Тема Высшая проба

Высшая проба - задания по годам → .03 Высшая проба 2017

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела высшая проба

Разделы подтемы Высшая проба - задания по годам

Высшая проба 2015 и ранее

Высшая проба 2016

Высшая проба 2017

Высшая проба 2018

Высшая проба 2019

Высшая проба 2020

Высшая проба 2021

Высшая проба 2022

Высшая проба 2023

Высшая проба 2024

Высшая проба 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#49484

Решите систему уравнений

(| √x = y+z; { √y = z+2x-; |( √- x+2y- z = 2 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1. давайте попробуем поиграться с оценками в этой задаче, так как уравнения как бы зациклены. давайте упорядочим числа, например х <= y <= z и попробуем тогда оценить корни x и z через соответсвующие переменные. то есть корень из х нам нужно оценить через х, используя уравнение из условия и наше упорядочивание. то есть два слагаемых из правой части оцениваем в соответсвии со знаками между x, y, z и получаем, что корень из х, например, больше х. тогда можно сделать вывод о том, какому промежутку х принадлежит - [0, 1] или [1, ∞].

Подсказка 2!

2. теперь попробуем это использовать - заметим, что z принадлежит [1, ∞], а х [0, 1]. тогда из первого уравнения (y+z)/2 это тоже число из [0, 1]. и аналогично рассмотрим третье уравнение, для него аналогично проводим оценку, но с числом из [1, ∞].

Подсказка 3!

3. осталось аккуратно вывести к тому, что и чисел должны быть определенные значения, чтобы все оценки сошлись!

Показать ответ и решение

Первое решение.

На ОДЗ все переменные неотрицательны. Если хотя бы одна равна нулю, то сумма остальных также нулевая и все переменные равны $0$ . Учтём это и далее будем считать, что все переменные больше нуля.

Не умаляя общности (в силу симметрии), пусть $x≤ y ≤ z$ , тогда посмотрим на первое уравнение

√- y+z x+ x x = -2--≥ -2--= x ⇐⇒ x∈ [0,1]

При этом для последнего уравнения

√ - z = x+2-y≤ z+2-z= z ⇐⇒ z ≥ 1

Итак, с одной стороны $- √x ∈[0,1]$ и $y+z2-∈[0,1] ⇐⇒ y+ z ∈[0,2] =⇒ y ∈[0,1]$ (поскольку $z ≥ 1$ ). С другой стороны, $- √z ≥ 1$ , откуда $x+2y≥ 1 =⇒ x= y = 1$ (поскольку только в этом случае возможно равенство). Отсюда сразу же получаем $z =1.$

Второе решение.

ОДЗ: $x≥ 0,y ≥0,z ≥ 0$ . Пусть, не умаляя общности, $x ≤y ≤z.$

К неотрицательным числам мы имеем право применить неравенство о средних для двух чисел:

(|{ √x= y+2z≥ √yz; √y = z+2x≥ √zx; |( √z = x+2y≥ √xy.

Перемножая неотрицательные части всех неравенств системы получаем следствие $√xyz ≥ xyz.$ Отсюда

xyz ≤ 1 (*)

Докажем, что для нетривиального ( $0,0,0)$ решения системы в этом неравенстве должно достигаться равенство.

Сложим три уравнения исходной системы:

√x+ √y +√z-= x+y +z

Нам подходит случай $x =y =z =0,$ эта тройка удовлетворяет исходной системе. Иначе из равенства выше делаем вывод, что все три числа меньше единицы быть не могут, ведь тогда левая часть равенства очевидно окажется больше правой (для $t= 0 √t =t,$ для $0 <t< 1 √t->t).$

Рассмотрим тогда случай, когда ровно два числа меньше единицы: $x ≤y <1 ≤z$ . Но тогда и третьей число оказывается меньше единицы: $√z = x+y< 1+1 =⇒ z < 1. 2 2$

Рассмотрим случай, когда ровно одно число меньше единицы: $x< 1≤ y ≤ z.$ Но это противоречие $1> √x= y+z≥ 1+1= 1. 2 2$

Остаётся случай, когда $1 ≤x ≤y ≤z.$ Но тогда $1 ≤xyz.$ Но из (*) $xyz ≤ 1$ (это было следствие системы после применения неравенства о средних). Остаётся только вариант, чтобы в неравенстве достигалось равенство, для (*) это, как известно, происходит при равенстве чисел. Из системы получаем $x= y = z = 1.$

Ответ:

$(0;0;0),(1;1;1)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#61644

Найдите все натуральные числа $n$ от $1$ до $100$ включительно такие, что если перемножить все делители числа $n$ (включая $1$ и $n$ ), получим число $3 n .$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется как-то в общем виде записать, чему равно произведение всех делителей. Мы знаем, что в большинстве случаев делители можно разбить на пары (потому что если у числа n есть делитель k, то есть также делитель n/k), но у некоторых чисел есть лишь нечетное количество делителей. Что это за числа?

