Высшая проба - задания по годам → .04 Высшая проба 2018
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пространстве даны 
точек, таких что в проекциях на координатные плоскости никакие три точки не лежат на одной прямой. Могло ли
оказаться так, что каждая точка ровно в одной из этих проекций лежит внутри выпуклой оболочки остальных? (Мы говорим, что точка
лежит внутри выпуклой оболочки других точек, если она лежит внутри треугольника с вершинами в некоторых трёх из этих
точек.)
Источники:
Подсказка 1
Можно ли с ходу так сказать, какой ответ? Вроде почему бы и нет? Хотя как тогда строить пример. Подгонять числа? А может как-то по-умному это сделать?. Фу-фу-фу думать так в самом начале.
Подсказка 2
Если мы хотим, доказывать, что какая-то точка всегда попадает хотя бы два раза в выпуклую оболочку. Нууу, так себе. А вот факт про то, что какая-то точка всегда будет составлять оболочку, а не находиться внутри, звучит лучше.
Подсказка 3
То есть мы хотим найти такую точку, которая при проекциях будет "крайней". Ну, рассуждать про координаты точки в целом сложно. Попробуем разобраться сначала с x, потом с y, потом с z.
Подсказка 4
Ключевая идея: если мы докажем, что есть точка, у которой координата по x и по y не меньше, чем у остальных (если она положительна) и не больше, чем у остальных (если отрицательна), то при проекции на все плоскости, она точно не будет внутри оболочки (этот факт докажите самостоятельно). Такую точку будем называть x-крайней и y-крайней. (Аналогично для других пар)
Подсказка 5
Заметим, что вдоль каждой оси, ровно две точки, которые удовлетворяют критериям "крайней" точки!
У нас есть 
координаты. По каждой координате можно выбрать точку, у которой эта координата максимальная и точку, у
которой эта координата минимальная. Таким образом, мы 
раз выбираем какую-то точку. Значит какую-то точку мы
выберем 
раза. Не умаляя общности, пусть у этой точки максимальная координата 
и 
. Тогда при любой проекции
какая-то координата у нее будет оставаться максимальной, поэтому она не может лежать в какой-то выпуклой оболочки при
проекции.
нет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Чётное число 
называется подходящим, если оно делится на модуль разницы между наибольшим из своих чётных делителей,
отличных от 
, и наибольшим из своих нечётных делителей. Сколько существует подходящих чётных чисел, не превосходящих
Подсказка 1
Попробуем записать число в виде 2^k*m, где m - нечетно. Запишем условие и подумаем, какие ограничения можно наложить на переменные!
Подсказка 2
2^k*m должно делиться на m(2^(k-1) - 1). При каких k это возможно? Обратим внимание не четность.
Подсказка 3
При k >= 2 решение только 1 (какое?) А что если k =1? Как нам выделить наибольший четный делитель?
Подсказка 4
Запишем m как p*s, где p - минимальный простой нечетный делитель. Теперь мы можем записать условие с помощью новых переменных и найти p!
Подсказка 5
Число p обязательно равно трём! Получается, что 2N = 2*3*s. Теперь попробуем поискать такие числа среди чисел от 1 до 2018...
Подсказка 6
Обратите внимание на остатки от деления числа 2N на 4 и 6. Тогда все числа от 1 до 2018 можно разбить на последовательности, в которых мы точно знаем количество подходящих чисел!
Предположим, что число 
подходящее. Пусть 
где 
нечётное. Если 
то условие говорит, что
делится на 
что возможно только при условии 
Если 
и 
где 
минимальный простой нечетный делитель 
то 
делится на 
откуда имеем 
значит,
Число 
или имеет остаток 
по модулю 
или имеет остаток 
по модулю 
Тем самым число 
является
подходящим, если число 
может иметь остаток 
по модулю 
Это значит, что в каждом ряду из 
последовательных четных чисел ровно пять подходящих. Используя равенство 
получаем ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Какое максимальное количество полосок 
можно вырезать из квадрата на клетчатой бумаге размера 
клеток?
Источники:
Подсказка 1
На доске всего 64 клетки. Какая оценка на количество полосок легко получается, исходя из этого?
Подсказка 2
Верно! Число полосок не больше 12. Можно ли построить пример?
Заметим, что больше 
фигурок из 
клеток в каждой поместить на клетчатую бумагу, в которой всего 
клетки, заведомо не
удастся (т. к. 
Поэтому остается подыскать пример из 
полосок. Вот он:
