ММО - задания по годам → .13 ММО 2021

Подсказка 1

У нас есть с вами сразу три середины каких-то отрезков. Понятно, что можно тогда где-то найти средние линии и параллельности) Что из этого получится?

Подсказка 2

Из этого можем получить, что ∠XMY = ∠A. Теперь подумайте: что значит, что окружности будут касаться? Скорее всего, вы понимаете даже, где. Какое условие там будет выполнено?

Подсказка 3

Хочется, чтобы они касались в точке M, то есть нужно, чтобы описанная около XMY окружность касалась BC в точке M. То есть, ∠YMC = ∠YXM. А мы знаем, что ∠YMC = ∠ABC. По факту что нам достаточно теперь доказать?

Подсказка 4

Из знания уже одного угла нам достаточно доказать, что XMY подобен треугольнику ABC! Для этого попробуйте использовать то, что это средние линии, а нужные удвоенные отрезки можно выразить с помощью теорем о касательной и секущей :)

Решение 1. Подсказка 1

Какое самое ключевое свойство есть в равностороннем треугольнике. Что можно сделать для его поддержания?

Подсказка 2

Да, именно симметричность, поэтому почему бы не отметить на продолжении LM за точку М точку T, такую, что BL=MT? Что тогда можно сразу получить?

Подсказка 3

Оказывается, вышло два равных треугольника, откуда получаем равнобедренный треугольник побольше. Что про него можно сказать?

Подсказка 4

Есть угол 60°, значит, вышел еще один равносторонний треугольник! Отсюда можем и однозначно определить длину ВТ, а значит, и расположение точки Т. Осталось только посчитать, чему равно CM!

Решение 2. Подсказка 1

Какое самое известное свойство равнобедренного треугольника? Можно ли его как-то использовать?

Подсказка 2

Проведем высоту KH в треугольнике LKM. Если обозначить LH = x, то чему окажется равно HM?

Подсказка 3

Есть прямоугольный треугольник с углом 60° и известным катетом, значит, длину чего можно сразу определить?

Подсказка 4

Зная длину BK, легко определить и длину BA. Что осталось сделать, чтобы посчитать длину CM?

Решение 1. Подсказка 1

Из чего может следовать перпендикулярность?

Подсказка 2

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°. Неплохо было бы посчитать уголки. Что в таком случае можно сразу сказать про правильный пятиугольник?

Подсказка 3

У правильной фигуры все стороны равны, а углы легко находятся. Значит, можно посчитать и некоторые другие углы с их помощью. Например, между диагональю и стороной.

Подсказка 4

Из равнобедренного треугольника CDE легко находим угол ECD, а значит, можем найти и угол ACD. Что в таком случае можно сказать про луч СЕ относительно треугольника ACF?

Подсказка 5

У нас есть серединный перпендикуляр к AF и биссектриса CE к AF треугольника ACF. Есть про них какой-то полезный факт?

Подсказка 6

Они пересекаются на описанной окружности треугольника! Понимаем, чем является AF для треугольника CAD и легко находим угол AHC!

Решение 2. Подсказка 1

Если AH перпендикулярна CE, то каким является треугольник ACH?

Подсказка 2

По какому признаку можно сразу сказать, что треугольник прямоугольный?

Подсказка 3

Например, если медиана равна половине стороны, которой проведена, то треугольник прямоугольный. Почему бы не поискать равные отрезки?

Подсказка 4

Там, где равные отрезки, там и равнобедренные треугольники, поэтому поищем равные уголки для использования признака равнобедренного треугольника.

Подсказка 5

Зная угол правильного пятиугольника, легко находится угол ECD. Чему тогда равен угол ACE?

Подсказка 6

Что особенного в расположении AF относительно CD? Если P — точка пересечения серпера к AF с AC, то как в таком случае взаимно расположены PH с CD?

Подсказка 7

Раз AF является перпендикуляром к CD, а PH — перпендикуляром к AF, то PH и CD параллельны! А какие самые известные факты про параллельность нам известны (вспоминаем, что нам нужны равные отрезки)?

Подсказка 8

Нам нужны равные отрезки, значит, нам нужна теорема Фалеса! Отсюда легко находим, чем является точка Р для отрезка АС. Что осталось доказать?

