Тема Высшая проба

Высшая проба - задания по годам → .02 Высшая проба 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела высшая проба

Разделы подтемы Высшая проба - задания по годам

Высшая проба 2015 и ранее

Высшая проба 2016

Высшая проба 2017

Высшая проба 2018

Высшая проба 2019

Высшая проба 2020

Высшая проба 2021

Высшая проба 2022

Высшая проба 2023

Высшая проба 2024

Высшая проба 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68081

Три различных положительных числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Могут ли эти же три числа оказаться тремя (не обязательно последовательными) членами геометрической прогрессии?

Показать ответ и решение

Попробуем подобрать пример. Пусть члены арифметической прогрессии имеют вид $a − d,a,a +d.$ Ясно, что эти числа не могут быть последовательными членами геометрической прогрессии, потому что $2 2 2 (a− d)(a+ d)= a − d < a .$ Попробуем рассмотреть геометрическую прогрессию, в которой $a$ и $a+ d$ — последовательные, а между $a$ и $a− d$ есть один член, тогда справедливо равенство $-a- a+d 2 a−d =( a ).$ После домножения на знаменатели, привидения подобных и деления на $d$ мы получим равенство $2 a = d(a+d).$ Чтобы свести его к уравнению от одной переменной, положим $a =kd$ , тогда оно примет вид $2 k = k+1.$ Это уравнение имеет корень $√5+1 k= 2 .$ Осталось заметить, что числа $√5−1 √5+1 √5+3 2 d, 2 d, 2 d$ при положительном $d$ подходят к условию.

Ответ: могут

Критерии оценки

+ верное решение

± верное решение с небольшими недочётами (например, арифметическая ошибка, не влияющая на ход решения)

+/2 задача явно сведена к решению полиномиального уравнения третьей степени или выше от знаменателя геометрической прогрессии, но не доказано (или доказано неверно) существование отличного от 1 решения

-. приведено доказательство невозможности в случае рациональных чисел или последовательных членов геометрической прогрессии

- решение не соответствует ни одному из критериев выше

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73180

На доске написаны числа $1∕2,1∕3,...,1∕100$ . Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и записать вместо них $a+b− ab$ . После нескольких таких операций на доске осталось одно число. Чему оно может быть равно?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть ощущение, что ответов не сильно много. Может быть, вообще один. Надо понять, как ограничить результат такого процесса. Обычно, в таких задачах помогает инвариант или полуинвариант. Попробуйте что-нибудь с этим придумать.

Подсказка 2

Давайте отдельно посмотрим на выражение a + b - ab. Ничего не напоминает?

Подсказка 3

Верно! -(a-1)(b-1) = (a-1)(1-b) = a + b - ab - 1. То есть у нас были числа a, b. А появилось число -(a-1)(b-1) + 1. Давайте сначала определимся, инвариант у нас будет в виде произведения или в виде суммы?

Подсказка 4

Вот это слагаемое ab всё портит, если рассматривать сумма. Мы про него особо ничего не понимаем. Значит нужно пробовать искать инвариант в виде произведения.

Подсказка 5

Вот мы видим скобки (a-1), (b-1). Давайте попробуем что-нибудь с ними сделать. Что первое приходит на ум?

Подсказка 6

Конечно, давайте попробуем следить за произведением (x₁ - 1)(x₂ - 1)...(x_k - 1), где {x_i} - числа на доске в какой-то момент. Вспомним, что числа a, b заменяются на -(a-1)(b-1) + 1. То есть инвариант заменяется с (а-1)(b-1)... на -(a-1)(b-1).... То есть просто меняет знак. Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 7

Пусть A — итоговое число. То (A-1) = (1/2 - 1)(1/3 - 1)...(1/100 - 1). Знак остался прежним, так как убрали 98 чисел, значит, знак сменился чётное количество раз. (1/2 - 1)…(1/100 - 1) = (-1/2)*(-2/3)*...*(-99/100) = -1/100. Итого, A = 1 - 1/100 = 99/100.

Показать ответ и решение

Если на доске написаны числа $x,x ,...,x 1 2 k$ , то будем следить за величиной $(x − 1)(x − 1)...(x − 1) 1 2 k$ . Заметим, что вместо выражения вида $(a− 1)(b− 1)$ будет выражение $a+ b− 1 − ab= −(a− 1)(b− 1)$ . То есть за каждый ход рассматриваемое выражение меняет знак. Изначально оно было равно

( 1 ) (1 ) ( 1 ) 1 2 99 1 2 − 1 3 − 1 ... 100 − 1 = −2 ⋅3 ⋅...⋅100 = − 100.

