Тема ММО (Московская математическая олимпиада)

ММО - задания по годам .13 ММО 2021

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)
Разделы подтемы ММО - задания по годам
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71792

Точка M  — середина стороны BC  треугольника ABC.  Окружность ω  проходит через точку A,  касается прямой BC  в точке M  и пересекает сторону AB  в точке D,  а сторону AC  — в точке E.  Пусть X  и Y  — середины отрезков BE  и CD  соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника MXY,  касается ω.

Источники: ММО - 2021, 9.4 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть с вами сразу три середины каких-то отрезков. Понятно, что можно тогда где-то найти средние линии и параллельности) Что из этого получится?

Подсказка 2

Из этого можем получить, что ∠XMY = ∠A. Теперь подумайте: что значит, что окружности будут касаться? Скорее всего, вы понимаете даже, где. Какое условие там будет выполнено?

Подсказка 3

Хочется, чтобы они касались в точке M, то есть нужно, чтобы описанная около XMY окружность касалась BC в точке M. То есть, ∠YMC = ∠YXM. А мы знаем, что ∠YMC = ∠ABC. По факту что нам достаточно теперь доказать?

Подсказка 4

Из знания уже одного угла нам достаточно доказать, что XMY подобен треугольнику ABC! Для этого попробуйте использовать то, что это средние линии, а нужные удвоенные отрезки можно выразить с помощью теорем о касательной и секущей :)

Показать доказательство

PIC

Заметим, что MX  и MY  — средние линии треугольников BCE  и BCD,  поэтому ∠XMB  =  = ∠C  и ∠CMY  = ∠B.  Тогда

∠Y MX = 180∘ − ∠XMB − ∠CMY  =∠A

По свойству касательной и секущей к окружности имеем BM2 = BD ⋅BA,  откуда

              2
MY  = B2D-= B2MAB-

Аналогично получаем

MX = CM2-
     2AC

Деля одно на другое и пользуясь тем, что BM = CM,  находим

MY-- BM2-  2AC-  AC-
MX = CM2  ⋅2AB = AB

Получаем, что треугольники BAC  и XMY  подобны по углу и отношению прилежащих сторон.

Тогда ∠XY M = ∠ACB  =∠XMB.  Получается, что в описанной окружности треугольника XMY  угол, опирающийся на хорду XM,  равен углу между хордой XM  и прямой BC.  Это значит, что прямая BC  касается окружности, описанной вокруг треугольника XMY.  Следовательно, рассматриваемые окружности касаются.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#78104

Дан правильный треугольник ABC.  На стороне AB  отмечена точка K,  на стороне BC  — точки L  и M  (L  лежит на отрезке BM  ) так, что KL = KM,BL = 2,AK  =3.  Найдите CM.

Источники: ММО-2021, 7.5(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Решение 1. Подсказка 1

Какое самое ключевое свойство есть в равностороннем треугольнике. Что можно сделать для его поддержания?

Подсказка 2

Да, именно симметричность, поэтому почему бы не отметить на продолжении LM за точку М точку T, такую, что BL=MT? Что тогда можно сразу получить?

Подсказка 3

Оказывается, вышло два равных треугольника, откуда получаем равнобедренный треугольник побольше. Что про него можно сказать?

Подсказка 4

Есть угол 60°, значит, вышел еще один равносторонний треугольник! Отсюда можем и однозначно определить длину ВТ, а значит, и расположение точки Т. Осталось только посчитать, чему равно CM!

Решение 2. Подсказка 1

Какое самое известное свойство равнобедренного треугольника? Можно ли его как-то использовать?

Подсказка 2

Проведем высоту KH в треугольнике LKM. Если обозначить LH = x, то чему окажется равно HM?

Подсказка 3

Есть прямоугольный треугольник с углом 60° и известным катетом, значит, длину чего можно сразу определить?

Подсказка 4

Зная длину BK, легко определить и длину BA. Что осталось сделать, чтобы посчитать длину CM?

Показать ответ и решение

Решение 1.

PIC

Отметим на продолжении отрезка LM  за точку M  такую точку T,  что MT = 2.  Углы BLK  и T MK  равны, так как они смежные с равными углами равнобедренного треугольника KLM.  Значит, треугольники BLK  и TMK  равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда равны их соответствующие углы: ∠KT M = ∠KBL = 60∘.

В треугольнике KBT  два угла по 60∘,  поэтому он равносторонний, и BK = BT.  Так как треугольник ABC  тоже равносторонний и BA = BC,  то

CT = BC − BT = BA − BK =AK = 3

(и точка T  лежит именно на стороне BC,  а не на ее продолжении). Тогда

CM = CT +MT  =3 +2 =5

Решение 2.

