Тема Ломоносов

Ломоносов 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82778

Болельщики должны выбрать 6 лучших хоккеистов чемпионата: одного вратаря, двух защитников и трех нападающих. Среди претендентов: 2 вратаря, 5 защитников, 6 нападающих и 3 “универсала”. “Универсал” — игрок, хороший в разных ролях, который поэтому может быть выбран как в качестве защитника, так и в качестве нападающего (но не вратаря). Сколько существует способов выбрать эту шестёрку? Требуется получить числовое значение.

Источники: Ломоносов - 2024, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачах на комбинаторику всегда лучше начинать с простого и понятного. Кого в данной задаче можно выбрать без особых проблем?

Подсказка 2

Давайте сначала выберем вратаря, ведь место вратаря мажет занять только вратарь. Всего у нас два варианта на эту позицию. Обратите внимание, что защитников нужно выбрать только двое, и наша задача легко разбивается на три случая. Первый случай — это 0 универсалов среди защитников, второй — 1 универсал, третий — 2 универсала.

Подсказка 3

В каждом случае нужно из оставшихся игроков (нападающие + незадействованные универсалы) выбрать трех нападающих, число полученных вариантов для каждой позиции перемножить и результат сложить с остальными случаями.

Показать ответ и решение

Начнём считать с вратарей. Место вратаря может занять только вратарь, поэтому у нас всегда всего 2 способа выбрать его.

Дальше рассмотрим три случая по количеству универсалов на месте защитников:

1. Среди выбранных защитников нет универсалов. Значит, количество так выбрать двух защитников в команду равно

2 5⋅4 C5 =-2- =10

На место нападающих в этом случае мы можем поставить либо нападающих, либо универсалов, следовательно, способов

C39 = 9⋅83⋅!7 =84

Следовательно, вариантов команд в этом случае

2⋅10 ⋅84= 1680

2. Среди выбранных защитников один универсал. Значит, количество так выбрать двух защитников в команду равно

5⋅3= 15

На место нападающих в этом случае мы можем поставить либо нападающих, либо оставшихся универсалов, следовательно, способов

C38 = 8⋅7⋅6 =56 3!

Следовательно, вариантов команд в этом случае

2⋅15 ⋅56= 1680

3. Среди выбранных защитников оба являются универсалами. Значит, количество так выбрать двух защитников в команду равно

C23 = 3

На место нападающих в этом случае мы можем поставить либо нападающих, либо оставшегося универсала, следовательно, способов

7⋅6⋅5 C37 =--3!- =35

Следовательно, вариантов команд в этом случае

2 ⋅3 ⋅35= 210

В итоге способов выбрать команду равно

1680+ 1680+ 210 =3570

Ответ: 3570

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#82779

Живописец закрасил акварелью полумесяц на клетчатой бумаге. Контур полумесяца состоит из двух дуг — одна от окружности с центром в $(0;0)$ , проходящей через $(0;1)$ , другая — от окружности с центром в $(1;0)$ , проходящей через $(0;1)$ . К утру краска расплылась так, что каждая точка полумесяца превратилась в круг радиуса $1∕2.$

$PIC$

Найдите площадь получившейся фигуры.

Источники: Ломоносов - 2024, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда краска расплылась, мы получили сложную фигуру, для площади которой точно не существует формулы. В таких случаях мы разбиваем фигуру на более простые, площади которых умеем вычислять.

Подсказка 2

Мы умеем находить площади окружностей, колец, секторов. Данная картинка удобно разбивается на эти фигуры или их части. При том, очевидно, что на концах нашего полумесяца нельзя брать целые окружности, потому что иначе усложняется вычисление площади остальной части фигуры. Подумайте, как можно, используя данные фигуры, разбить нашу?

Подсказка 3

Давайте разобьём фигуру на следующие части:

Показать ответ и решение

Пусть рисунок расплылся на радиус $r$ . К площади полумесяца прибавятся «поля», которые можно разбить на левое, правое и два закругления на концах рогов.

