Разложение на целые скобки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано натуральное число Натуральное число
назовём удачным, если найдутся
последовательных натуральных
чисел, сумма которых равна сумме
следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел
нечётно.
Источники:
Подсказка 1:
Ясно, что m > n. Давайте для удобства обозначим m = n + k и будем считать количество таких k. Осталось записать условие на равенство сумм, пользуясь формулой суммы членов арифметической прогрессии.
Подсказка 2:
Пусть первой наименьшее число среди n чисел равно x. Тогда у вас должно получиться равенство, в котором участвуют x, k и n. Обратите внимание на чётность множителей.
Подсказка 3:
У вас должно было получиться равенство (2x + k - 1)k = 2n². Давайте заметим, что у 2n² нечётное количество нечётных делителей. А сколько значений х соответствует распределению делителей по скобочкам?
Решение 1. Ясно, что положим
где
— натуральное, и будем искать количество подходящих
то есть таких
для которых уравнение
имеет решение в натуральных Преобразуем, пользуясь формулой суммы арифметической прогрессии. Получим:
Умножив на и приведя подобные слагаемые получаем:
Слева в уравнении (*) два сомножителя разной чётности, дающие в произведении при этом левый сомножитель
больше правого. Наоборот, если зафиксировать нечётный делитель
числа
то, зная
найдём дополнительный
делитель
и далее из системы
однозначно находим натуральное
(равное
Итак, количество подходящих равно количеству нечётных делителей числа
которое, в свою очередь, равно количеству всех
делителей числа
где (нечётное)
получается из
делением на наибольшую степень двойки, входящую в разложение
Но
количество делителей точного квадрата нечётно (так как все делители числа
кроме
можно разбить на пары:
и только
делитель
остаётся без пары).
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Решение 2.
Очевидно, где
натуральное. Запишем равенство из условия в виде
Отсюда:
Чтобы условие задачи выполнялось с данным необходимо и достаточно, чтобы
было целым неотрицательным.
Положим где
нечётное,
целое неотрицательное. Тогда
будет целым в двух случаях: (а) если оба члена равенства (**)
целые
(б) если оба они полуцелые
Первый случай имеет место, когда
— нечётный делитель числа
то есть делитель числа
Количество
таких значений
нечётно, поскольку это всевозможные делители полного квадрата. Второй случай означает,
что
где — делитель числа
Между первым и вторым множеством значений
есть биекция: каждому
из первого множества
соответствует число
из второго множества, и обратно.
Пусть — пара из указанной биекции, причём
Тогда при
получится неотрицательное
а при
отрицательное.
Действительно, в силу
требуется проверить неравенство
Но что и требовалось. Поэтому подходящих значений
будет ровно
то есть нечётное
количество.
Специальные программы

Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!