn+1 2 2 2

4) при фиксированном $k≥ 1$ и всех, для $n >k ⇒ pkn = 0.$ Ниже приведена часть таблицы для определения $pkn$

$PIC$

Вероятности, что Кузя закончил прыжки в точке $3h,$ записаны в столбце с номером $n= 3$ и строками от $k =4$ до $k= 8$ (отмечены желтым). Но Кузя побывал в точке $3h,$ и, если он закончил движение в точках расположенных правее $3h$ (до $8h$ включительно), соответствующие позиции отмечены зеленым. Однако Кузя мог, побывав в точке $3h,$ закончить движение и в симметричных относительно $3h$ точках (т.е. слева от $3h,$ но с теми же вероятностями, что и справа от $3h$ ), поэтому отмеченные зеленым вероятности надо умножить на $2.$ Для $n= −3$ числа те же.

Считаем, что количество прыжков от $4$ до $8$ равновероятно (с вероятностью $1∕5$ ). Тогда суммируем вероятности, отмеченные желтым, добавляем удвоенные вероятности, отмеченные зеленым, результат умножаем на $2$ и на $1∕5.$ Получим

2(-1 5- 1- ( 3- 1-) 21- (-7- -1-) (-7 -1 -1-) ) 73- 5 16 ⋅2+ 32 + 32 ⋅2+ 32 + 64 ⋅2+ 128 + 128 + 128 ⋅2+ 64 + 32 +256 ⋅2 = 160

Ответ:

$-73 160$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#100251

На столе лежит колода игральных карт $36$ листов. Два опытных игрока Кондрат и Игнат (каждый из них всегда делает правильный ход) начинают игру по следующим правилам. В начале игры каждый из игроков совершенно случайно называет одну из цифр от $1$ до $3.$ Их сумма определяет (на всю игру) максимальное число карт, которые при очередном ходе игроки могут забрать со стола. Игрок не может при своем ходе не взять со стола карту. Выигрывает тот из игроков, кто сможет забрать последнюю карту в колоде. Начинает всегда Кондрат. Какая вероятность победы Игната?

Показать ответ и решение

Введем событие $A$ - выигрывает Игнат. Количество упорядоченных случайных пар ( $m,n$ ), где $m = 1,2,3;n= 1,2,3$ , равно девяти. Случайная величина $m+ n$ принимает значения от 2 до 6 c вероятностями:


$m+ n$	2	3	4	5	6

$p$	$19$	$29$	$39$	$29$	$19$

Рассмотрим пять гипотез.

Гипотеза $H1 :m + n= 2,P (H1 )= 19$ . Если игрок при своем ходе сможет оставить на столе число карт кратное трем, то ему обеспечен выигрыш. В противном, это сможет сделать соперник и обеспечить свой выигрыш. При первом ходе Кондрат этого сделать не может, следовательно, $( ) P AH1 = 1$ .

Гипотеза $H2 :m + n= 3,P (H2 )= 29$ . Если игрок при своем ходе сможет оставить на столе число карт кратное четырем, то ему обеспечен выигрьш. В противном, это сможет сделать соперник и обеспечить свой выигрыш. При первом ходе Кондрат этого сделать не может, следовательно, $( ) P HA =1 2$ .

Гипотеза $H3 :m + n= 4,P (H3 )= 3 9$ . Если игрок при своем ходе сможет оставить на столе число карт кратное пяти, то ему обеспечен выигрыш. В противном, это сможет сделать соперник и обеспечить свой выигрыш. При первом ходе Кондрат этого сделать может, забрав со стола одну карту, следовательно, $P(-A) = 0 H3$ .

Гипотеза $H4 :m + n= 5,P (H4 )= 2 9$ . Если игрок при своем ходе сможет оставить на столе число карт кратное шести, то ему обеспечен выигрыш. В противном, это сможет сделать соперник и обеспечить свой выигрыш. При первом ходе Кондрат этого сделать не может, следовательно, $P( A-)= 1 H4$ .

Гипотеза $H :m + n= 6,P (H )= 1 5 5 9$ . Если игрок при своем ходе сможет оставить на столе число карт кратное семи, то ему обеспечен выигрыш. В противном, это сможет сделать соперник и обеспечить свой выигрыш. При первом ходе Кондрат этого сделать может, забрав со стола одну карту, следовательно, $P(-A) = 0 H5$ .