$PIC$

Площадь полумесяца равна половине площади круга радиуса $1$ минус сегмент круга радиуса $√- 2.$

π − 2π-− 4 =1 2 4

Площадь левого поля ”— половина от площади кольца с радиусами $1$ и $1 +r$ :

π(1+-r)2− π- 2

Площадь правого поля ”— четверть от площади кольца с радиусами $√2$ и $√2 − r$ :

π(√2)2− π(√2− r)2 -------4--------

Закругления на концах рогов вместе составляют три четверти окружности радиуса $r$ :

3 2 4πr

Вместе получается:

π(1+ r)2 − π π(√2)2− π(√2-− r)2 3 1+ ----2-----+ -------4-------+ 4πr2 =

√ - √- 1+πr + π r2 + π-2r− πr2+ 3πr2 = 1+(1+-2)r+ πr2 2 2 4 4 2

И тогда ответ:

3π π√2- 1+ 4 + 4

Ответ:

$3π π√2- 1+ 4 + 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82780

Решите систему уравнений

{ (xy+ 3x− y − 3)|y− x− 9|=(x− 4)|xy+3x − y− 3|; √y-−-x+9-=y − 4.

Источники: Ломоносов - 2024, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо понять, какие есть возможности выполнения 1-го уравнения. Имеется одинаковая скобка справа и слева, на неё можно сократить (не забывая про модуль), когда она не равна нулю. Следовательно, можно отдельно рассмотреть случаи равенства и неравенства нулю этой скобки, также не забывая про ОДЗ.

Подсказка 2

Когда ни одна из скобок первого уравнения не равна нулю, учесть модули можно довольно просто — их наличие равносильно тому, что произведение всех скобок без модулей положительно (поскольку, если оставить все модули в одной стороне, а скобки без модулей перенести в другую, то дробь без модулей обязана быть положительной). Далее уже сложностей не остается — нужно лишь аккуратно поделить всё на случаи и довести их до конца, учитывая ОДЗ.

Показать ответ и решение

Из второго уравнения следует, что $y ≥ 4$ , так как корень неотрицателен.

Пусть первое уравнение выполняется из-за того, что $(xy+ 3x − y− 3)= 0$ . Условие равносильно $(x− 1)(y +3)= 0$ . Решение $y = −3$ не подходит, а при $x= 1$ получаем:

({ ∘y+-8= y− 4 ⇐⇒ y ≥ 4, ⇐⇒ y = 8 (y2− 9y+8 =0.

Пусть теперь $(xy +3x− y− 3)⁄=0$ , но $(x− 4)= 0$ , и $(y − x − 9)= 0$ . Тогда $x= 4,y = 13$ , но такой вариант не подходит под второе уравнение.

При остальных $x,y$ система равносильна системе:

( ( |||{ (x − 1)(y +3)(x − 4)> 0, |||{(x− 1)(y+ 3)(x− 4)>0, y− x− 9= ±(x − 4), ⇐⇒ y =13 или y = 2x+ 5, |||( √y−-x+-9= y− 4 |||(√y-−-x+-9= y− 4

При $y = 13$ решением будет $x= −59$ , при $y = 2x+ 5$ получим уравнение:

√----- ({ x≥ 0.5, x+ 14= 2x +1 ⇐ ⇒ ( 2 4x +3x− 13= 0

Откуда $−3+√217- x= 8$ , тогда $17+√217- y = 4$ . Последняя пара не удовлетворяет условию $(x − 1)(y +3)(x − 4)> 0$ .

Ответ:

$(1,8),(−59,13)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#82781

Автодром состоит из трех попарно касающихся кольцевых трасс (две окружности касаются друг друга попарно в точке $B$ внешним образом и третьей в точках $A$ и $C$ внутренним, причём $AC$ — диаметр третьей окружности). Автомобиль в любой точке касания может продолжать движение по любой из двух возможных трасс, но нигде не может разворачиваться на $∘ 180$ . По каждой из трех трасс автомобиль едет со своей скоростью, так что любую из двух $AB$ длиной $15$ км он проезжает за $7$ минут, любую из дуг $BC$ длиной $25$ км — за $11$ минут, а любую из дуг $AC$ — за $17$ минут. Выехав из точки $A$ , автомобиль через $1$ час $25$ минут оказался в ней же. Сколько километров проехал автомобиль?

