Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела изумруд
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#101253

Известно, что единственным решением уравнения

π                                              (-x)
4 =arcctg2+ arcctg5+ arcctg13 +arcctg34+arcctg89+ arcctg 14

является натуральное число. Найдите его.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в следующем виде:

                                                   -x
arcctg1− arcctg2− arcctg5− arcctg13− arcctg34 − arcctg89= arcctg14

Так как арккотангенс — убывающая функция, оба числа положительны и не превосходят π,  то 0 <arcctgx− arcctgy <π,  если x <y.

Поэтому последовательно воспользуемся формулой

                    1+ xy
arcctgx− arcctgy =arcctgy-− x

Тогда

arcctg1 − arcctg2= arcctg 1+1-⋅2-= arcctg3
                     2− 1

                    1+3-⋅5-
arcctg3 − arcctg5= arcctg 5− 3 = arcctg8

arcctg8− arcctg13 =arcctg21

arcctg21 − arcctg34= arcctg55

arcctg55− arcctg89 =arcctg144

Таким образом, получаем

              x-
arcctg144= arcctg 14

Тогда

-x
14 =144

x =2016
Ответ:

2016

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!