Наконец,

n=∑5 ( ) ( ) P(A )= P Hf P A-- = 1+-2+2-= 5. f=1 Hf 9 9

Ответ:

$5 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#46109

Васе предложили участвовать в соревнованиях по стрельбе из рогатки, пневматического пистолета и ружья. Вероятность поражения мишени из рогатки равна $0,2$ , из пистолета — $0,7$ , из ружья — $0,8$ . Вася стрелял из каждого оружия по два раза. Найти вероятность того, что он допустил только один промах.

Источники: Росатом-16, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Возможны три несовместных случая, разберём каждый и сложим вероятности.

Вася промахнулся только один раз — из рогатки. С учётом порядка этого промаха из двух выстрелов имеем вероятность
$P(A)= 2⋅0.2⋅0.8⋅0.72⋅0.82$
Вася промахнулся только один раз — из пистолета. Аналогично получаем
$P(B)= 2⋅0.7⋅0.3⋅0.22⋅0.82$
Был только один промах — из ружья. Здесь
$P(C)= 2⋅0.2⋅0.8⋅0.22⋅0.72$

В итоге $P(промах ровно один)= P(A )+P(B)+ P(C)= 0.117376.$

Ответ:

$0.117376$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#46110

Петя и Вова играют в кости на деньги. Ведущий игру Петя выигрывает, если при бросании им двух игральных кубиков сумма выпавших на них очков не превосходит $4$ и проигрывает во всех остальных случаях. Проиграв, Петя отдаёт Вове $1$ рубль, выиграв — получает от Вовы $k$ рублей. Игра считается справедливой, если среднее значение выигрыша каждым игроком равна нулю. Найти значение $k,$ при котором игра будет справедливой.

Источники: Росатом-16, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что Петя выигрывает с вероятностью $p= 1 6$ (подходят исходы $(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2)$ — их $6$ из $36$ ). Справедливая цена игра означает, что Петя имеет нулевой средний выигрыш, то есть

p⋅k+ (1 − p)⋅(− 1) =0

1− p k = p = 5

Ответ:

$5$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#103191

Правильная математическая кость бросается много раз. Известно, что в какой-то момент сумма очков стала равна ровно 40. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных к этому моменту.

Источники: Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике, 2012, 12

Показать ответ и решение

Пусть $A n$ — событие "сумма очков равна $n”.$ $X n$ — число сделанных при этом бросков. Событие $A n$ мы считаем уже осуществившимся, и нас интересует ожидание $𝔼Xn.$ Пусть $Ik = 1,$ если первый бросок дал $k$ очков, $Ik = 0$ иначе. Пусть $Bk$ — событие "первый бросок дал $k$ очков". Поскольку $Bk$ и $An−k$ независимы имеем для условной вероятности

ℙ(Bk∩ An) ℙ(An−k) ℙ(Bk|An) =--ℙ(An)--= -6ℙ(An)-

Ясно, что $Xn = Xn−1I1+Xn −2I2+ ...+ Xn−6I6+1.$ Очевидно, что $Xn −k$ и $Ik$ независимы, поэтому

𝔼(X )= ∑6 𝔼X 𝔼I +1 =∑6 𝔼Xn-−k⋅ℙ(An−k) +1 n k=1 n−k k k=1 6ℙ(An )

Положим $𝔼Xk = ek$ и $ℙ(Ak)= pk.$ Тогда

en = ∑6 en−-kpn−k-+1 k=1 6pn

Заметим, что $6pn = pn−1 +pn−2+ ...+ pn−6.$ Это следует из того, что сумма вероятностей $ℙ(Ik = 1)$ равна $1.$ Начальные значения $p−5 = p−4 = ...= p−1 = 0$ и $p0 = 1;$ $e−5 = e−4 = ...= e0 = 0.$ Последовательное вычисление дает $e1 = 1$ и $p1 = 16.$ Тогда $e2 = 87,$ $p2 = 376,$ $e3 = 97$ и т.д. Тогда $e40 ≈11.6667.$

Ответ:

$e ≈ 11.6667 40$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#100250

Некоторый учёный сконструировал прибор, состоящий из датчика и передатчика. Средний срок (математическое ожидание) службы датчика $3$ года, средний срок службы передатчика $5$ лет. Зная распределения срока службы датчика и передатчика, некоторый ученый вычислил, что средний срок службы всего прибора равен $3$ года $8$ месяцев. Не ошибся ли некоторый учёный в своих расчетах?