Тема Ломоносов

Отбор Ломоносова

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76053

Дан многочлен $P(x)$ степени $10$ со старшим коэффициентом $1.$ График $y = P(x)$ целиком лежит выше оси $Ox.$ Многочлен $− P (x)$ разложили на неприводимые множители (то есть такие многочлены, которые не могут быть представлены в виде произведения двух непостоянных многочленов). Известно, что при $x= 2020$ все полученные неприводимые многочлены принимают значение $− 3.$ Найдите $P (2020).$

Источники: Ломоносов - 2021, 11, отборочный тур (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

По условию $P(x)$ лежит выше оси $Ox,$ это значит что у многочлена $P (x)$ нет действительных корней. Следовательно, многочлен $P(x)$ раскладывается на неприводимые многочлены $2$ степени, а их количество будет $5,$ т.к. $P (x)$ имеет степень $10.$ У многочлена $− P(x)$ будет такое же количество неприводимых многочленов в разложении, и все они принимают значение $− 3$ в точке $x = 2020,$ то

5 − P(2020)= (− 3) = −243⇔ P(2020)= 243

Ответ:

$243$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98813

Найдите сумму всех действительных корней уравнения

( ( 2 )) sin π x − x +1 = sin(π(x− 1)),

принадлежащих отрезку $[0;2].$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какая связь на аргументы синусов следует, если синусы от таких аргументов равны? Составьте совокупность и решите!

Подсказка 2

Мы получаем, что x = 1 +- sqrt(2k - 1), либо x = +- sqrt(2n + 1). Осталось заключить эти выражения на отрезок из условия и получить ответ на задачу!

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно совокупности

[ π(x2− x+ 1) =π(x− 1)+2πk, ( 2 ) k,n∈ ℤ π x − x+ 1 =π − (x− 1)π +2πn,

Преобразуя совокупность, получим

[ x2− x+ 1= (x − 1)+ 2k, x2− x+ 1= 1− (x − 1)+ 2n

[ (x− 1)2 =2k− 1, x2 =2n+ 1

[ √----- x= 1±√--2k− 1, x= ± 2n +1

Если $√ ----- 0≤ 1± 2k− 1 ≤2$ , то

√----- − 1≤ ± 2k− 1≤ 1

0 ≤2k− 1≤ 1

k= 1

тогда $x= 0$ или $x= 2$ .

Если $√----- 0≤ 2n+ 1≤ 2$ , то

0≤ 2n+ 1≤ 4,

то есть $n =0$ или $n =1$ ; тогда $x= 1$ или $√- x = 3$ .

Ответ:

$3+ √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88128

Определите количество кратных трём натуральных делителей числа $11!=1 ⋅2 ⋅...⋅11$ .

Показать ответ и решение

Для начала разберемся, какие простые множители входят в число $11!$ и в каких степенях.

8 4 2 1 1 11!=1 ⋅2 ⋅3 ⋅4 ⋅...⋅11 =2 ⋅3 ⋅5 ⋅7⋅11

Теперь рассмотрим вид числа, которое является делителем $11!$ и которое само делится на $3.$ Пусть $11!$ делится на $d,$ тогда

d= 2α1 ⋅3α2 ⋅5α3 ⋅7α4 ⋅11α5,

где все $αi$ принимают значения от $0$ до соответствующей степени в числе $11!,$ кроме $α2,$ которое принимает значения от $1$ до $4$ .

Следовательно, исходная задача свелась к подсчету различных чисел $d,$ определенного вида. Посчитаем количество таких различных $d :$

9⋅4⋅3⋅2⋅2= 432

Ответ: 432

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#67078

Старуха Шапокляк решила обзавестись коллекцией из 50 саквояжей. В магазине ей на выбор предложили оранжевые, зелёные, фиолетовые и голубые саквояжи. Сколькими способами она может сделать покупку? Саквояжи одного цвета считаются идентичными.

Источники: Ломоносов-2015, отборочный тур (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче фигурируют такие факты: цвета - четыре, в сумме объектов - пятьдесят. То есть задача сводится к уравнению вида a + b + c + d = 50, где a, b, c, d ≥ 0 и эти буковки обозначают количество саквояжей определенного цвета. При такой формулировке чаще всего вспоминают задачу о шарах и перегородках, которая является прообразом данной и хорошо иллюстрирует метод решения подобных задач. Как можно расположить "перегородки"? Сколько их надо и где их можно поставить?

Подсказка 2

Ну конечно, если цвета 4, то "перегородок" - 3. Объектов, которые мы будем набирать, 50 + 3 перегородки = 53, что означает, что нам нужно поставить 3 перегородки на 53 любых места - здесь поможет буква С :)

Подсказка 3

Возможно, у вас возник вопрос, а не упустили ли мы моменты, когда саквояжей какого-то определенного цвета просто нет? Нет, не упустили, ведь мы дали для перегородок именно 53 места, что означает, что сами перегородки можно ставить рядом - тогда это будет означать, что саквояжей какого-то цвета действительно ноль, на то a, b, c, d ≥ 0, а не просто >0.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть шары — это саквояжи. Перегородки между ними — разбиение $50$ саквояжей по цветам. Рассмотрим случаи:

В первом случае в покупку входят саквояжи всех четырех цветов. Тогда поставим между $50$ шарами $3$ перегородки: число шаров, лежащих слева от первой перегородки, равно числу саквояжей первого цвета; число шаров, лежащих между первой и второй — второму и т.д. Мест для перегородок $49,$ поэтому в этом случае получаем $3 C49$ способов.

