Отбор Ломоносова

Обозначим углы треугольника и , причём . Тогда , поэтому ,то есть .

Возможны два случая.

1) Если , то , то есть треугольник равнобедренный, что противоречит условию.

2) Пусть , тогда .

Пусть — площадь треугольника — площадь треугольника — радиус окружности, описанной около треугольников и . Так как треугольник прямоугольный, то и , а углы треугольника (по теореме о вписанном угле) равны

Значит,

Из теоремы синусов, применённой к треугольнику , получаем

Следовательно,

По условию лежит выше оси это значит что у многочлена нет действительных корней. Следовательно, многочлен раскладывается на неприводимые многочлены степени, а их количество будет т.к. имеет степень У многочлена будет такое же количество неприводимых многочленов в разложении, и все они принимают значение в точке то

Уравнение равносильно совокупности

Преобразуя совокупность, получим

Если , то

тогда или .

Если , то

то есть или ; тогда или .

Для начала разберемся, какие простые множители входят в число и в каких степенях.

Теперь рассмотрим вид числа, которое является делителем и которое само делится на Пусть делится на тогда

где все принимают значения от до соответствующей степени в числе кроме которое принимает значения от до .

Следовательно, исходная задача свелась к подсчету различных чисел определенного вида. Посчитаем количество таких различных

Рассмотрим сечение пирамиды проходящее через боковое ребро и апофему противоположной грани Тогда — высота пирамиды, расстояние от до прямой равно где а расстояние от до прямой равно где Обозначим и тогда и, пользуясь связью между высотой прямоугольного треугольника и его катетами, имеем

В итоге

Сумма чисел полученного набора равна Каждое число из исходных пяти в этой сумме повторяется 4 раза. Следовательно, сумма искомых чисел равна

Сумма двух наименьших равна сумма двух наибольших равна Следовательно, среднее число (третье по величине из пяти) равно

В наборе из условия задачи второе число равно сумме первого и третьего искомых чисел, откуда первое число равно а второе равно

Аналогично получаем, что четвёртое число равно а пятое равно Итак, на доске написаны числа

Пусть — точка пересечения хорд, — середина — точка пересечения прямых и Обозначим Тогда

как опирающиеся на одну и ту же хорду. Поэтому прямые и перпендикулярны, и искомое расстояние равно длине отрезка

Пусть Из подобия и и теоремы Пифагора получаем

Тогда мы знаем длины следующих отрезков:

— медиана к гипотенузе в прямоугольном

— высота в прямоугольном

В итоге

что при даёт

Заметим, что

поэтому

так что

Следовательно, после замены уравнение из условия преобразуется в

невозможно, так как поэтому остаётся только решение

При этом в указанный в условии промежуток попадает только , так как

По условию для записи в ответ надо округлить

Пусть в сообществе людей. Подсчитаем число упорядоченных троек , в которых дружит с и

Зафиксируем (это можно сделать способами). Тогда для него получится таких троек. Итого получается

С другой стороны можно сначала выбрать способов, потом способа (нужно вычесть его друзей и его самого). Тогда можно выбрать 6 способами, итого

Получим уравнение откуда

Для делимости числа на обязательно нужно поставить последней цифру , поскольку нулей в записи числа нет. Зафиксируем последнюю цифру. Останутся цифры в количестве соответственно, всего цифр.

Всего способов поставить цифр на позиций есть . Но при всевозможных перестановках получаются одинаковые числа, ведь если в каждой фиксированной перестановке цифр (последнюю цифру не учитываем, она уже зафиксирована первым действием) перемешать цифры между собой или цифры между собой, то ничего не изменится. Таких способов перемешивания столько, сколько способов независимо выбрать перестановку из трёх троек и перестановку из трёх семёрок, то есть

В итоге получаем ответ

Первое решение.

Пусть шары — это саквояжи. Перегородки между ними — разбиение саквояжей по цветам. Рассмотрим случаи:

В первом случае в покупку входят саквояжи всех четырех цветов. Тогда поставим между шарами перегородки: число шаров, лежащих слева от первой перегородки, равно числу саквояжей первого цвета; число шаров, лежащих между первой и второй — второму и т.д. Мест для перегородок поэтому в этом случае получаем способов.

Во втором случае в покупке присутствуют саквояжи трёх из четырех цветов. Выбрать их способа. Ставим перегородки на мест — способов. Итого в этом случае получаем способов.

В третьем случае в покупку входят саквояжи двух цветов. Есть их выбрать. Затем ставим одну перегородку между шарами: способов. Итого в этом случае получаем

В четвертом случае в покупку входят саквояжи только одного цвета. Есть способа его выбрать

Суммируя способы во всех случаях, получаем

Второе решение.