Подсказка 9

Если PC = PH, то это победа. А из какого условия это можно получить? (не забываем, что у нас есть две параллельные прямые!)

Подсказка 10

Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, значит, PHC = HCD = ACH. Осталось доказать равенство отрезков :)

Подсказка 1

Какое дополнительное построение помогает нам работать с углами, когда нет почти никаких длин? Не просто же так нам дано то, что трапеция равнобокая!

Подсказка 2

Опишем окружности вокруг нашей трапеции. Искомый угол — угол между хордами. Вспоминаем, как ищется угол между хордами и становится понятно, о каких дугах мы хотим узнать прежде всего!

Подсказка 3

Осталось красиво сравнить боковые стороны с радиусом окружности и про углы всё станет понятно :)

Подсказка 1

Раз у нас число без последней цифры делится на 20, то и предпоследняя цифра равна 0. Тогда что можно сказать про кол-во цифр в числе, если учитывать второе условие на наше число?

Подсказка 2

Верно! Наше число хотя бы четырёхзначное. Теперь попробуем посмотреть на число, оставшееся после стирания последней цифры. Оно хотя бы трёхзначное. Попробуем перебирать трёхзначные числа, делящиеся на 20, и посмотреть в каждом случае, выполняется ли условие с делимостью на 21.

Подсказка 3

Отлично! Мы получили, что 100, 120, 140 не подходят. В случае же с 160 найти противоречие не получается. Тогда попробуем построить пример.

Подсказка 1

Подумаем, какие цифры не могут входить в искомое число. А если ещё использовать и то условие, что наше число минимальное из возможных?

Подсказка 2

Теперь, когда понятно, какие цифры могут входить в искомое число, можно рассмотреть две соседние цифры. Если заменить k-ую или (k+1)-ую цифру на 7, то получатся кратные семи числа, но тогда и их разность будет кратна 7. Значит можно найти эту разность и попробовать связать между собой соседние цифры (по модулю 7).

Подсказка 3

Должно получиться, что 10*a_k и а_(k+1) сравнимы по модулю 7, где a_k и а_(k+1) — k-ая и (k+1)-ая цифры числа. Заметим также, что если отбросить последнюю цифру от искомого числа, получится число, кратное 7. Теперь, используя это, можно преобразовать искомое число без последней цифры (преобразования по модулю 7) и с помощью этого получить оценку на количество цифр в нашем числе.

Подсказка 4

После оценки нужен пример на число с именно таким количеством цифр! Но мы уже знаем, какая цифра за какой должна следовать, поэтому в составлении подходящего числа нет никакой свободы выбора.

Подсказка 1

Предположим, что такая функция существует. Правая часть уравнения зависит только от синуса, а левая — только от косинуса. На что можно заменить аргумент х, чтобы sin(x) не изменился? Какой вывод можно отсюда сделать?

Подсказка 2

Заменой х на (pi-x) получаем, что функция чётная на всём рассматриваемом отрезке. А если мы теперь захотим изменить аргумент чтобы, наоборот, его косинус не изменился?

Подсказка 3

Заменяя х на (-х) и пользуясь чётностью функции, мы приходим к противоречию!

Подсказка 1

Для начала мы хотим получить какой-то симметричный большой пример, и скорее всего наилучший пример и будет симметричным, поскольку вся картинка симметрична. В таком случае давайте подумаем, для какой плоскости нам было бы удобно считать длины всех сторон, да так, чтобы плоскость ещё как-то относительно симметрично располагалась, так как нам не хочется считать много сторон и решать большую систему уравнений (нужно будет так чутка подвигать плоскость, скорее всего, чтобы многоугольник был равносторонним, вряд ли мы сразу найдём идеальный пример). Какую тогда плоскость удобно было бы взять, в связи с рассуждениями выше?

Подсказка 2

Мы можем взять плоскость, которая параллельна одной их плоскостей куба, так как в сечении получается симметричный 8-угольник, у которого есть две четвёрки, в каждой из которых стороны попарно равны. При этом, когда у нас плоскость расположена на маленькой высоте, то стороны, не лежащие в плоскостях куба, очень большие, а когда поднимаем выше, уменьшаются. Во-первых, поймите до какого уровня мы можем поднимать, чтобы не начать дублировать случаи, а во-вторых, как нам сделать равными все стороны? От какого параметра зависят эти стороны?