Значит, и через 98 операций наше выражение будет равно $− 1100-$ . То есть в конце будет выписано число $− 1100 + 1= 0,99.$

Ответ: 0,99

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#89720

Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде $20x2+ 80xy+ 95y2$ для целых $x$ и $y.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте рассмотрим число, полученное из данного путем деления на 5. Если для нового выражения мы найдем минимальное число, представимое таким образом, то и для изначально уравнения минимальным будет данное, умноженное на 5.

Подсказка 2

Итак, мы получили выражение 4x² + 16xy + 19y². Первые два слагаемых похожи на формулу полного квадрата. Как насчёт того, чтобы его выделить? Сумму квадратов оценить не так уж трудно. Хм, а для чего мы это сделали..?

Показать ответ и решение

Поделим все на $5.$

2 2 2 2 4x +16xy+ 19y = 4(x+ 2y) + 3y

По модулю $4$ полученное выражение сравнимо либо с $0,$ либо с $3.$ Тогда это выражение, раз оно принимает натуральное значение, хотя бы $3.$ Причем значение, равное $3,$ достигается при $y = 1,x= −2.$ Тогда минимальное натуральное значение исходного выражения равно $15.$

Ответ:

$15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95865

Болельщики Спартака говорят правду, когда Спартак выигрывает, и лгут, когда он проигрывает. Аналогично ведут себя болельщики Динамо, Зенита и Локомотива. После двух матчей с участием этих четырёх команд, каждая из которых закончилась победой одной из команд, а не ничьёй, из болельщиков, смотревших трансляцию, на вопрос “болеете ли вы за Спартак?” положительно ответили $200$ человек, на вопрос “болеете ли вы за Динамо?” положительно ответили $300$ человек, на вопрос “болеете ли вы за Зенит?” положительно ответили $500$ человек, на вопрос “болеете ли вы за Локомотив?” положительно ответили $600$ человек. Сколько человек болело за каждую из команд?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Стоит ввести обозначения и свести задачу на языку алгебры. Но ввести нужно не прям стандартно, ведь просто обозначения количеств команд нам ничего особо не даст (осознайте это).

Подсказка 2

Во-первых, 2 матча, 4 команды, значит, каждая сыграла по разу. Пусть команды A, B выиграли, а команды C, D — проиграли, где (А,B,C,D) — перестановка (Спартак, Динамо, Зенит, Локомотив). Маленькие буквы — количество людей в командах. Какой теперь вывод можно сделать из условия?

Подсказка 3:

На вопрос "Болеете ли вы за команду А?" ответили a + c + d человек. На вопрос "... за команду B?" ответили b + c + d человек. Осознайте аналогичный факт про команды C и D. Что теперь можно сказать?

Подсказка 4:

Если вы поняли, сколько человек ответили на вопросы про C и D, то поймёте, что за победителей болеет больше людей. Тогда кто победил, а кто проиграл?

Подсказка 5:

Верно! Локомотив и Зенит победили, а Спартак и Динамо проиграли. А вот теперь остаётся ввести самые стандартные обозначения из подсказки 1 и изящно дорешать задачу.

Показать ответ и решение

Так как в 2 матчах участвовали все 4 команды, то каждая команда сыграла по одному матчу. Если команда проиграла, то её болельщики начинают врать и будут говорить, что болеют за другие команды, кроме своей. Пусть $a,b$ — болельщики команд, которые выиграли, а $c,d$ — болельщики команд, которые проиграли. Тогда после игр на вопрос о команде $a$ ответили, что болеют за неё те, кто действительно болеют, и те, чья команда проиграла. За команду $b$ — аналогично.

Получается, что за команду $a$ сказали, что болеют $a+ c+ d$ человек, а за команду $b$ болеют $b+ c+d$ . Так как болельщики проигравших команд не могут сказать, что болеют за свою команду, потому что это будет правда, то за команду $c$ будут болеть $d$ человек, а за команду $d$ , наоборот, — $c$ человек. Из этих соображений можно сказать точно, что $c, d≤ a+ c+d, b+ c+ d$ , следовательно, за победителей будут болеть большее количество человек. Поэтому «Локомотив» и «Зенит» победили в своих играх, а «Спартак» и «Динамо» проиграли.