Старуха Шапокляк может взять школьную тетрадку в клетку и отметить там ряд из клеток. Затем в произвольных разных клетках этого ряда она ставит крестики. Передав этот листок продавцу, она ставит условие: число клеток, лежащее слева от первого крестика, равно числу саквояжей первого цвета; число клеток, лежащих между первым и вторым крестиком, равно числу саквояжей второго цвета, число клеток, лежащее правее третьего крестика, равно числу саквояжей -ого цвета. При этом, если левее первого крестика, между какими-либо двумя крестиками, или правее -го крестика нет клеток, значит, в покупке не будет саквояжей соответствующего цвета.

Тем самым число вариантов покупки равно числу способов расстановки крестика на различных позициях, то есть равно

Так как число делится на 5, то на 9-м месте может стоять только пятёрка. После этого нужно на оставшиеся 8 мест распределить 8 цифр: 3 семёрки, 3 тройки, пятерку и двойку. Всего перестановок будет 8!, но так как есть повторяющиеся цифры, то ответ будет:

Требуется найти такую дробь при которой

достигает минимума. Поэтому хотим максимизировать двузначное число Заметим, что если то минимум достигается при

Так как в ином случаи, если возьмём дробь с неединичным числителем, то мы можем сравнить её с дробью с единичным числителем, домножив числитель и знаменатель дроби с единичным числителем и сравнив только знаменатели получившихся дробей. Но знаменатель заведомо будет больше у дроби, получившейся из дроби с единичным числителем, засчёт большего числа разрядов в числе, ибо

Решаем уравнение Так как — целое, то где — произвольное целое число. Поэтому

Максимальным при котором и двузначные, будет Поэтому и то есть искомая дробь:

Используя формулу вспомогательного аргумента, преобразуем знаменатель:

Так как любое отрицательное число меньше положительного, то, мы хотим получить максимальное по модулю отрицательное число. Оценим сверху знаменатель:

Так как знаменатель всегда отрицателен, его модуль нужно минимизировать, а числитель — максимизировать и оставить положительным. Из оценки заметим, что знаменатель минимален по модулю при:

Поскольку числитель мы хотим положительным, то:

При система выполняется, а, значит, достигается равенство оценки. Подставим:

Конечно, “честно” умножать эти числа друг на друга мы не будем. Давайте попробуем как-то схитрить. А именно, воспользуемся тем, что число очень близко к “хорошему” числу . Умножим сначала число на . Получим

Теперь отнимем , чтобы получить исходное произведение. Получим

У этого числа уже легко посчитать сумму цифр:

Фигура, координаты точек которой удовлетворяют неравенству при всех , представляет собой круг, заданный условием .

Преобразуем второе неравенство к виду

Из последнего неравенства следует, что удовлетворяющие этому неравенству при всех , это в точности удовлетворяющие неравенству

Ввиду периодичности задачи по каждой переменной, выпишем решение последнего неравенства на периоде

Фигура, заданная этими неравенствами представляет собой два квадратика, а с учётом периодичности — “паркет” из квадратиков.

Пересечение круга с «паркетом квадратиков» состоит из четырех круговых сегментов, суммарную площадь которых проще искать как площадь дополнения к квадрату, заданному условием , в круге ). Поэтому искомая площадь равна .

Приведём пример, показывающий, что Незнайка не прав.
Пусть с 1 по 30 декабря коротышки выпивали бочек, а 31 декабря выпили бочек. Тогда среднее потребление сиропа за декабрь составило:

Пусть с 1 по 15 января коротышки выпивали по 10 бочек в день, 16 января — 5 бочек, а с 17 по 31 января — 0 бочек. Тогда среднее потребление сиропа в январе равно:

Пусть и — точные квадраты натуральных чисел и Так как 2017 является простым числом, то разность делится на 2017 тогда и только тогда, когда разность или сумма чисел и делится на 2017, то есть у этих чисел равные или противоположные по знаку вычеты по модулю 2017.

Всего существует 2017 остатков при делении на 2017, при этом 2016 ненулевых из них разбиваются на 1008 пар, дающих в сумме 2017:

Поэтому если то для любого набора натуральных чисел, являющихся точными квадратами, по принципу Дирихле можно найти равные или противоположные по модулю 2017 остатки.

Если же то существует набор натуральных чисел, точные квадраты которых имеют при делении на 2017 остатки Так что в этом наборе не найдутся два элемента, разность квадратов которых делится на 2017.

Если то поэтому

Если то поэтому

Если то а по неравенству между средним квадратическим и средним гармоническим

Если то функция от убывает до а функция неограниченно возрастает от По теореме о промежуточном значении непрерывной функции существует единственное значение при котором

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Исходное уравнение при условиях равносильно

Рассмотрим функцию

Поскольку

то — точка максимума, а — точка минимума. Функция возрастает на области и на области , а на промежутке убывает.

Так как , то уравнение имеет единственный корень, который лежит на промежутке

Наличие общего множителя у чисел и влечёт за собой наличие такого же множителя у числа а далее последовательно у чисел

Так как 79 — простое число, то дробь сократима на 79, поэтому для некоторого целого По условию — чётное, поэтому следовательно, для некоторого целого По условию также больше 2017, поэтому

Наименьшее подходящее значение соответственно наименьшее подходит