$PIC$

Источники: Ломоносов - 2024, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала представим, как автомобиль будет ехать. Подумаем о четности. Сколько раз автомобиль может проехать по дугам AB, BC и AC?

Подсказка 2

Пусть автомобиль проехал по дуге AB i раз, по BC - j, по AC - k. Чтобы автомобиль приехал в ту же точку, с которой начал, нужно, чтобы i, j, k были все четные или все нечетные. Но что можно сказать про "четный" случай?

Подсказка 3

Этот случай не подходит, так как всего автомобиль проехал нечетное число минут. Осталось только решить уравнение в целых i, j, k.

Показать ответ и решение

Рассмотрим варианты, которыми находящийся в точке $A$ автомобиль может в следующий раз впервые снова оказаться в этой точке.

Во-первых, можно сделать это, не проходя через точку $C$ , т. е. путем $ABA$ .

Во-вторых, можно одним из двух способов ( $AC$ или $ABC$ ) добраться до точки $C$ , сделать несколько кругов $CBC$ («несколько» может быть и нулем) и вернуться одним из двух способов ( $CA$ или $CBA$ ) в точку $A$ .

В любом случае мы либо четное число раз проезжаем по 7-минутной дуге, четное число раз по 11-минутной и четное число раз по 17 -минутной, либо наоборот, нечетное число раз по каждому из трех типов дуг.

То же самое можно сказать про неоднократное возвращение в точку $A$ .

«Четный» случай нам не подходит, так как по условию на каждую дугу уходит целое число минут, а общее время выражается в минутах нечетным числом. Заметим, что любая тройка нечетных положительных чисел может быть реализована в качестве числа проходов (в любом направлении) дуг $AB$ , $BC$ , $AC$ .

Действительно, выехав из точки $A$ и сделав заданное нечетное число проходов $AB$ , мы окажемся в точке $B$ , после чего, сделав заданное нечетное число проходов $BC$ , мы окажемся в точке $C$ , а после заданного нечетного числа проходов $AC$ — снова в точке $A$ .

Итак, попробуем найти три таких нечетных положительных числа $i$ , $j$ , $k$ , что

7i+11j+17k= 60+ 25= 85

Для $k$ возможны $3$ варианта: $5,3,1.$ Первый случай отбрасываем, так как для него получаем $i= j =0.$

Во втором случае имеем $7i+ 11j = 34$ . Если $j ≥ 3$ , то $i< 1.$ При $j = 1$ число $34− 11⋅1 =23$ не делится на $7$ .

Наконец, при $k= 1$ имеем $7i+ 11j =68$ . Для $j =5,3,1$ получим $7i=13,35,57$ , откуда $j = 3,$ $i= 35:7= 5,$ а пройденный путь равен $15⋅5+ 25⋅3+ 40⋅1= 190(км).$ Здесь $40= 15+ 25$ — длина дуги $AC$ , которую находим геометрически:

AC = πR= π(r1+ r2)=πr1+ πr2 = AB+ BC,

где $R,r1,r2$ — радиусы.

Ответ: 190

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#82782

Функция $y =f(x)$ такова, что

(x-− 1) --1- f x +1 = −x+ 1

Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции

g(x)= f◟(f(...f◝(◜x)...))◞ 9

в точке $x= 0$ .

Источники: Ломоносов - 2024, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В аргументе функции стоит сложное дробно-линейное выражение от х, из-за этого трудно понять, как выглядит сама функция. Но с другой стороны, мы же понимаем, что можно сделать замену в этом аргументе так, чтобы нам стало удобнее работать с функцией. На руку играет то, что и в аргументе, и в правой части выражения в знаменателе стоит (х+1), то есть эти два выражения довольно сильно похожи.