Подсказка 3

Само собой, эти стороны зависят только от высоты, а значит, несколькими теоремами Пифагора мы можем понять, чему должна быть равна высота, чтобы получался равносторонний восьмиугольник. Большой пример есть. Теперь можно попробовать покрутить плоскость, попробовать придумать что-то более большое. А если не получится, то предполагать, что n > 8 и приходить к противоречию. А в чем может вообще заключаться противоречие? Если у нас есть некоторый n-угольник, который высекается плоскостью из кубооктаэдра, то если мы хотим прийти к противоречию с n, то нам было бы удобно подумать, где могут лежать его точки, потому что если мы найдём плоскость, в которой лежит много вершин нашего n-угольника, то скорее всего придём к противоречию.

Подсказка 4

Найти что-то большее не вышло, поэтому идём по пути, который был описан выше. Если есть сечение кубооктаэдра плоскостью, то вершины данного n-угольника лежат на рёбрах кубооктаэдра, при этом, на одном ребре не более двух точек. Если у нас есть > 8 точек, то нам было бы удобно найти 4 плоскости, которые содержат рёбра кубооктаэдра, ведь тогда по рассуждениям из предыдущей подсказки задача была бы решена. Посмотрите на картинку и поймите, какие 4 плоскости в объединении содержат все рёбра кубооктаэдра, если у нас его вершины идут по серединам сторон куба, а значит есть много паралельностей, а потому много рёбер, лежащих в одной плоскости.

Подсказка 1

Есть два возможных ответа — да или нет. Если нет, то нужно доказывать, что абсолютно для любого числа в последовательность {A^i} найдется не подходящее число, что кажется очень непростой задачей. Тогда будем доказывать, что ответ «да». Если мы хотим, чтобы верхняя целая часть Aⁿ отличалось от ближайшего натурального квадрата на 2, то хотелось бы понять, чему равна эта верхняя целая часть. Вернее, что нам было бы удобнее взять за верхнюю целую часть, чтобы она отличалась от какого-то квадрата на 2? А если вспомнить как возводится число вида t+1/t в квадрат?

Подсказка 2

Хотелось бы сделать так, чтобы число вида Aⁿ + 1/Aⁿ было бы целым и A было некоторым квадратом, чтобы как раз получить t^2n + 1/(t^2n) = (tⁿ + 1/tⁿ)²-2. Осталось только понять, чему должно быть равно t, чтобы каждое выражение вида Aⁿ + 1/Aⁿ при A = t², было бы целым. Здесь вас на поиск подходящего t может натолкнуть либо мысль о процессе построения бесконечных цепных дробей, либо же тот факт, что число вида (a+b√c)^k, где a, b, k - целые, это выражение вида t+l√c. Заметьте, это верно и для отрицательных k.

Подсказка 3

Да, можно просто сказать, что t — корень некоторого уравнения с целыми коэффициентами и отрицательным коэффициентом при x, ведь тогда t+1/t = c, где с — целая положительная константа. Тогда, по модулю факта про возведение таких иррациональностей в степень можно сказать, что задача решена, поскольку мы нашли такое t, что любое выражение вида t^k + 1/t^k — целое, а значит, мы нашли подходящее А.

Подсказка 1

Всё, что нам дано – какое-то условие на корни многочлена, но благодаря великому математику – Виету, мы знаем, как выражаются коэффициенты многочлена третей степени через корни этого самого многочлена. Давайте подставим эти выражения в c – ab.

Подсказка 2

После раскрытия всех скобок ничего приятного, на первый взгляд, не получается, но не стоит забывать, что мы всё ещё не воспользовались тем фактом, что наибольший из корней равен сумме двух других. Подумайте, какого знака должны быть такие корни.

Подсказка 1

Давайте предположим, что AK является биссектрисой угла BKB₁. Обратите внимание, что AB = AB₁ в силу симметрии. Что тогда можно сказать про четырёхугольник ABKB₁?

