Тема НадЭн (Надежда энергетики)

Отбор Энергетики

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела надэн (надежда энергетики)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#101074

В шахматном кружке занимаются мальчики и девочки. Их разбили на группы по $6$ человек, причём в каждой группе есть и девочки, и мальчики. В каждой группе прошёл круговой турнир, каждый сыграл по одной партии с каждым из остальных членов той же группы, других игр не было. Может ли при этом число партий между мальчиками быть на $23$ больше числа партий между девочками?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам не говорят ни про количество ребят, ни про количество групп, что как бы намекает нам на то, что придется посчитать необходимую разность в общем виде, а дальше задуматься о делимости и значениях, которые такая разность может принимать.

Подсказка 2

Число ребят в одной группе достаточно невелико. Следовательно, мы можем посчитать количество партий между мальчиками и между девочками для каждого случая количества мальчиков в группе.

Подсказка 3

Вычислим разность между числом партий мальчиков и числом партий девочек. Какой делитель неравный 23 всегда будет у данной разности?

Показать ответ и решение

Пусть в шахматном кружке $n$ групп, а $a i$ — количество мальчиков в $i$ –ой группе, где $i∈ {1,2,⋅⋅⋅n}.$ Тогда в этой группе $6 − a i$ девочек. Заметим, что игр между мальчиками в этой группе было

ai(ai− 1) ---2----

А игр между девочками было

(6 − a )(5− a) ----i2----i-

Посчитаем разницу между количеством парнтий между мальчиками и девочками во всём турнире:

( ) ( ) a1(a1− 1)+ ⋅⋅⋅+ an(an−-1) − (6− a1)(5− a1)+ ⋅⋅⋅+ (6− an)(5−-an) = 2 2 2 2

(a21−-a1+⋅⋅⋅+a2n−-an) ( 30-− 11a1+-a21-+⋅⋅⋅+-30−-11an+-a2n) = 2 − 2 =

(( ) ) ( ( )) = -a21+-⋅⋅⋅+-a2n--− (a1+⋅⋅⋅+an) − 30n-− 11(a1+⋅⋅⋅+an)+-a21-+⋅⋅⋅+-a2n- = 2 2

− 30n +10(a +⋅⋅⋅+an) = ---------21--------= −15n+ 5(a1 +⋅⋅⋅+ an)

Итак, мы получили, что число партий между мальчиками больше числа партий между девочками на $− 15n+ 5(a1+ ⋅⋅⋅+ an),$ что кратно 5, а, значит, не может быть равно 23.

Ответ: нет