Биссектрисы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
Пусть 
— центр его вписанной окружности, 
— такая точка на стороне 
что угол 
прямой, 
— точка, симметричная точке 
относительно вершины 
Докажите, что точки 
лежат на одной
окружности.
Источники:
Подсказка 1
Условие на угол PIB выглядит немного странно...однако он входит в состав угла AIB (I - центр вписанной окружности, так еще нам и намекают число 90) Какой угол тогда хочется сразу посчитать?
Подсказка 2
Угол AIB на 90 больше половины угла ACB, а, значит, углы ACI и AIP равны. На картинке много биссектрис, которые могут помочь нам в поисках подобных треугольников. А еще хочется как-то пользоваться равенством отрезков QA и AI(мы этого еще не делали)
Подсказка 3
Треугольники CIA и IPA подобны по трем углам, а в них как раз присутствует отрезок IA, так что можем записать, что IC/IP = AC/AI = AC/AQ. Смотрим, какие же треугольники содержат отрезки IC, IP, AC, IQ (или хотя бы часть из них, чтобы дальше работать с подобием)?
Подсказка 4
Треугольники ICP и ACQ! Становится ясно: хотим равенства углов CIP и CAQ, чтобы доказать подобие треугольников с такими же названиями, чтобы доказать равенство углов IPC и AQC. Посчитать угол QAC как внешний к половине угла BAC несложно, а угол PIC есть сумма углов AIP и AIC. Осталось лишь воспользоваться знанием про углы с вершиной I из подсказки 2 ;)
Пусть 
пересекает 
в точке 
Угол 
тупой, а угол 
острый, значит 
лежит между 
и 
Далее, т.к. 
— центр
вписанной окружности треугольника, получаем
Значит, треугольники 
и 
подобны. Учитывая это и равенство 
имеем
Кроме того,
Следовательно,
Тогда треугольники 
и 
подобны по углу и отношению прилежащих сторон, значит 
и точки
лежат на одной окружности.
Замечание. После доказательства подобия треугольников 
и 
можно действовать по-другому. Выберем
точку 
на продолжении отрезка 
за точку 
так, что 
тогда треугольники 
и 
равны
(
). Значит, 
— равнобокая трапеция, и она вписана. С другой стороны, поскольку
точки 
лежат на одной окружности. Значит, все пять точек 
лежат на окружности
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