Подсказка 2

Если получилось воспользоваться предыдущей подсказкой, то функция должна принять вид линейной. А многократное применение линейной функции — совсем не проблема:)

Подсказка 3

Понятно, что тангенс угла наклона касательной — это значение производной в соответствующей точке. А когда мы берем производную от функции, слагаемое-константа исчезает, поэтому в процессе многократного применения нашей функции за константой можно даже не следить.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение аргумента

(x-− 1) --1- f x +1 = −x+ 1

( ) f 1− -2-- = −--1-. x+ 1 x +1

Выполним замену $y = 1− 2x+1.$ Тогда $− 1x+1-= y−21$ , следовательно, для любого $y$ верно, что

f(y)= y − 1∕2. 2

Тем самым, мы показали, что функция $f(x)$ имеет вид $x+ C 2$ , где $C$ — некоторая постоянная, которая не зависит от $x$ , тогда

(x +C ) f(f(x))= -2-----+ C = x + 3C, 2 4 2

следовательно, $f(f(x))= x+ C 4$ для некоторой новой постоянной $C$ . Аналогично,

g(x)= f(f(...f(x)...))= -x9 +C = -x-+C. ◟ ◝◜9 ◞ 2 512

Осталось заметить, что тангенс угла наклона в точке 0 равен значению производной функции в точке 0, так что

x 1 1 g′(x) =(512 + C)′ = 512 =⇒ g′(0)= 512-

Ответ:

$-1- 512$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#82783

Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом — осью $Ox$ и графиком некоторой параболы $2 y = a− bx$ ). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна $24$ , высота туннеля равна $18$ . Ход укрепили распорками — на параболе отметили точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ и соединили их между собой балками. Балки $AB$ и $CD$ параллельны полу, $AD$ пересекается с $BC$ , и при этом $∘ ∠ACB = ∠ADB = 90$ . Найдите расстояние между балками $AB$ и $CD$ .

Источники: Ломоносов - 2024, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем на нашей картинке систему координат, которая была бы нам удобна. К примеру симметричную относительно прямой симметрии параболы и нулевой высоты в тоннеле. Тогда, что нужно чтобы зафиксировать картинку? Каких параметров будет достаточно, чтобы выразить через это всю картинку?

Подсказка 2

Нам достаточно h - высоты вершины, а также длины основания - 2l(для симметрии). Тогда, если наша парабола задается функцией f(x) = a - bx^2, то f(l) = f(-l), f(0) = h. Тогда f(x) = h(1 - x^2/l^2). Значит, мы можем задать две точки A и C, а остальные - будут отличаться от симметричных только умножением на -1 абсциссы. Давайте так и сделаем - пусть x_1 - абсцисса А, а x_2 - абсцисса C. Тогда как нам выразить перпендикулярность, если мы работаем в координатах? Мы ведь не использовали еще ни разу тот факт, что, к примеру, AC и CB перпендикулярны.

Подсказка 3

Верно, мы можем выразить это через скалярное произведение векторов AC и CB. После того, как мы запишем и преобразуем выражение, у нас получится, что -(x_2^2 - x_1^2) - (h^2)/(l^4) * (x_2^2 - x_1^2)^2 = 0. Но при этом, у нас x_1 != x_2, поэтому x_2^2 - x_1^2 = - (h^2)/(l^4). Тогда, нам остается понять, чему равно расстояние между балками и записать ответ!

Показать ответ и решение

Обозначим ширину тоннеля за $2l$ , а высоту за $h$ . Из этих параметров однозначно выводятся параметры параболы: $x$ принадлежит отрезку $[−l,l],$ а $y(l)= y(−l)= 0,$ так что

hx2 y(x)= h− -l2-

Теперь зададим координаты точек так:

2 2 2 2 A = (x1,h(1− xl12 )),B = (−x1,h(1 − x1l2 )),C = (x2,h(1 − x2l2 )),D = (x2,h(1− x2l2 ))

Так как $AB$ и $CD$ параллельны полу, то понятно, что ординаты $A$ и $B$ одинаковы. Значит, абсциссы отличаются только знаком. Аналогично для $C$ и $D$ .

