Тема Изумруд

Тригонометрия на Изумруде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела изумруд

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#101253

Известно, что единственным решением уравнения

π (-x) 4 =arcctg2+ arcctg5+ arcctg13 +arcctg34+arcctg89+ arcctg 14

является натуральное число. Найдите его.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в следующем виде:

-x arcctg1− arcctg2− arcctg5− arcctg13− arcctg34 − arcctg89= arcctg14

Так как арккотангенс — убывающая функция, оба числа положительны и не превосходят $π,$ то $0 <arcctgx− arcctgy <π,$ если $x <y.$

Поэтому последовательно воспользуемся формулой

1+ xy arcctgx− arcctgy =arcctgy-− x

Тогда

arcctg1 − arcctg2= arcctg 1+1-⋅2-= arcctg3 2− 1

1+3-⋅5- arcctg3 − arcctg5= arcctg 5− 3 = arcctg8

arcctg8− arcctg13 =arcctg21

arcctg21 − arcctg34= arcctg55

arcctg55− arcctg89 =arcctg144

Таким образом, получаем

x- arcctg144= arcctg 14

Тогда

-x 14 =144

x =2016

Ответ:

2016