Подсказка 2

Если число является точным квадратом, то оно имеет нечётное число делителей! Подойдёт ли нам какой-то из точных квадратов?

Подсказка 3

Пусть у точного квадрата n кроме делителя √n есть еще s пар делителей. Заметим, что произведение делителей в каждой паре равно n, тогда произведение всех делителей равно n^(s+1/2) = n³, а это верно только при n = 1.

Подсказка 4

Теперь рассматриваем числа, имеющие s пар делителей, чему равно произведение делителей в этом случае? Можем ли мы понять, сколько делителей должно быть у нашего числа?

Подсказка 5

Так как n^s = n³, у нашего числа есть всего 6 делителей! Давайте попробуем понять, сколько простых чисел может быть делителями числа n, может ли у n быть больше двух простых делителей?

Подсказка 6

Нет, у n есть максимум два простых делителя! Ведь если бы n делилось на р₁, р₂ и р₃, то у него были бы делители р₁р₂, р₁р₃ и р₂р₃, а так как делителей всего шесть, среди этих чисел есть число 1, что невозможно, ведь 1 не является простым числом. Таким образом, мы можем разложить n на простые множители и перебрать все возможные варианты.

Подсказка 7

Получаем, что n = p⁵ или n = р₁р₂². В первом случае легко угадываем пятую степень некоторого числа, не превосходящую 100, а во втором вариантов будет гораздо больше! Так как р₁ ≥ 2, р₂² ≤ 100/2 = 50, отсюда получаем возможные варианты р₂, перебираем их и находим подходящие числа!

Показать ответ и решение

Ясно, что $n= 1$ подходит, ведь произведение из условия будет равно $1 =n3.$ Рассмотрим теперь $n> 1.$ Обозначим произведение его делителей буквой $P.$

Если число $n$ не является точным квадратом, то его делители можно разбить на $s$ пар с произведением $n$ в каждой (если число $n$ делится нацело на $√ - k < n$ , то оно делится нацело и на $n n-- √- m = k > √n = n$ ). Например, $18 =1 ⋅18= 2⋅9= 3⋅6$ . Так что делители бьются на пары с произведением $n$ в каждой, откуда $s P =n .$

По условию $3 P =n$ , тогда $s= 3.$ Число должно иметь $6$ делителей.

Если число является точным квадратом, то есть ещё делитель $√- n,$ поэтому $s+1 3 P = n 2 = n$ — противоречие с тем, что $s$ — целое число пар.

Для $k k n =p11⋅...ptt ,ki ∈ℕ$ количество различных делителей равно $t (1+ k1)...(1+ kt)≥ 2$ (берём каждое простое в каждой степени, считая нулевую). Если число $n$ должно иметь ровно $6$ делителей, то $6≥ 2t =⇒ t= 1 или t =2$ .

При $t= 1$ получаем $n= p5$ . Среди чисел от $1$ до $100$ подходит только $n =32.$

При $t= 2$ получаем $n= p1p22.$ Из условия на промежуток

$p22 ≤ 1020= 50 ⇐⇒ p2 ≤7 ⇐ ⇒ p2 ∈ {2,3,5,7}$ .

Добавим также условие $p22 ≥ 4 =⇒ p1 ≤ 25$ , затем остаётся просто перебрать по очереди все $p2$ , а затем выбрать подходящие простые $p1 ≤ 25$ , получим числа

22⋅3 =12,22 ⋅5 =20,22 ⋅7 =28,22⋅11 =44,22 ⋅13= 52,22⋅17= 68,22⋅19= 76,22⋅23= 92

32⋅2= 18,32⋅5= 45,32⋅7= 63,32⋅11= 99

52⋅2=50,52⋅3= 75

72⋅2= 98

Ответ:

$1,12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75971

Тройка целых чисел $(x,y,z),$ наибольший общий делитель которых равен $1,$ является решением уравнения

2 2 3 2 2 y z+ yz =x + x z− 2xz

Докажите, что $z$ является кубом целого числа.

Источники: Высшая проба - 2017, 11.4(см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В исходном выражении уже есть куб. Можно ли как-то его переписать так, чтобы получилось, что z делит этот куб?

Подсказка 2

Верно! z(y² + yz - x² + 2xz) = x³. Теперь, если доказать, что НОД z и y² + yz - x² + 2xz, то задача будет решена. Как это сделать?

Подсказка 3

По алгоритму Евклида можно получить, что НОД этих чисел такой же, как НОД z и y² - x². Пойдем от противного: может ли этот НОД быть равен t > 1?