Пусть тогда за «Локомотив» по-настоящему болеют $x$ человек, за «Зенит» — $y$ , за «Спартак» — $s$ , за «Динамо» — $t$ . Получается, что после опроса за «Локомотив» болеют $600= x+ s+ t$ , за «Зенит» болеют $500 =y +s+ t$ , за «Спартак» болеют $200= t$ , а за «Динамо» — $300= s$ . Итого: болельщиков «Локомотива» $x =100$ , болельщиков «Зенита» $y =0$ , болельщиков «Спартака» $s= 300$ , болельщиков «Динамо» $t= 200$ .

Ответ: "Локомотив" - 100, "Зенит" - 0, "Спартак" - 300, "Динамо" - 200.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#96543

В ряд выписаны цифры $987654321.$ Поставьте между ними ровно два знака минус так, чтобы значение полученного выражения было минимальным. (Например, при расстановке $9876− 54− 321$ получается $9501.$ ) Не забудьте объяснить свой пример.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Значение нового выражения должно быть минимальным. Попробуем исходя из этого поставить первый минус. Можно ли сделать выражение отрицательным?

Подсказка 2

Можно! Можно поставить минус после первой цифры, тогда выражение будет и отрицательно, и максимально по модулю среди всех возможных отрицательных значений. Осталось поставить второй минус. Можно ли по аналогии отделить им большое количество разрядов?

Показать ответ и решение

Давайте для начала попробуем поставить один знак минус, чтобы значение выражение стало минимальным. Тогда понятно, что можно сделать выражение отрицательным, причём максимальным по модулю. Это значит, что минус нужно разместить таким образом $9− 87654321.$ Остался второй минус, и чтобы выражение было минимальным, нам нужно максимальное количество разрядов. Получается достаточно просто вычесть $1.$ Конечная расстановка $9− 8765432− 1.$

Ответ:

$9− 8765432− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#104672

Дан куб, каждая грань которого — это клетчатое поле размером $2015$ на $2015$ клеток. В центре одной из граней стоит пешка. Данил и Максим передвигают пешку по клеткам куба. Данил может ходить только на соседнюю по стороне клетку (разрешается переходить на другую грань, если клетки соседние по стороне), а Максим может поставить пешку в любую клетку. Пешка красит за собой клетки. На закрашенную клетку пешку двигать нельзя. Изначальная клетка (центр грани) закрашена. Данил ходит первым. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре обоих?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Переформулируем немного задачу. Изначально куб пустой. Ходит первым Максим и ставит пешку в центр одной из граней.

Подсказка 2

Казалось бы, Максим может ставить на любую незакрашенную, а Данил всего лишь на соседние. Однако не тут-то было...

Подсказка 3

Побеждать будет Данил. Почему такая гипотеза должна появиться? Например, потому что всего клеток на кубе чётно, а первым ходит Максим, значит если все клетки заняты, то победит Данил (в силу чётности). А если бы мы предположили, что выигрывает Максим, то нам бы пришлось доказывать, что не бывает ситуаций, когда все клетки заняты (а это звучит стрёмно). На что же намекает замеченная чётность?

Подсказка 4

Верно! На парную стратегию, то есть ту, в которой у второго игрока всегда есть ответный ход. Какие существуют самые известные парный стратегии в плоских клетчатых задачах?

Подсказка 5

Точно! Это разбиение поля на доминошки (прямоугольники 1 на 2). То есть первый ходит в доминошку, а второй забирает оставшуюся клетку в доминошке. Итого, у второго всегда есть ход после первого. Сработает ли эта идея в нашей задаче?

Подсказка 6

Конечно, сработает. Стратегия остаётся той же. Однако с разбиением куба могут возникнуть трудности (всё-таки выход в пространство). И да, доминошки могут загибаться через рёбра.

Подсказка 7

Попробуйте построить пример следующим образом. Если куб ABCDA₁B₁C₁D₁, то попробуйте покрыть рёбра AB, B₁C₁, DD₁ доминошками (как бы облепить). Ну а дальше докрутить уже проще простого.

Показать ответ и решение

Приведём выигрышную стратегию для Данила. Число клеток на поверхности чётно (равно $2015⋅2015⋅6).$ Разобьём всю поверхность куба на доминошки; доминошки не пересекаются и покрывают весь куб. Легко видеть, что такие примеры есть. В начале хода Данила пешка стоит в какой-то доминошке. Данил ходит во вторую клетку доминошки. Если Данил до этого действовал в соответствии с этой стратегией, то вторая клетка доминошки не закрашена, и сделать в неё ход можно. Очевидно, что последний ход сделает Данил — хотя бы потому, что он всегда может сделать ход.

Ответ:

Данил

Предыдущая подтема

Следующая подтема