Во втором случае в покупке присутствуют саквояжи трёх из четырех цветов. Выбрать их $3 C4 =4$ способа. Ставим $2$ перегородки на $49$ мест — $2 C49$ способов. Итого в этом случае получаем $2 C49 ⋅4$ способов.

В третьем случае в покупку входят саквояжи двух цветов. Есть $2 C4 = 6$ их выбрать. Затем ставим одну перегородку между $50$ шарами: $1 C49$ способов. Итого в этом случае получаем $49⋅6.$

В четвертом случае в покупку входят саквояжи только одного цвета. Есть $4$ способа его выбрать

Суммируя способы во всех случаях, получаем $C349+ C249⋅4+ 49⋅6 +4 =23426$

Второе решение.

Старуха Шапокляк может взять школьную тетрадку в клетку и отметить там ряд из $53$ клеток. Затем в произвольных $3$ разных клетках этого ряда она ставит крестики. Передав этот листок продавцу, она ставит условие: число клеток, лежащее слева от первого крестика, равно числу саквояжей первого цвета; число клеток, лежащих между первым и вторым крестиком, равно числу саквояжей второго цвета, число клеток, лежащее правее третьего крестика, равно числу саквояжей $4$ -ого цвета. При этом, если левее первого крестика, между какими-либо двумя крестиками, или правее $4$ -го крестика нет клеток, значит, в покупке не будет саквояжей соответствующего цвета.

Тем самым число вариантов покупки равно числу способов расстановки $3$ крестика на $53$ различных позициях, то есть равно $C353 = 5503!!⋅3! = 53⋅522⋅⋅351= 23426.$

Ответ:

$23426$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#67598

Сколько решений имеет уравнение

--1--- ---1-- 2- (x− 1)2 + (x− 2)2 = x2?

Источники: Ломоносов-2011, отборочный тур (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нам сказали найти количество корней такого уравнения, то, скорее всего, сами корни некрасивые, то есть просто в лоб мы их не найдём. Но давайте внимательно посмотрим на уравнение, а точнее, на числа в числителе. Слева у нас по единице, а справа двойка. Почему тогда привести всё к общему знаменателю не такая плохая идея? Попробуйте это сделать.

Подсказка 2

Верно, это хорошо сделать, потому что, прикинув на глаз, можно увидеть и слева, и справа одинаковые коэффициенты при x⁴. То есть они сократятся, и останется только x³. Тогда этот многочлен легко проанализировать с точки зрения функции. Для чего же мы это сделали? Вспомните теорему, которая очень хорошо определяет наличие корня на каком-то интервале.

Подсказка 3

Ага, это теорема о промежуточном значении. Также мы определили, где функция возрастает, а где убывает. Тогда посмотрите значение в хороших точках и поймите, сколько корней есть у уравнения.

Показать ответ и решение

Если $x <0,$ то $(x− 1)2 >x2,(x − 2)2 > x2,$ поэтому

---1-- --1--- 2- (x− 1)2 + (x− 2)2 < x2

Если $x> 2,$ то $(x − 1)2 < x2,(x− 2)2 < x2,$ поэтому

---1-2 + --1-2-> 22 (x− 1) (x− 2) x

Если $1< x< 2,$ то $22 < 2, x$ а по неравенству между средним квадратическим и средним гармоническим

------------- ∘ --12-+ -1-2- 2 -(x−1)-2-(x−2) ≥ x−-1+2-− x

---1-- + --1---≥ 8> 2> 2- (x− 1)2 (x − 2)2 x2

Если $0< x< 1,$ то функция $f(x)= -2 x2$ от $+ ∞$ убывает до $f(1)= 2,$ а функция $g(x) =--1-- +--1-- (x−1)2 (x−2)2$ неограниченно возрастает от $g(0)=1+ 1 <2. 4$ По теореме о промежуточном значении непрерывной функции существует единственное значение $x, 0$ при котором $f(x )=g(x). 0 0$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Исходное уравнение при условиях $x⁄= 0,x ⁄=1,x⁄= 2$ равносильно

3 2 6x − 21x +24x− 8= 0

Рассмотрим функцию

f(x)=6x3− 21x2 +24x− 8.

Поскольку

f′(x)=18x2− 42x +24,

то $x= 1$ — точка максимума, а $x= 43$ — точка минимума. Функция $f$ возрастает на области $(−∞,1)$ и на области $( ) 43;+∞$ , а на промежутке $(1;43)$ убывает.