Подсказка 4

Точно! Если t > 1, то x³ делится на t. Кроме того, t делится на некоторое простое q, а тогда и x делится на это q. Какой вывод можно сделать?

Показать доказательство

Запишем равенство в следующем виде: $z(y2+ yz− x2 +2xz)= x3.$ Если мы докажем, что НОД $z$ и $y2+yz− x2+ 2xz$ равен $1,$ то тогда $z$ будет кубом. Предположим, что $z$ в этой ситуации не является кубом. Тогда в разложение $z$ входит какое-то простое число $p$ в степени, не кратной $3.$ Скобка $2 2 y + yz− x +2xz$ на $p$ не делится, значит $p$ входит в $3 x$ в степени, не кратной $3,$ чего быть не может.

Итак, докажем взаимною простоту $z$ и $2 2 y + yz− x + 2xz.$ Ясно, что НОД этих чисел равен НОДу $z$ и $2 2 y − x .$ предположим, что этот НОД равен $t> 1.$ Тогда $3 x$ делится на $t.$ Пусть $t$ делится на некоторое простое число $q,$ тогда на $q$ делится $x$ и $2 2 y − x .$ Значит, $y$ также делится на $q.$ Также $z$ делится на $t,$ а значит и на $q.$ Получается, что НОД $x,y$ и $z$ больше $1,$ противоречие. Значит, НОД $z$ и $2 2 y − x$ равен $1,$ что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#76022

В компании из $6$ человек некоторые компаниями по трое ходили вместе в походы. Верно ли, что среди них найдутся четверо, среди которых каждые трое ходили вместе в поход, либо четверо, где никакие трое не ходили вместе в поход?

Источники: Высшая проба - 2017, 11.1(см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень часто в задачках на графы мы "зарисовываем" условие в виде графа с вершинами и рёбрами. Однако тут речь идёт о тройках, а не парах, так что соединять рёбрами не очень удобно. Может, попробовать представить граф немного в другом виде?

Подсказка 2

Конечно, можем изобразить всё в виде октаэдра, каждой вершине которого соответствует человек. Тогда группе из трёх человек соответствует либо грань фигуры, либо плоскость, проходящая внутри октаэдра и соединяющая 4 вершины.

Подсказка 3

Если не совсем понятно, что дальше делать, можно начать рассматривать различные способы выбора таких плоскостей. Попробуйте подтвердить или опровергнуть предположение из условия (помните, что для опровержения достаточно лишь одного контрпримера, так что попробуйте начать составлять именно его)

Показать ответ и решение

Рассмотрим октаэдр. Пусть каждый человек соответствует вершине октаэдра.

$PIC$

В качестве троек, ходивших вместе в поход, возьмём грани, а также ещё $6,$ получаемых следующим образом. Рассмотрим три координатных плоскости. Каждая из них пересекает октаэдр по квадрату (закрашены разными цветами). В каждом таком квадрате возьмём две тройки, чтобы полученные треугольники вместе образовывали квадрат, и три прямых, разделяющих треугольники в парах, лежали на трёх различных координатных прямых. (Отрезки, разделяющие треугольники, в квадратах проведены соответствующими цветами.) Легко видеть, что такой набор троек не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85485

Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ расположены четыре окружности одного радиуса так, что они имеют общую точку и каждая из них вписана в один из углов четырёхугольника. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ вписанный.

Источники: Высшая проба - 2017, 10.4(см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хорошей подсказкой в этой задаче будет обозначить точки. Например, общая точка окружностей — О, центры окружностей в углах A, B, C, D — A₁, B₁, C₁, D₁ соответственно.

Подсказка 2

Как же можно воспользоваться тем, что окружности равного радиуса?

Подсказка 3

Именно, OA₁= OB₁ = OC₁ = OD₁, то есть A₁B₁C₁D₁ - вписанный. Теперь заметим, что для окружностей в углах B и C: В₁С₁-линия центров, BC — общая касательная. Но окружности равные. Что отсюда следует?

Подсказка 4

То, что BC || B₁C₁. Аналогично, A₁D₁ || AD, A₁B₁ || AB, C1₁D₁ || CD. Тогда осталось сделать очевидное замечание.

Подсказка 5

Именно, так как у углов DAC и D₁A₁C₁ попарно параллельные стороны, они равны. Остался последний шаг!

Показать доказательство

Обозначим точку пересечения окружностей через $O$ , центры окружностей обозначим $A′,B′,C′,D′$ . Поскольку все четыре окружности имеют равный радиус, $′ ′ ′ ′ OA = OB = OC =OD$ .

Таким образом, $O$ является центром окружности, описанной вокруг $′ ′ ′ ′ A B C D$ . Значит, сумма противоположных углов в четырёхугольнике $′′ ′ A B C D$ равна $∘ 180$ .

