3.07 Призма - Каталог заданий по ЕГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17132Максимум баллов за задание: 1

От треугольной призмы, объем которой равен 120, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим через $S$ площадь основания призмы, через $h$ — ее высоту. Тогда объем призмы равен

Vпр =Sh = 120

Объем отсеченной пирамиды равен

1 Vпир = 3Sh =40

Тогда объем оставшейся части равен

Vост = Vпр − Vпир = 120− 40= 80

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2340Максимум баллов за задание: 1

$ABCA1B1C1$ – треугольная призма с основаниями $ABC$ и $A1B1C1$ . Отрезок $A1K$ перпендикулярен плоскости $(ABC )$ , $A1K = 3$ , причем точка $K$ лежит на медиане $AM$ треугольника $ABC$ , $AK = 0,2AB$ , $AB = AC$ , $-- BC = 10√ 3$ . Найдите угол между плоскостями $(ABC )$ и $(AA1C )$ . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Построим $KP$ перпендикулярно $AC$ .

$PIC$

Тогда $A1P$ перпендикулярен $AC$ по теореме о трех перпендикулярах и угол между плоскостями $(ABC )$ и $(AA1C )$ равен $∠A1P K$ .

Так как $AB = AC$ и $AM$ – медиана, то треугольник $ABC$ равнобедренный и $AM$ – высота. Треугольники $AP K$ и $AM C$ подобны по двум углам ( $∠P AK$ – общий), тогда

P K AK 1 -----= ---- = 0,2 = -. M C AC 5

Так как $1- √ -- M C = 2BC = 5 3$ , то $√ -- P K = 3$ .

A1K 3 √ -- tg∠A1P K = ----- = √---= 3 ⇒ ∠A1P K = 60 ∘, PK 3

так как $0∘ < ∠A1P K < 180∘$ .

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2768Максимум баллов за задание: 1

В основаниях призмы $ABCDEF A1B1C1D1E1F1$ лежат правильные шестиугольники. $AD$ и $BF$ пересекаются в точке $H$ , $A1H$ – высота призмы. Ребро $AA1$ наклонено к плоскости оснований под углом, тангенс которого равен $2$ . Найдите объем призмы, если $-- AF = 2√ 3$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

$AH$ – проекция наклонной $A1A$ на плоскость $ABC$ , тогда $tg∠A1AH = 2$ .

В $ABCDEF$ все углы равны друг другу, их можно найти по формуле: $180∘⋅(n−-2)- 6$ , где $n$ – число сторон правильного многоугольника, тогда каждый угол в правильном шестиугольнике равен: $180∘⋅(6−2) ----6--- = 120∘$ .

Треугольник $△ABF$ – равнобедренный, $180∘−-120∘ ∘ ∠ABF = ∠AF B = 2 = 30$ .
В силу симметрии $ABCDEF$ : $120∘ ∠F AH = ∠BAH = -2--= 60 ∘$ $⇒$ $△AHF$ – прямоугольный. В этом треугольнике $AH$ лежит напротив угла в $30∘$ $⇒$ $√ -- AH = 1⋅ AF = 1 ⋅ 2 3 2 2$ .
В прямоугольном треугольнике $△A1AH$ : $√ -- A1H = AH ⋅ tg∠A1AH = 2 3$ .

В шестиугольнике $ABCDEF$ отрезки $AD$ , $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $O$ , при этом шестиугольник разделится на $6$ одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной $2√3--$ (см. рисунок).

$PIC$

Тогда $1 √ -- √ -- ∘ 1 √ -- √ -- √3- √ -- SABCDEF = 6 ⋅ S тр. = 6 ⋅2 ⋅ 2 3 ⋅ 2 3 ⋅ sin60 = 6 ⋅ 2 ⋅ 2 3 ⋅ 2 3 ⋅ 2 = 18 3$ .

Теперь найдем объем призмы:

√ -- √ -- V = A1H ⋅ SABCDEF = 2 3 ⋅ 18 3 = 108.