$PIC$

Тогда перпендикулярность $AC$ и $CB,$ $AD$ и $DB$ можно выразить, например, через равенство нулю скалярных произведений. Достаточно рассмотреть одну пару, так как рисунок симметричен.

AC = (x2− x1; h(x2− x2),CB = (−x1 − x2; h(x2− x2)) l2 1 2 l2 2 1

2 2 h2- 2 22 AC ⋅CB =− (x2− x1)− l4 (x2− x1)= 0

Тогда либо $2 2 (x2− x1) =0$ (но балки не совпадают, поэтому такой вариант не подойдет), либо

2 2 l4 (x2− x1)= − h2

А расстояние между балками это:

2 |hl2(x22− x21)|= lh-= 8

Ответ: 8

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#82784

Пусть $S(n)$ обозначает сумму цифр натурального числа $n$ . Найдите наибольшее $85$ -значное натуральное число $n$ , удовлетворяющее условию: для всех натуральных $m$ ( $1≤ m ≤ n$ ) справедливы равенства $S(mn )= S(n)$ .

Источники: Ломоносов - 2024, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как нам искать максимальное подходящее число из 85значных чисел. Быть может, рассмотрим какие-нибудь большие числа и посмотрим, подходят ли они?

Подсказка 2

Докажем, что число 10^85 - 1 подходит. Посмотрим, что происходит при умножении на какое-то число, известно ли нам что-нибудь о его виде? О сумме цифр? Удобно рассматривать m без нулей на концах.

Подсказка 3

Что происходит, когда мы отнимаем от числа m * 10^85 число m? Удобнее всего рассмотреть вычитание столбиком.

Подсказка 4

У 86 -го разряда числа m * 10^85 занимается единица. Тогда у остальных младших 85 разрядов вместо 0 будет 9, кроме последнего, у которого будет 10. А что будет в ответе в этих разрядах? Какой будет сумма в этих разрядах?

Подсказка 5

Тогда сумма цифр до 86 -го разряда будет равняться 9*84 + 10 - S(m). Осталось лишь найти, чему будет равна сумма чисел в оставшихся разрядах!

Показать ответ и решение

Максимальное $85$ -значное натуральное число это $1085− 1.$ Докажем, что оно подходит под условие.

Если $85 n= 10 − 1,$ тогда $85 mn = m ⋅10 − m.$ Сумма цифр у числа $n$ равняется $9⋅85.$ Рассмотрим сумму цифр у $mn.$ Будем рассматривать такие $m,$ что они не оканчиваются на $0,$ так как нули не влияют на сумму цифр $mn.$ Соответственно переходов через разряд у $m$ нет.

Когда из $85 m ⋅10$ вычитается число $m$ происходит следующее:

(a) У $86$ -го разряда числа $85 m ⋅10$ занимается единица. Тогда у остальных младших $85$ разрядов вместо $0$ будет $9,$ кроме последнего, у которого будет $10.$

(b) При вычитании числа $m$ в результате будет в разрядах будет записываться такая цифра, что в сумме с цифрой из $m,$ стоящей на том же разряде, они дадут $9,$ кроме первого разряда, у которого в сумме будет $10.$

Тогда сумма цифр до $86$ -го разряда будет равняться

9⋅84+10− S(m),

так как изначально было $84$ девяток и одна десятка.

Оставшаяся сумма цифр числа $mn$ будет равняться $S(m − 1).$ Но учитывая ограничения, которые мы ввели, получаем, что $S(m − 1)= S(m)− 1.$

Тогда сумма цифр числа $mn$ это

9⋅84 +10− S(m )+S (m − 1)= 9⋅84+ 10− 1 =9 ⋅85,

что совпадает со суммой цифр числа $n.$

Ответ:

$99...9 ◟ ◝8◜5-◞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#82785

Сколько точек пространства с целочисленными координатами принадлежат треугольнику с вершинами $(3,4,5)$ , $(11,10,6)$ , $(5,8,9)$ ? Точка на вершинах и сторонах тоже считаются.