$PIC$

Прямая $AB$ является общей касательной к паре пересекающихся окружностей равного радиуса с центрами в $A′$ и $B′$ , поэтому $AB ∥A′B ′$ . Аналогично параллельны остальные соответвующие пары сторон. Значит, в четырёхугольнике $ABCD$ суммы противоположных углов также равны $180∘$ , так что он также является вписанным.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#94877

На доске написано несколько цифр (среди них могут быть одинаковые). На каждом шаге две цифры стираются и пишутся цифры, из которых состоит их произведение. (Например, вместо $5$ и $6$ пишется $3$ и $0$ , а вместо $2$ и $4$ пишется $8$ ). Доказать, что через несколько шагов на доске останется одна цифра.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что мы хотим доказать, что что-то убывает, что-то уменьшается, а бесконечно это продолжаться не может, значит рано или поздно останется одна цифра. Намёк либо на какой-то полуинвариант, либо на индукцию по количеству чисел.

Подсказка 2

Возьмём две произвольные цифры a, b. Не умоляя общности, а ≥ b. b, a ≤ 9, значит, 10b > ab. То есть ab ≤ 10b - 1. Посмотрим внимательно на десятичные записи этих чисел. Какой вывод о них можно сделать?

Подсказка 3

Либо ab < 10 и оно однозначное, либо первая цифра ab < min(a,b) = b. Теперь надо выбрать, полуинвариант или индукция?

Подсказка 4

Допустим, полуинвариант. Нууу, у нас есть цифры на доске, причём перемножаться они могут хаотично. Как тогда следить за первыми цифрами получаемых произведений? Сумма цифр на доске, произведение — не подходят. Остальное тоже странно связано. Интересно, что же там насчёт индукции?

Подсказка 5

Начнём с базовых идей. Попробуем зацепиться за количество цифр на доске. Пусть изначальное количество цифр на доске — n. База для n = 1 тривиальна. Попробуем сделать переход.

Подсказка 6

Пусть мы доказали для n = k, докажем для n = k + 1. Заметим, что если в какой-то момент цифр на доске стало меньше, то в этом случае переход доказан, просто пользуемся предыдущими шагами индукции. Хорошо, а что если цифр не станет меньше? Как быть в этом случае? Напомню, первая цифра ab < min(a,b). На какую мысль нас это наталкивает?

Подсказка 7

Верно! Мы понимаем, что после каждого шага, на доске появляется цифра, которая меньше чем те, что были взяты. Ну предположим, что минимальная цифра не уменьшается бесконечно долго. Значит, она не участвует в операциях. Аналогично посмотрим на минимальную из оставшихся, она тоже бесконечно долго не уменьшается (иначе стала бы меньше глобального минимума). И так далее. Получаем что все цифры бесконечно долго не уменьшаются. Противоречие. (Это надо оформлять в общем виде) И так, что мы имеем?

Показать доказательство

При решении задачи будем использовать свойство уменьшения первого разряда. Оно состоит в том, что при умножении двух цифр $a$ и $b$ получается либо однозначное число (цифра), либо двузначное, и в последнем случае первая цифра двузначного произведения меньше, чем минимальная из цифр $a,b$ .

Действительно, двузначные числа $a0 =10× a$ и $b0 =10× b$ больше, чем $ab$ , так как $a,b< 9$ . Тем самым на каждом шаге либо получается на цифру меньше (первый случай), либо число цифр сохраняется, но минимальная из всех цифр, написанных на доске, не увеличивается.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Будем доказывать утверждение задачи индукцией по числу $n.$ При $n = 1$ утверждение очевидно. Утверждение для $n = 2$ следует из свойства уменьшения первого разряда, в силу которого через несколько шагов останется одна цифра.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть утверждение доказано для $n =k$ . Пусть $m$ — минимальная из цифр, написанных на доске. Достаточно показать, что через несколько шагов либо число цифр уменьшится, либо минимальная цифра уменьшится: появится цифра меньше $m$ .

Предположим противное. Тогда число цифр не уменьшается и в каждый момент есть цифра $m$ , к которой очередной шаг задачи не применяется: каждый шаг не затрагивает хотя бы одну цифру $m$ . В противном случае, если осталась одна или две цифры $m$ , и к ней (соответственно, к ним обеим) применен шаг задачи, и при этом число цифр не уменьшается, то минимальная цифра уменьшится в силу свойства уменьшения первого разряда.

Вышесказанное эквивалентно тому, что все шаги задачи применяются к меньшему набору цифр: ко всем, кроме одной из цифр $m$ . А тогда по предположению индукции через несколько шагов на доске, кроме цифры $m$ , останется одна цифра. Это сводит шаг индукции к случаю двух цифр, для которого утверждение задачи доказано.

Предыдущая подтема

Следующая подтема