Ответ: 108

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#40595Максимум баллов за задание: 1

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 36. Через среднюю линию основания этой призмы проведена плоскость, параллельная боковой грани. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим площадь боковой поверхности исходной призмы за $Sисх.,$ площадь боковой поверхности отсеченной призмы за $Sотс..$

Площадь боковой поверхности исходной призмы равна:

Sисх. = SA BBA + SB CCB + SA CCA 1 1 1 1 1 1

Площадь боковой поверхности отсеченной призмы равна:

S = S +S +S отс. A1M1MA M1N1NM A1N1NA

Так как $MN$ — средняя линия $△ ABC,$ то

1 MN = 2BC 1 AM = MB = 2AB 1 AN = NC = 2AC

В параллелограммах $A1M1MA$ и $A1B1BA$ высоты, проведенные к основаниям $AM$ и $AB$ совпадают, а основание $AM$ в 2 раза меньше основания $AB.$ Так как площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, то:

SA M MA = 1SA B BA 1 1 2 1 1

Аналогично:

1 SM1N1NM = 2SB1C1CB SA1N1NA = 1SA1C1CA 2

Найдем площадь боковой поверхности отсеченной призмы:

Sотс. = SA1M1MA + SM1N1NM +SA1N1NA = = 1SA1B1BA + 1 SB1C1CB + 1SA1C1CA = 1 Sисх. = 18 2 2 2 2

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#58793Максимум баллов за задание: 1

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим боковую грань отсеченной треугольной призмы, параллельную одной из боковых граней исходной призмы. Она представляет собой параллелограмм с высотой, равной высоте параллельной ей боковой грани исходной призмы и основанием в 2 раза меньше, чем у грани исходной призмы. Значит, их площади также отличаются в 2 раза.

Две оставшиеся боковые грани отсеченной треугольной призмы являются частями боковых граней исходной призмы. Каждая из них — параллелограмм, у которого одна из сторон равна стороне соответствующей ей грани исходной призмы, а вторая сторона в 2 раза меньше. Значит, их площади также отличаются в 2 раза.

Таким образом, площадь боковой поверхности отсеченной призмы в 2 раза меньше площади боковой поверхности исходной призмы. Тогда площадь боковой поверхности исходной призмы равна

8⋅2= 16

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#137506Максимум баллов за задание: 1

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Обозначим площадь боковой поверхности исходной призмы за $Sисх,$ площадь боковой поверхности отсеченной призмы за $Sотс.$

Пусть $M,$ $N,$ $M1$ и $N1$ — середины ребер $AB,$ $AC,$ $A1B1$ и $A1C1$ призмы $ABCA1B1C1.$

Площадь боковой поверхности исходной призмы равна

Sисх =SA1B1BA + SB1C1CB + SA1C1CA

Площадь боковой поверхности отсеченной призмы равна

Sотс = SA1M1MA +SM1N1NM + SA1N1NA

$AA1CC1BB1NMM1N1$

Так как $MN$ — средняя линия $△ABC,$ то

1 MN = 2BC 1 AM = MB = 2AB AN = NC = 1AC 2

В параллелограммах $A1M1MA$ и $A1B1BA$ высоты, проведенные к основаниям $AM$ и $AB,$ совпадают, а основание $AM$ в 2 раза меньше основания $AB.$ Так как площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, то

SA1M1MA = 1SA1B1BA 2

Аналогично имеем:

1 SM1N1NM = 2SB1C1CB SA1N1NA = 12SA1C1CA

Найдем площадь боковой поверхности отсеченной призмы:

Sотс = SA1M1MA +SM1N1NM +SA1N1NA = 1 1 1 = 2SA1B1BA+ 2SB1C1CB + 2SA1C1CA = = 1 S = 24= 12 2 исх. 2

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#137507Максимум баллов за задание: 1

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 36. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Обозначим площадь боковой поверхности исходной призмы за $Sисх,$ площадь боковой поверхности отсеченной призмы за $Sотс.$

Пусть $M,$ $N,$ $M1$ и $N1$ — середины ребер $AB,$ $AC,$ $A1B1$ и $A1C1$ призмы $ABCA1B1C1.$

Площадь боковой поверхности исходной призмы равна

Sисх =SA1B1BA + SB1C1CB + SA1C1CA

Площадь боковой поверхности отсеченной призмы равна

Sотс = SA1M1MA +SM1N1NM + SA1N1NA

$AA1CC1BB1NMM1N1$

Так как $MN$ — средняя линия $△ABC,$ то

BC = 2MN AB =2AM = 2MB AC = 2AN = 2NC

В параллелограммах $A1M1MA$ и $A1B1BA$ высоты, проведенные к основаниям $AM$ и $AB,$ совпадают, а основание $AB$ в 2 раза больше основания $AM.$ Так как площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, то

SA B BA = 2SA M MA 1 1 1 1

Аналогично имеем:

SB1C1CB =2SM1N1NM SA1C1CA = 2SA1N1NA

Найдем площадь боковой поверхности исходной призмы:

Sисх. = SA1B1BA + SB1C1CB + SA1C1CA = =2SA1M1MA + 2SM1N1NM + 2SA1N1NA = = 2Sотс. =2 ⋅36= 72

Ответ: 72

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92096Максимум баллов за задание: 1

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

Объем треугольной призмы вычисляется по формуле

V = Sосн.⋅h,

где $Sосн.$ — площадь основания призмы, $h$ — ее высота.

Обозначим за $Vотс.,Sотс.$ объем и площадь основания отсеченной призмы, за $Vисх.,Sисх.$ объем и площадь исходной призмы.

Так как у отсеченной призмы и исходной призмы совпадают высоты, проведенные к основаниям $AMN$ и $ABC$ соответственно, то

Vотс.= Sотс. Vисх. Sисх.

$AA1CC1BB1NMM1N1$

Так как $MN$ — средняя линия $△ABC,$ то она отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $12,$ то есть $△AMN ∼ △ABC$ с коэффициентом подобия $12.$

Так как отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия в квадрате, то

Sотс. SAMN- ( 1)2 1 Sисх. = SABC = 2 = 4

Поэтому

Vотс.= 1 ⇒ V = 1 V = 1⋅52= 13 Vисх. 4 отс. 4 исх. 4

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#17753Максимум баллов за задание: 1

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 5.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Объем треугольной призмы вычисляется по формуле

V = Sосн.⋅h,

где $Sосн.$ — площадь основания призмы, $h$ — ее высота.

Обозначим за $Vотс.,Sотс.$ объем и площадь основания отсеченной призмы, за $Vисх.,Sисх.$ объем и площадь исходной призмы.

Так как у отсеченной призмы и исходной призмы совпадают высоты, проведенные к основаниям $AMN$ и $ABC$ соответственно, то

Vотс.= Sотс. Vисх. Sисх.

$AA1CC1BB1NMM1N1$

Так как $MN$ — средняя линия $△ABC,$ то она отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $12,$ то есть $△AMN ∼ △ABC$ с коэффициентом подобия $12.$

Так как отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия в квадрате, то

Sотс. SAMN- ( 1)2 1 Sисх. = SABC = 2 = 4

Поэтому

V-отс.= 1 ⇒ V = 4V = 4⋅5 =20 Vисх. 4 исх. отс.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#18126Максимум баллов за задание: 1

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 7.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Объем треугольной призмы вычисляется по формуле

V = Sосн.⋅h,

где $Sосн.$ — площадь основания призмы, $h$ — ее высота.

Обозначим за $Vотс.,Sотс.$ объем и площадь основания отсеченной призмы, за $Vисх.,Sисх.$ объем и площадь исходной призмы.

Так как у отсеченной призмы и исходной призмы совпадают высоты, проведенные к основаниям $AMN$ и $ABC$ соответственно, то

Vотс.= Sотс. Vисх. Sисх.

$AA1CC1BB1NMM1N1$

Так как $MN$ — средняя линия $△ABC,$ то она отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $12,$ то есть $△AMN ∼ △ABC$ с коэффициентом подобия $12.$

Так как отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия в квадрате, то

Sотс. SAMN- ( 1)2 1 Sисх. = SABC = 2 = 4

Поэтому

V-отс.= 1 ⇒ V = 4V = 4⋅7 =28 Vисх. 4 исх. отс.

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#137508Максимум баллов за задание: 1

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 15.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Объем треугольной призмы вычисляется по формуле

V = Sосн.⋅h,

где $Sосн.$ — площадь основания призмы, $h$ — ее высота.

Обозначим за $Vотс.,Sотс.$ объем и площадь основания отсеченной призмы, за $Vисх.,Sисх.$ объем и площадь исходной призмы.

Так как у отсеченной призмы и исходной призмы совпадают высоты, проведенные к основаниям $AMN$ и $ABC$ соответственно, то

Vотс.= Sотс. Vисх. Sисх.

$AA1CC1BB1NMM1N1$

Так как $MN$ — средняя линия $△ABC,$ то она отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $12,$ то есть $△AMN ∼ △ABC$ с коэффициентом подобия $12.$

Так как отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия в квадрате, то

Sотс. SAMN- ( 1)2 1 Sисх. = SABC = 2 = 4

Поэтому

Vотс.= 1 ⇒ V = 4V = 4⋅15= 60 Vисх. 4 исх. отс.

Ответ: 60