PIC

Проведем высоту KH  равнобедренного треугольника KLM.  Она также является его медианой, поэтому LH = HM.  Обозначим LH = HM  =x.  Треугольник KBH  — прямоугольный с углом B,  равным  ∘
60,  а значит, его гипотенуза KB  в 2  раза больше его катета BH.  Так как BH = 2+ x,  то KB = 2BH  =4 +2x,  а тогда

BA = BK + KA = 4+2x+ 3= 7+ 2x

Треугольник ABC  равносторонний, поэтому BC = BA = 7+ 2x.  А значит,

MC = BC − BM = (7+ 2x)− (2+ 2x)=5
Ответ:

 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#78106

В правильном пятиугольнике ABCDE  отмечена точка F  — середина CD.  Серединный перпендикуляр к AF  пересекает CE  в точке H.  Докажите, что прямая AH  перпендикулярна прямой CE.

Источники: ММО-2021, 8.4(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Решение 1. Подсказка 1

Из чего может следовать перпендикулярность?

Подсказка 2

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°. Неплохо было бы посчитать уголки. Что в таком случае можно сразу сказать про правильный пятиугольник?

Подсказка 3

У правильной фигуры все стороны равны, а углы легко находятся. Значит, можно посчитать и некоторые другие углы с их помощью. Например, между диагональю и стороной.

Подсказка 4

Из равнобедренного треугольника CDE легко находим угол ECD, а значит, можем найти и угол ACD. Что в таком случае можно сказать про луч СЕ относительно треугольника ACF?

Подсказка 5

У нас есть серединный перпендикуляр к AF и биссектриса CE к AF треугольника ACF. Есть про них какой-то полезный факт?

Подсказка 6

Они пересекаются на описанной окружности треугольника! Понимаем, чем является AF для треугольника CAD и легко находим угол AHC!

Решение 2. Подсказка 1

Если AH перпендикулярна CE, то каким является треугольник ACH?

Подсказка 2

По какому признаку можно сразу сказать, что треугольник прямоугольный?

Подсказка 3

Например, если медиана равна половине стороны, которой проведена, то треугольник прямоугольный. Почему бы не поискать равные отрезки?

Подсказка 4

Там, где равные отрезки, там и равнобедренные треугольники, поэтому поищем равные уголки для использования признака равнобедренного треугольника.

Подсказка 5

Зная угол правильного пятиугольника, легко находится угол ECD. Чему тогда равен угол ACE?

Подсказка 6

Что особенного в расположении AF относительно CD? Если P — точка пересечения серпера к AF с AC, то как в таком случае взаимно расположены PH с CD?

Подсказка 7

Раз AF является перпендикуляром к CD, а PH — перпендикуляром к AF, то PH и CD параллельны! А какие самые известные факты про параллельность нам известны (вспоминаем, что нам нужны равные отрезки)?

Подсказка 8

Нам нужны равные отрезки, значит, нам нужна теорема Фалеса! Отсюда легко находим, чем является точка Р для отрезка АС. Что осталось доказать?

Подсказка 9

Если PC = PH, то это победа. А из какого условия это можно получить? (не забываем, что у нас есть две параллельные прямые!)

Подсказка 10

Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, значит, PHC = HCD = ACH. Осталось доказать равенство отрезков :)

Показать доказательство

Первое решение. Угол правильного пятиугольника равен 108∘,  тогда

              180∘− 108∘   ∘
∠ECD = ∠CED =     2    = 36

∠ACD = 108∘ − 36∘ = 72∘

Таким образом, CE  содержит биссектрису треугольника ACF  и, следовательно, пересекает серединный перпендикуляр к стороне   AF  в точке, лежащей на описанной около этого треугольника окружности. Но ∠F  прямой, значит, и ∠AHC  прямой, как опирающийся на ту же дугу.

Второе решение.

PIC

Аналогично первому решению                 ∘
∠ACE = ∠ECD = 36.  Так как HP ∥CD,  то по теореме Фалеса AP =P C,  где P  — точка пересечения серединного перпендикуляра к AF  с диагональю AC,  а углы PHC  и ECD  равны как внутренние накрест лежащие: ∠PHC = ∠ECD  =36∘.  Следовательно, треугольник PHC  равнобедренный и P H =P C.  Окончательно получаем, что HP = PA = PC  и треугольник AHC  прямоугольный, так как его медиана равна половине стороны, к которой она проведена.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#79700

Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше чем   ∘
60 .

Источники: ММО-2021, 10.2(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое дополнительное построение помогает нам работать с углами, когда нет почти никаких длин? Не просто же так нам дано то, что трапеция равнобокая!

Подсказка 2

Опишем окружности вокруг нашей трапеции. Искомый угол — угол между хордами. Вспоминаем, как ищется угол между хордами и становится понятно, о каких дугах мы хотим узнать прежде всего!

Подсказка 3

Осталось красиво сравнить боковые стороны с радиусом окружности и про углы всё станет понятно :)

Показать доказательство

Трапеция ABCD  вписана в окружность.

PIC

Ее боковая сторона вдвое меньше основания и, значит, не длиннее радиуса окружности. Поэтому боковые стороны стягивают дуги не больше чем   ∘
60 .  А угол между диагоналями равен полусумме этих дуг.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#79881

На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на 20,  а если первую — то на 21.  Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна 0?

Источники: ММО-2021, 11.1(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз у нас число без последней цифры делится на 20, то и предпоследняя цифра равна 0. Тогда что можно сказать про кол-во цифр в числе, если учитывать второе условие на наше число?

Подсказка 2

Верно! Наше число хотя бы четырёхзначное. Теперь попробуем посмотреть на число, оставшееся после стирания последней цифры. Оно хотя бы трёхзначное. Попробуем перебирать трёхзначные числа, делящиеся на 20, и посмотреть в каждом случае, выполняется ли условие с делимостью на 21.

Подсказка 3

Отлично! Мы получили, что 100, 120, 140 не подходят. В случае же с 160 найти противоречие не получается. Тогда попробуем построить пример.

Показать ответ и решение

Предпоследняя цифра числа равна 0,  так как число без последней цифры делится на 20.  Значит, число хотя бы четырехзначное. Заметим, что число, оставшееся после стирания последней цифры, не может равняться 100  по условию. Также это число не может равняться 120  и 140,  так как числа вида ---
20a  и ---
40a  не делятся на 21.  Для 160  существует единственный пример: 1609.

Ответ:

 1609

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#79883

Найдите наименьшее натуральное число N > 9,  которое не делится на 7,  но если вместо любой его цифры поставить семёрку, то получится число, которое делится на 7.

Источники: ММО-2021, 11.3 второй день(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, какие цифры не могут входить в искомое число. А если ещё использовать и то условие, что наше число минимальное из возможных?

Подсказка 2

Теперь, когда понятно, какие цифры могут входить в искомое число, можно рассмотреть две соседние цифры. Если заменить k-ую или (k+1)-ую цифру на 7, то получатся кратные семи числа, но тогда и их разность будет кратна 7. Значит можно найти эту разность и попробовать связать между собой соседние цифры (по модулю 7).

Подсказка 3

Должно получиться, что 10*a_k и а_(k+1) сравнимы по модулю 7, где a_k и а_(k+1) — k-ая и (k+1)-ая цифры числа. Заметим также, что если отбросить последнюю цифру от искомого числа, получится число, кратное 7. Теперь, используя это, можно преобразовать искомое число без последней цифры (преобразования по модулю 7) и с помощью этого получить оценку на количество цифр в нашем числе.

Подсказка 4

После оценки нужен пример на число с именно таким количеством цифр! Но мы уже знаем, какая цифра за какой должна следовать, поэтому в составлении подходящего числа нет никакой свободы выбора.

Показать ответ и решение

Пусть наименьшее подходящее число имеет вид a-a-...a-.
 1 2   n  Из условия следует, что среди его цифр нет 0  и 7.  Если в числе есть цифры 8  или 9,  то их можно заменить на 1  или 2  соответственно и получить меньшее число с тем же свойством. Таким образом, искомое число состоит из цифр от 1  до 6.

Рассмотрим соседние цифры ak  и ak+1.  По условию числа с замененными семеркой цифрами ---------------
a1a2 ...7ak+1...an  и -------------
a1a2...ak7...an  делятся на 7,  следовательно, их разность также кратна 7,  то есть 10ak ≡ak+1 (mod 7)  для любого k.  Значит, запись числа может быть устроена только следующим образом: за 1  следует 3,  за 3  следует 2  (поскольку цифры 9  в числе нет) и так далее.

По условию исходное число, у которого вместо последней цифры стоит 7,  делится на 7.  Следовательно, исходное число без последней цифры делится на 7.  Используя несколько раз сравнение 10ak ≡ ak+1 (mod 7),  получаем:

a1a2...an−1-=a110n− 2+a210n− 3+a310n−4+...+an−1 ≡ 10a1⋅10n−3+ a210n−3+ a310n−4+

                n−3     n−4
+ ...+an−1 ≡ 2a2⋅10  +a310   +...+ an−1 ≡ ...≡ (n− 1)an−1 (mod 7)

Поскольку a
 n−1  не делится на 7,  заключаем, что n− 1  делится на 7,  поэтому наименьшее возможное n  равно 8.  Таким образом, наименьшее возможное число состоит не менее чем из восьми знаков. Остается заметить, что число 13264513  удовлетворяет условию задачи, а поскольку оно начинается с 1,  то это число и будет наименьшим.

Ответ:

 13264513

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92161

Существует ли функция f  , определённая на отрезке [− 1;1]  , которая при всех действительных x  удовлетворяет равенству

2f(cosx)= f(sinx)+sinx?

Источники: ММО - 2021, первый день, 11.2(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, что такая функция существует. Правая часть уравнения зависит только от синуса, а левая — только от косинуса. На что можно заменить аргумент х, чтобы sin(x) не изменился? Какой вывод можно отсюда сделать?

Подсказка 2

Заменой х на (pi-x) получаем, что функция чётная на всём рассматриваемом отрезке. А если мы теперь захотим изменить аргумент чтобы, наоборот, его косинус не изменился?

Подсказка 3

Заменяя х на (-х) и пользуясь чётностью функции, мы приходим к противоречию!

Показать ответ и решение

Пусть такая функция существует. Тогда, подставляя π− x  вместо x  в данное равенство, получаем

2f(− cosx)= f(sinx)+sin x.

Значит, f(− cosx)= f(cosx)  при всех x  , поэтому f(−t)= f(t)  при всех t∈ [−1;1]  , то есть функция f  четная.

С другой стороны, подставляя в исходное равенство − x  вместо x  , получим

2f(cosx)=f(− sinx)− sin x,

а поскольку f  четная, то f(− sinx)= f(sin x)  , поэтому

2f(cosx) =f(sinx)− sinx.

Вычитая это равенство из исходного, получаем sinx= 0  при всех x  . Противоречие.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92162

Существует ли функция f  , определённая на отрезке [− 1;1]  , которая при всех действительных x  удовлетворяет равенству

2f(cosx)= f(sinx)+ |sinx|?

Источники: ММО - 2021, первый день, 11.2 (см. mmo.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Подставляя π∕2 − x  вместо x  , получаем

                      1
2f(sinx)= f(cosx)+|cosx|= 2(f(sinx)+|sinx|)+|cosx|,

откуда находим

        1       2       1      2∘ -------
f(sinx)= 3|sinx|+ 3|cosx|= 3|sin x|+ 3  1− sin2x

Таким образом,

           ∘ -----
f(x)= 1|x|+ 2  1− x2
     3    3

Легко убедиться, что эта функция удовлетворяет исходному равенству при всех действительных x  .

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92163

Многогранник с вершинами в серединах рёбер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?

Источники: ММО - 2021, первый день, 11.5 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала мы хотим получить какой-то симметричный большой пример, и скорее всего наилучший пример и будет симметричным, поскольку вся картинка симметрична. В таком случае давайте подумаем, для какой плоскости нам было бы удобно считать длины всех сторон, да так, чтобы плоскость ещё как-то относительно симметрично располагалась, так как нам не хочется считать много сторон и решать большую систему уравнений (нужно будет так чутка подвигать плоскость, скорее всего, чтобы многоугольник был равносторонним, вряд ли мы сразу найдём идеальный пример). Какую тогда плоскость удобно было бы взять, в связи с рассуждениями выше?

Подсказка 2

Мы можем взять плоскость, которая параллельна одной их плоскостей куба, так как в сечении получается симметричный 8-угольник, у которого есть две четвёрки, в каждой из которых стороны попарно равны. При этом, когда у нас плоскость расположена на маленькой высоте, то стороны, не лежащие в плоскостях куба, очень большие, а когда поднимаем выше, уменьшаются. Во-первых, поймите до какого уровня мы можем поднимать, чтобы не начать дублировать случаи, а во-вторых, как нам сделать равными все стороны? От какого параметра зависят эти стороны?

Подсказка 3

Само собой, эти стороны зависят только от высоты, а значит, несколькими теоремами Пифагора мы можем понять, чему должна быть равна высота, чтобы получался равносторонний восьмиугольник. Большой пример есть. Теперь можно попробовать покрутить плоскость, попробовать придумать что-то более большое. А если не получится, то предполагать, что n > 8 и приходить к противоречию. А в чем может вообще заключаться противоречие? Если у нас есть некоторый n-угольник, который высекается плоскостью из кубооктаэдра, то если мы хотим прийти к противоречию с n, то нам было бы удобно подумать, где могут лежать его точки, потому что если мы найдём плоскость, в которой лежит много вершин нашего n-угольника, то скорее всего придём к противоречию.

Подсказка 4

Найти что-то большее не вышло, поэтому идём по пути, который был описан выше. Если есть сечение кубооктаэдра плоскостью, то вершины данного n-угольника лежат на рёбрах кубооктаэдра, при этом, на одном ребре не более двух точек. Если у нас есть > 8 точек, то нам было бы удобно найти 4 плоскости, которые содержат рёбра кубооктаэдра, ведь тогда по рассуждениям из предыдущей подсказки задача была бы решена. Посмотрите на картинку и поймите, какие 4 плоскости в объединении содержат все рёбра кубооктаэдра, если у нас его вершины идут по серединам сторон куба, а значит есть много паралельностей, а потому много рёбер, лежащих в одной плоскости.

Показать ответ и решение

Пусть ребро исходного куба, из которого получился кубооктаэдр, равно 1. Рассмотрим сечения кубооктаэдра плоскостью, параллельной основанию куба, на расстоянии        1
0 <h < 2  от основания. В сечении будут получаться восьмиугольники, все углы которых равны    ∘
135 . Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть точки пересечения плоскости сечения с ребрами куба:

PIC

Найдем значение h  , при котором соседние стороны получающегося в сечении восьмиугольника равны, тогда он окажется правильным. Длина x  стороны, которая лежит в грани куба, находится из пропорции x1 = 1h∕2-=2h  . Другая сторона — это гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника, длина которой равна √2 − h√2
 2  . Поэтому достаточно потребовать, чтобы выполнялось равенство 2h= √2-− h√2
     2  , то есть h = --1√--< 1
    2(1+ 2)  2  . Итак, правильный восьмиугольник в сечении получиться может.

Предположим, что в сечении кубооктаэдра некоторой плоскостью α  получился правильный n  -угольник и n> 8  . Тогда вершины этого n  -угольника должны лежать на ребрах кубооктаэдра, причем одному ребру не может принадлежать более двух вершин n  -угольника. Рассмотрим сечение исходного куба, которое является правильным шестиугольником (на рисунке ниже закрашено серым), а также сечения, которые получаются из данного поворотом на   ∘   ∘
90,180 и    ∘
270 относительно вертикальной оси куба:

PIC

Заметим, что объединение сторон этих четырех правильных шестиугольников есть объединение всех ребер кубооктаэдра. Покажем, что на сторонах какого-то из четырех выбранных правильных шестиугольников лежит хотя бы 3 вершины n  -угольника. Действительно, если на сторонах каждого такого шестиугольника лежит не более двух вершин, то всего вершин будет не более восьми. Следовательно, плоскость сечения n  -угольника совпадает с плоскостью этого шестиугольника и в сечении кубооктаҝдра получается шестиугольник. Получаем противоречие.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92164

Верхней целой частью числа x  называют наименьшее целое число, большее или равное x  . Существует ли такое число A  , что для любого натурального n  расстояние от верхней целой части   n
A  до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2 ?

Источники: ММО - 2021, первый день, 11.6 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть два возможных ответа — да или нет. Если нет, то нужно доказывать, что абсолютно для любого числа в последовательность {A^i} найдется не подходящее число, что кажется очень непростой задачей. Тогда будем доказывать, что ответ «да». Если мы хотим, чтобы верхняя целая часть Aⁿ отличалось от ближайшего натурального квадрата на 2, то хотелось бы понять, чему равна эта верхняя целая часть. Вернее, что нам было бы удобнее взять за верхнюю целую часть, чтобы она отличалась от какого-то квадрата на 2? А если вспомнить как возводится число вида t+1/t в квадрат?

Подсказка 2

Хотелось бы сделать так, чтобы число вида Aⁿ + 1/Aⁿ было бы целым и A было некоторым квадратом, чтобы как раз получить t^2n + 1/(t^2n) = (tⁿ + 1/tⁿ)²-2. Осталось только понять, чему должно быть равно t, чтобы каждое выражение вида Aⁿ + 1/Aⁿ при A = t², было бы целым. Здесь вас на поиск подходящего t может натолкнуть либо мысль о процессе построения бесконечных цепных дробей, либо же тот факт, что число вида (a+b√c)^k, где a, b, k - целые, это выражение вида t+l√c. Заметьте, это верно и для отрицательных k.

Подсказка 3

Да, можно просто сказать, что t — корень некоторого уравнения с целыми коэффициентами и отрицательным коэффициентом при x, ведь тогда t+1/t = c, где с — целая положительная константа. Тогда, по модулю факта про возведение таких иррациональностей в степень можно сказать, что задача решена, поскольку мы нашли такое t, что любое выражение вида t^k + 1/t^k — целое, а значит, мы нашли подходящее А.

Показать ответ и решение

Пусть t  — больший корень многочлена x2− 10x+ 1  , тогда t+ 1 =10
  t  .

Докажем по индукции, что число  n  1-
t + tn  целое при любом целом неотрицательном n  .

Действительно, это верно при n = 0,1  . Кроме того,

n+1   1    ( n  1 )(   1)  ( n−1   1  )
t  + tn+1 = t + tn-  t+ t  − t   + tn−1- ,

что позволяет проделать шаг индукции.

Положим A = t2  , тогда

         (      )2
An + 1-=  tn+ -1  − 2
     An       tn

-1-
An <1

Значит,  n  -1
A + An  и есть верхняя целая часть  n
A  , а ближайший к ней квадрат целого числа равен (n  -1)2
 t+ tn  .

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#92172

Многочлен P(x)=x3 +ax2+ bx +c  имеет три различных действительных корня, наибольший из которых равен сумме двух других. Докажите, что c> ab  .

Источники: ММО - 2021, второй день, 11.1 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Всё, что нам дано – какое-то условие на корни многочлена, но благодаря великому математику – Виету, мы знаем, как выражаются коэффициенты многочлена третей степени через корни этого самого многочлена. Давайте подставим эти выражения в c – ab.

Подсказка 2

После раскрытия всех скобок ничего приятного, на первый взгляд, не получается, но не стоит забывать, что мы всё ещё не воспользовались тем фактом, что наибольший из корней равен сумме двух других. Подумайте, какого знака должны быть такие корни.

Показать доказательство

Пусть x < x < x
 1   2   3  — корни многочлена P(x)  . По условию x = x +x
 3   1  2  . Заметим, что x  >0
 1  (а значит, все корни положительны), так как иначе x3 ≤ x2  , что противоречит максимальности корня x3  . Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ.

Пользуясь формулами Виета для коэффициентов a,b,c  , получаем

c− ab= −x1x2x3+ (x1+x2+ x3)(x1x(2+ x1x3+ x2x3) =)
     = −x1x2(x1+ x2)+2(x1+ x2) x1x2+ (x1+ x2)2 =
     = (x + x )(xx + 2(x +x )2) > 0
        1   2  1 2     1  2

Второй способ.

Так как многочлен P (x)  положителен при x> x ,
    3  то

c− ab =P (−a)= P(x1+ x2+x3)= P(2x3) >0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#92173

В остроугольном треугольнике ABC  точка O  — центр описанной окружности. Точка B
 1  симметрична точке B  относительно стороны AC  . Прямые AO  и B1C  пересекаются в точке K  . Докажите, что луч KA  является биссектрисой угла BKB1.

Источники: ММО - 2021, второй день, 11.2 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте предположим, что AK является биссектрисой угла BKB₁. Обратите внимание, что AB = AB₁ в силу симметрии. Что тогда можно сказать про четырёхугольник ABKB₁?

Подсказка 2

ABKB₁ должен быть вписанным, следовательно, если мы докажем это, то докажем и необходимое по условию. Не забываем про точку O и прямую AO из условия, которые явно намекают нам на диагонали данного четырёхугольника.

Подсказка 3

Заметьте, мы почти не использовали симметрию B и B₁, давайте найдём с её помощью пару уголков. Например, мы можем сказать, что ∠BB₁C = ∠B₁BC = 90 - ∠ACB. Таким образом мы получили один из углов между диагональю и стороной четырёхугольника, осталось доказать, что угол BAK ему равен.

Показать доказательство

Точка O  — центр описанной окружности треугольника ABC  , следовательно, ∠AOB  =2∠C  . Треугольник AOB  равнобедренный, поэтому

       180∘− ∠AOB     ∘
∠BAO  =-----2-----= 90 − ∠C

Точки B  и B1  симметричны относительно прямой AC  , откуда

∠BB1C = 90∘− ∠C

Следовательно, четырехугольник ABKB1  вписанный

PIC

Дуги BA  и AB1  равны в силу симметрии, поэтому ∠BKA  =  = ∠AKB1  . Значит, луч KA  является биссектрисой угла BKB1.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#92175

Существует ли такой выпуклый четырёхугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию?

Источники: ММО - 2021, второй день, 11.4 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим 6 чисел, которые идут в геометрической прогресии в некотором порядке, и, более того, образуют четыре треугольника, то единственное, что нам нужно при подборе таких чисел — это выполнение неравенства треугольника и конструкция, на которой можно было бы это неравенство проверять. При этом хотелось бы, чтобы некоторые треугольники были подобны, чтобы не приходилось делать несколько проверок и накладывать много ограничений на параметры, которыми мы всё зададим. Понятно, что в силу того, что если подходит треугольник A, то подходит и треугольник, который уменьшен в k раз, поэтому, одна из длин равна 1. Также нам было бы удобно работать с некоторыми симметриями, то есть чтобы у нас было не просто 1, x, x²,…,x⁵, скорее нам удобнее 1/x², 1/x, 1 , x², x³, чтобы как раз проще было проверять неравенства треугольника. Попробуйте придумать два треугольника (этим и задается четырёхугольник), которые были бы подобны и использовали вышеупомянутые рассуждения.

Подсказка 2

Интересной конструкцией является четырехугольник OABC, OA = a², OB = 1, OC = 1/a², AB = a, BC = 1/a. Во многом, типичная задача с ММО — сложная конструкция в условии, её намеренное ослабление участником (вместе с пониманием, что можно ослаблять, а что нет), и интересные, но при этом не через «заметим что» рассуждения. Давайте поймём, для каких а тогда у нас выполняется неравенство треугольника и, что не менее важно, выпуклость четырёхугольника. Поскольку мы не задали сторону AC, то понятно, для каких треугольников нужно писать необходимые неравенства. А почему если мы напишем только для них, то будет выполнено и для остальных?

Подсказка 3

Нетрудно понять, что неравенства треугольника для двух с известными сторонами выполнено на промежутке (1/phi, phi), где phi = (1 + √5)/2. Теперь надо понять, для каких а выполнено условия выпуклости четырёхугольника. Понятно, что углы AOB и BOC равны, в силу подобия, а значит, для доказательства выпуклости нам надо доказать, что угол AOC меньше 90. Поймите, чему это равносильно, а также почему условие на угол ABC проверять не надо.

Подсказка 4

Угол ABC меньше 180, потому что это сумма двух углов одного треугольника. А вот для того, чтобы доказать про угол AOC, надо воспользоваться упомянутой спецификой ММО — возможность аккуратного упрощения. Мы можем взять a ≥ 1 > 1/phi, чтобы определить порядок длин сторон в каждом из треугольников. Потому что когда есть такая определенность, мы с уверенностью можем сказать, что в силу того, что AB — не большая сторона (для а=1 можно проверить конструкцию ручками), угол AOB меньше 90. Осталось доказать, что существует a принадлежащий [1, phi), такой, что AC = a³. И здесь надо, пусть и на интуитивном уровне, воспользоваться не совсем школьной идеей — непрерывность!

Подсказка 5

Если мы уже знаем, что надо воспользоваться непрерывностью, то нам, наверное, хотелось бы доказать, что отрезок AC непрерывно изменяет длину при изменении a, ввести функцию g = |AC(a)| - a³, и доказать, что в одной из точек на выбранном промежутке, который содержится [1, phi), в одном конце значение g > 0, а в другом < 0. Но для осуществления этой идеи, нам, во-первых, надо доказать непрерывность изменения длины AC относительно а во-вторых, найти удобные концы отрезка и доказать, что в них разные по знаку значения. Как доказывать непрерывность изменения длины отрезка AC? От чего зависит длина AC по определению? И правда ли, что концы текущего отрезка подходят под наши нужды?

Подсказка 6

Во-первых, давайте поймём, что происходит с функцией g в точках 1 и phi. В точке 1 у нас значение равно √3 - 1 > 0. А в точке phi, длина отрезка AC < AB + BC = √(phi) + 1/√(phi) =(√(phi))³, а значит g(phi) < 0! Теперь осталось понять, почему у нас есть непрерывность и задача решена. Длина отрезка AC — по определению расстояние между точками A и С, значит, если мы докажем непрерывность изменения координат A и C, то, поскольку функция расстояния непрерывна, мы получим то, что нужно. А как связаны координаты A и C с а? После того, как вы это поймёте, непрерывность будет очевидна, и задача будет решена!

Показать ответ и решение

Пусть a  — некоторое положительное число. Треугольник со сторонами 1,a  и a2  существует тогда и только тогда, когда выполняются три неравенства:

      2         2   2
1< a+ a,  a< 1+a , a < a+ 1.

Первое из этих неравенств выполнено при a > 1
    φ  , второе — при всех положительных a  , третье — при a< φ  , где φ= 1+√5
    2  — так называемое «золотое сечение», положительный корень квадратного уравнения x2 − x− 1= 0  . Следовательно, треугольник с такими сторонами существует при a∈( 1;φ )
    φ . При таких же a  существует треугольник со сторонами 1, 1
  a  и 1-
a2  . Пусть далее значение a  принадлежит отрезку   √--  (1  )
[1; φ]⊂  φ;φ .

В декартовой системе координат Oxy  отметим точки O(0,0)  , B (1,0)  , точку A  в полуплоскости y > 0  , для которой       2
OA = a  и AB = a  , а также точку C  в полуплоскости y < 0  , для которой       1
OC = a2  и      1
CB = a :

PIC

По доказанному выше такие точки существуют для всех a ∈[1;√ φ]  . Кроме того, треугольники OAB  и OBC  подобны по трем пропорциональным сторонам. Значит, ∠AOB = ∠BOC  и ∠OAB = ∠OBC  . Поскольку 1≤ a≤ a2  , угол AOB  , лежащий напротив стороны а треугольника OAB  , меньше 90∘ . Отсюда получаем, что

                  ∘
∠AOC  =2∠AOB  <180

∠ABC  =∠ABO  +∠OBC  =∠ABO  +∠OAB  <180∘

Следовательно, OABC  — выпуклый четырехугольник при всех указанных значениях a  .

Пусть точка A  имеет координаты (x;y)  , тогда x2+y2 =  = a4  и (x− 1)2+ y2 = a2  . Из этих уравнений получаем

    4   2
x= a-−-a-+-1= f(a)
       2

     --------
y =∘ a4− f2(a)

Эти выражения непрерывно зависят от a  на отрезке [1;√ φ]  . Аналогично доказывается, что координаты точки C  также непрерывно зависят от a  на этом отрезке. Следовательно, длина диагонали AC  четырехугольника OABC  , равная g(a)  , также непрерывно зависит от a  на этом отрезке.

При a= 1  треугольники OAB  и OBC  являются равносторонними со стороной 1 , поэтому g(1)= √3  . При a= √φ-  получаем

 √ --               √ -- -1-  1+-φ   √--3
g( φ)=AC < AB + BC =  φ+ √φ-=  √φ-= ( φ) .

Значит, непрерывная на отрезке   √ --
[1;  φ]  функция g(a)− a3  принимает в концах этого отрезка значения разных знаков:

         √-
g(1)− 13 = 3− 1> 0

g(√φ)− (√φ)3 < 0

Поэтому найдется такое значение      √ --
a ∈(1; φ)  , при котором g(a)− a3 = 0  и, следовательно,

OC = -12,CB = 1,OB =1,AB = a,OA = a2,AC = a3
     a       a
Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#92176

В лаборатории на полке стоят 120  внешне неразличимых пробирок, в 118  из которых находится нейтральное вещество, в одной — яд и в одной — противоядие. Пробирки случайно перемешались, и нужно найти пробирку с ядом и пробирку с противоядием. Для этого можно воспользоваться услугами внешней тестирующей лаборатории, в которую одновременно отправляют несколько смесей жидкостей из любого числа пробирок (по одной капле из пробирки), и для каждой смеси лаборатория сообщит результат:

+ 1,  если в смеси есть яд и нет противоядия;

− 1,  если в смеси есть противоядие, но нет яда;

0  в остальных случаях.

Можно ли, подготовив 19  таких смесей и послав их в лабораторию единой посылкой, по сообщённым результатам гарантированно определить, в какой пробирке яд, а в какой противоядие?

Источники: ММО - 2021, второй день, 11.5 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попытаемся доказать в задаче положительный ответ. Если мы умеем находить пробирки с ядом и противоядием, то умеем находить две пробирки, отличающиеся от остальных. Оказывается, в терминах задачи можно смотреть на модуль присланного лабораторией числа и, основываясь на этих данных, найти нужные пробирки. Попробуйте с таким усилением решить задачу.

Подсказка 2

Поймите, при каких посылках в лабораторию вы сможете определить, где нейтральное вещество, а где нет. Для этого удобно рассматривать посылку как последовательность из 120 нулей и единиц, где единица означает, что пробирка с соответствующим номером отправилась на пробу. Поймите, как в терминах таких последовательностей отличать результаты лаборатории.

Подсказка 3

Поймите, что если покоординатная сумма строк с ядом и противоядием, взятая по модулю 2, совпадает с результатом лаборатории, то какие тогда должны быть условия на 19 посылок? Достаточно найти 19 различных слов длины 120, чтобы суммы всех возможных пар строк, взятые по модулю 2, были различны. Почему такие строки найдутся? Как после всех результатов всё-таки определить, где был яд, а где — противоядие?

Показать ответ и решение

Для описания отправляемых в лабораторию смесей составим таблицу, состоящую из 120  строк и 19  столбцов. Каждый столбец таблицы — это описание состава смеси, отправляемой в лабораторию. На пересечении i  -й строки и j  -го столбца стоит единица, если j  -я смесь содержит жидкость из i  -й пробирки, и ноль в противном случае.

Сначала попробуем найти пару пробирок с ядом и противоядием, не устанавливая, где в этой паре яд, а где противоядие. Для этого огрубим результат лаборатории, убрав из него знак (то есть будем считать, что для каждой смеси лаборатория сообщает результат +1,  если в смеси есть яд без противоядия или противоядие без яда, и ноль иначе). Pacсмотрим две строки, соответствующие пробиркам с ядом и противоядием. Их покоординатная сумма, взятая по модулю 2,  совпадает со строкой результатов, присланных лабораторией. Следовательно, если все суммы пар строк таблицы, взятые по модулю 2,  будут попарно различны, то в результате тестирования мы сможем определить номера строк, соответствующих яду и противоядию.

Такую таблицу можно построить следующим образом. Первую ее строку заполним произвольно. Вторую строку заполняем так, чтобы она не совпадала с первой. Третья и все последующие строки должны удовлетворять двум условиям:

- новая строка не должна совпадать с уже заполненными;

- новая строка должна быть такой, чтобы суммы всех возможных пар построенных строк, взятые по модулю 2,  были различны.

Покажем, что построение возможно. Покоординатную сумму строк a  и b,  взятую по модулю 2,  будем обозначать как a⊕ b.  Рассмотрим строчки s1,s2,s3  и s4.  Предположим, что s1⊕ s2 = s3 ⊕s4,  тогда

s1⊕s2⊕ s3 = s3 ⊕s3⊕ s4 =s4

Следовательно, правила построения таблицы можно переформулировать следующим образом:

- новая строка не должна совпадать с уже заполненными;

- новая строка должна быть такой, чтобы она была отлична от всех возможных сумм троек уже построенных строк.

Число строк длины 19,  составленных из нулей и единиц, равно 219 = 210⋅29 > 1000⋅500= 500000.  Запретов, даже после заполнения всех 120  строк, будет не более чем

C3120+ 120 = 120⋅119⋅118-+120<
               6

< 20⋅120⋅120+120= 288120< 300000

Следовательно, такую таблицу можно построить.

Чтобы определить пару пробирок с ядом и противоядием, найдем все попарные суммы строк таблицы, взятые по модулю 2.  Найдем такие строки s1  и s2,  что s1 ⊕s2  совпадает с огрубленным результатом лаборатории. Пробирки, соответствующие строкам s1  и s2,  содержат яд и противоядие. Далее, рассматривая уже настоящий результат лаборатории, мы сможем точно сказать, в какой пробирке яд, a в какой противоядие. Действительно, обязательно найдется хотя бы одна смесь, содержащая либо только яд, либо только противоядие, иначе строки таблицы, соответствующие пробирке с ядом и пробирке с противоядием, будут одинаковыми, что запрещено построением. Тогда по знаку результата для этой смеси мы сможем определить, был в ней яд или противоядие.

Ответ: да
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!