Источники: Ломоносов - 2024, 11.8 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте немного упростим задачу и сдвинем одну из вершин в начало координат, чтобы числа стали попроще, для этого можно сделать параллельный перенос на вектор (-3;-4;-5), а как можно посчитать кол-во целочисленных точек на стороне?

Подсказка 2

Верно, кол-во целых точек (включая концы) на отрезке (x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂), это НОД(|x₁-x₂|, |y₁-y₂|, |z₁-z₂|) + 1, итак, когда мы знаем кол-во точек на периметре треугольника, давайте перейдём к его внутренности, если взять произвольную целочисленную точку, можно ли получить какое-то следствие, которое было бы легче проверить, но оно бы оставило нам пару точек для перебора?

Подсказка 3

Да, можно сказать, что если точка A была подходящей, то точка A' полученная проецированием её на одну из плоскостей тоже будет подходить, а значит можно спроецировать весь треугольник, например, на плоскость Oxy и найти возможных кандидатов там, а потом проверить только их

Подсказка 4

Для проверки наших кандидатов можно составить систему уравнений из двух векторов, образующих стороны, с положительными коэффициентами, сумма которых меньше 1, чтобы получить точку внутри треугольника, остаётся проверить, что найдутся целые решения, которые бы удовлетворяли полученной системе

Подсказка 5

Для удобства можно выразить из первых двух уравнений коэффициенты и подставить их в третье уравнение, тогда останется лишь условие на координаты точек, но предыдущие ограничения всё ещё следует проверить

Показать ответ и решение

Перенесём треугольник одной вершиной в начало координат. Тогда его можно представлять как точку $(0,0,0)$ , из которой выходят вектора $u =(8,6,1)$ и $v = (2,4,4)$ .

Тогда внутренность треугольника можно представить как $λu+ μv,$ где $λ,μ$ — действительные числа, $λ,μ >0,$ и $λ +μ <1.$

Вопрос о целых точках на треугольнике, получается, стоит так: при каких целых $n,m,k$ система:

(| ||{8λ +2μ= n, ||6λ +4μ= m, |(λ +4μ =k

имеет решения $λ,μ$ , удовлетворяющие условиям выше.

Мы выделили внутренность, потому что стороны легче рассмотреть отдельно. Три целочисленные вершины лежат в треугольнике по определению. На сторонах точки подсчитать тоже просто — стороны это вектора $u= (8,6,1),v =(2,4,4),$ и третья сторона $(6,2,−3)$ . Получить целочисленную точку можно только на середине вектора $v$ , а у остальных сторон нет общих делителей координат, и через целые точки они не проходят. Значит, на периметре лежат $3+ 1= 4$ точки.

Переходим к внутренней части треугольника. Конечно, нет гарантий, что там будет хотя бы одна целочисленная точка — но если такая есть, то её проекции на координатные плоскости тоже будут целочисленные. Поэтому давайте рассмотрим проекцию треугольника на плоскость $Oxy$ , и отберём на ней потенциально подходящие пары $(n,m ),$ а после выкинем лишние.

Проецируем треугольник на $Oxy$ — получается треугольник на плоскости с вершинами $(0,0),$ $(8,6),$ $(2,4).$ Внутрь него точки попадут такие: $(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4),(4,4),(5,4),(6,5).$

Решаем систему, состоящую из двух первых уравнений:

({ (8 λ+2μ =n, 6λ+4μ =m

Получаем следующие решения:

2n − m −3n +4m λ = -10--,μ= ---10---

Полученные значения $λ,μ$ подставляются в третье уравнение $λ+ 4μ= k$ , и если $k$ оказывается целым — точка найдена. После подстановки получается выражение: