Тема ТурГор (Турнир Городов)

Турнир городов - задания по годам → .04 Турнир городов 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тургор (турнир городов)

Разделы подтемы Турнир городов - задания по годам

Турнир городов 2015 и ранее

Турнир городов 2016

Турнир городов 2017

Турнир городов 2018

Турнир городов 2019

Турнир городов 2020

Турнир городов 2021

Турнир городов 2022

Турнир городов 2023

Турнир городов 2024

Турнир городов 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74814

В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ с центром описанной окружности $O$ проведены высоты $BH B$ и $CH . C$ Точки $X$ и $Y$ симметричны точкам $HB$ и $HC$ относительно середин сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что прямая $AO$ делит отрезок $XY$ пополам.

Источники: Турнир городов - 2018, 11.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Пусть AO пересекает XY в точке K. Нас просят доказать равенство XK = KY или же отношение XK/KY. На какие мысли это наталкивает?

Подсказка 2:

Существует теорема, которая очень хорошо дружит с отношениями отрезков, это теорема синусов. Подумайте, к каким треугольникам её можно здесь применить?

Подсказка 3:

Попробуйте написать теоремы синусов для треугольников AXK и AYK. Если поделить одно на другое, то получится выразить отношение XK/KY через нечто, которое должно быть равно 1.

Показать доказательство

Пусть $K$ – точка пересечения прямых $AO$ и $XY.$

Выразим по теореме синусов в треугольниках $AXK$ и $AYK$ отношение отрезков $XK$ и $KY :$

XK XK AY AX sin∠XAK sin∠AKY AX sin∠XAK AX KY- = AX-⋅KY-⋅ AY-= sin∠XKA--⋅sin∠KAY--⋅AY-= sin∠KAY--⋅AY-

Ясно, что $AX = CHB$ и $AY = BHC.$ Из прямоугольных треугольников $BCHB$ и $BCHC$ следует, что

AXAY = CBHHB-= CHBBC- ⋅ BBCH-= ssinin∠∠CBBCHHB-- C C C

Осталось лишь заметить, что $∠XAK =∠BCHC = 90∘ − ∠B$ и $∠KAY = ∠CBHB =$ $=90∘− ∠C$ поскольку $AK$ – направление на центр описанной окружности. Получается, что

XK- = sin∠XAK--⋅ AX-= sin∠XAK-⋅ sin-∠CBHB-= 1 KY sin∠KAY AY sin ∠KAY sin ∠BCHC

что и требовалось доказать.

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#81384

Имеется натуральное $1001$ -значное число $A.$ $1001$ -значное число $Z$ — то же число $A,$ записанное от конца к началу (например, для четырёхзначных чисел это могли быть $7432$ и $2347$ ). Известно, что $A> Z.$ При каком $A$ частное $A∕Z$ будет наименьшим (но строго больше $1$ )?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть A = a₁₀₀₀a₉₉₉...a₀. (Где a_i — цифры). Что можно сказать про a₀, a₁,..., a₄₉₉, учитывая A > Z?

Подсказка 2

Верно! Они не могут быть все девятками! Теперь уже легко указать максимальное значение Z. Какое?

Подсказка 3

Правильно! 9...989...9 (в начале 499 девяток, а в конце 501 девятка). Обозначим за Z₀ это число. Теперь будем пытаться оценить A - Z снизу. Для начала давайте поймём, как действовать, если мы найдем точную оценку на A - Z снизу, и она будет достигаться при Z = Z₀.

Подсказка 4

Останется только вычесть из дроби A/Z единицу, подставить Z₀ и получить ответ. Какая оценка на A - Z напрашивается, если мы хотим равенство при Z = Z₀?

Подсказка 5

Верно! 10⁵⁰¹ - 10⁴⁹⁹. Давайте будем доказывать эту оценку. Для удобства введем обозначения φ_n = a_{501 + n} - a_{499 - n} и △_n = 10⁵⁰¹⁺ⁿ - 10⁴⁹⁹⁻ⁿ. Как тогда записывается число A - Z?

Подсказка 6

Ага! A - Z = φ₄₉₉△₄₉₉ + ... + φ₁△₁ + φ₀ △₀. Прежде чем оценивать это выражение, давайте попробуем оценить снизу отношение △_{i +1} / △_i.

Подсказка 7

Оно всегда больше 10. Пусть j — максимальный индекс такой, что φ_j ≠ 0. Попробуйте написать оценку на |φ_j△_j + ... + φ₁△₁ + φ₀ △₀| используя неравенство треугольника и нашу оценку на отношение △_{i +1} / △_i. Также стоит помнить, что φ_i является разностью цифр, а, значит, не больше 9.

Показать ответ и решение

Первое решение. Пусть $A = a--a---...a. 1000 999 0$ Поскольку $A >Z,$ среди цифр $a,a ,...,a 0 1 499$ есть хотя бы одна недевятка. Значит, $Z ≤ Z0 = 99◟. ◝4.◜99.9◞89◟95..◝◜0.19◞.$ Покажем, что $501 499 A − Z ≥10 − 10 .$ Отсюда будет следовать, что

A 10501− 10499 Z-− 1≥ ----Z0----

Эта оценка достигается при $Z =Z0,$ что и даёт ответ. Имеем

( ) ( ) ( ) A− Z =(a1000− a0) 101000− 1 + (a999− a1) 10999− 10 + ⋅⋅⋅+ (a501− a499)10501− 10499 =

= φ499Δ499+φ498Δ498 +⋅⋅⋅+ φ0Δ0

где $φi =a501+i− a499−i$ и $501+i 499−i Δi = 10 − 10$ при $i= 0,1,...,499.$ Заметим, что $Δi+1 > 10Δi.$ Пусть $j−$ наибольший индекс, при котором $φj ⁄= 0.$ Тогда

|φjΔj + φj−1Δj−1+ ⋅⋅⋅+ φ0Δ0|≥|φjΔ(j|− |φj−1Δj−1|− ⋅⋅⋅− |φ)0Δ0|≥ ≥Δj 1− 9-− -9-− ⋅⋅⋅− -9j- = Δjj ≥ Δ0 10 100 10 10

что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Ясно, что можно минимизировать (положительное) число $AZ-− 1= A−ZZ.$ Пронумеруем цифры в $A$ слева направо $a ,a,...,a . 1 2 1001$ Пусть $k$ — наименьший номер, для которого $a ⁄= a k 1002−k$ (тогда $k≤ 500$ и $a >a , k 1002−k$ ибо $A > Z$ ).

Рассмотрим произвольный оптимальный пример. Заменим первые и последние $k− 1$ цифр на девятки. $A− Z$ не изменится, $Z$ не уменьшится, то есть наша дробь не увеличится. По этой же причине $a501$ можно заменить на $9.$ Заменим $ak$ на $9,$ а $a1002−k$ на $8.$ При этом $A− Z$ не увеличится, а $Z$ не уменьшится. Заменим все цифры $ak+1,...,a500$ на нули, а $a502,...,a1001−k$ на девятки. Тогда $A − Z$ не увеличится, а $Z$ если и уменьшится, то на меньшую величину (это произойдёт только тогда, когда вторая половина и так была девятками!). Поскольку в оптимальном примере $A− Z <Z$ (в первом просто меньше цифр), то, ясно, $A−Z- Z$ не возрастёт. Итак, можно считать, что $A$ имеет вид