Исследование функций и производные

Любая функция, полученная описанным способом, — многочлен от и с целыми коэффициентами. Доказательство индукцией по числу шагов: исходная функция имеет такой вид; производная многочлена с целыми коэффициентами — многочлен с целыми коэффициентами; аналогичное верно для суммы и произведения. При синус и косинус принимают целые значения, поэтому значение многочлена от них с целыми коэффициентами — целое, то есть целое.

Положим

Запишем на доску

Тогда

Аналогично

Суммируя такие функции, получаем все чётные константы.

Покажем, что нечётную константу получить нельзя. Заметим, что

Поэтому все функции, которые можно получить, — это многочлены от и с целыми коэффициентами и нулевым свободным членом. При остаются лишь члены с косинусом (равным 1). Коэффициенты при чётных степенях косинуса чётны, а при нечётных либо иррациональны, либо равны нулю. Целочисленное значение получится, если сумма коэффициентов при нечётных степенях равна 0, но тогда значение чётно, что и требовалось доказать.