Подсказка 2

ABKB₁ должен быть вписанным, следовательно, если мы докажем это, то докажем и необходимое по условию. Не забываем про точку O и прямую AO из условия, которые явно намекают нам на диагонали данного четырёхугольника.

Подсказка 3

Заметьте, мы почти не использовали симметрию B и B₁, давайте найдём с её помощью пару уголков. Например, мы можем сказать, что ∠BB₁C = ∠B₁BC = 90 - ∠ACB. Таким образом мы получили один из углов между диагональю и стороной четырёхугольника, осталось доказать, что угол BAK ему равен.

Подсказка 1

Если мы хотим 6 чисел, которые идут в геометрической прогресии в некотором порядке, и, более того, образуют четыре треугольника, то единственное, что нам нужно при подборе таких чисел — это выполнение неравенства треугольника и конструкция, на которой можно было бы это неравенство проверять. При этом хотелось бы, чтобы некоторые треугольники были подобны, чтобы не приходилось делать несколько проверок и накладывать много ограничений на параметры, которыми мы всё зададим. Понятно, что в силу того, что если подходит треугольник A, то подходит и треугольник, который уменьшен в k раз, поэтому, одна из длин равна 1. Также нам было бы удобно работать с некоторыми симметриями, то есть чтобы у нас было не просто 1, x, x²,…,x⁵, скорее нам удобнее 1/x², 1/x, 1 , x², x³, чтобы как раз проще было проверять неравенства треугольника. Попробуйте придумать два треугольника (этим и задается четырёхугольник), которые были бы подобны и использовали вышеупомянутые рассуждения.

Подсказка 2

Интересной конструкцией является четырехугольник OABC, OA = a², OB = 1, OC = 1/a², AB = a, BC = 1/a. Во многом, типичная задача с ММО — сложная конструкция в условии, её намеренное ослабление участником (вместе с пониманием, что можно ослаблять, а что нет), и интересные, но при этом не через «заметим что» рассуждения. Давайте поймём, для каких а тогда у нас выполняется неравенство треугольника и, что не менее важно, выпуклость четырёхугольника. Поскольку мы не задали сторону AC, то понятно, для каких треугольников нужно писать необходимые неравенства. А почему если мы напишем только для них, то будет выполнено и для остальных?

Подсказка 3

Нетрудно понять, что неравенства треугольника для двух с известными сторонами выполнено на промежутке (1/phi, phi), где phi = (1 + √5)/2. Теперь надо понять, для каких а выполнено условия выпуклости четырёхугольника. Понятно, что углы AOB и BOC равны, в силу подобия, а значит, для доказательства выпуклости нам надо доказать, что угол AOC меньше 90. Поймите, чему это равносильно, а также почему условие на угол ABC проверять не надо.

Подсказка 4

Угол ABC меньше 180, потому что это сумма двух углов одного треугольника. А вот для того, чтобы доказать про угол AOC, надо воспользоваться упомянутой спецификой ММО — возможность аккуратного упрощения. Мы можем взять a ≥ 1 > 1/phi, чтобы определить порядок длин сторон в каждом из треугольников. Потому что когда есть такая определенность, мы с уверенностью можем сказать, что в силу того, что AB — не большая сторона (для а=1 можно проверить конструкцию ручками), угол AOB меньше 90. Осталось доказать, что существует a принадлежащий [1, phi), такой, что AC = a³. И здесь надо, пусть и на интуитивном уровне, воспользоваться не совсем школьной идеей — непрерывность!

Подсказка 5

Если мы уже знаем, что надо воспользоваться непрерывностью, то нам, наверное, хотелось бы доказать, что отрезок AC непрерывно изменяет длину при изменении a, ввести функцию g = |AC(a)| - a³, и доказать, что в одной из точек на выбранном промежутке, который содержится [1, phi), в одном конце значение g > 0, а в другом < 0. Но для осуществления этой идеи, нам, во-первых, надо доказать непрерывность изменения длины AC относительно а во-вторых, найти удобные концы отрезка и доказать, что в них разные по знаку значения. Как доказывать непрерывность изменения длины отрезка AC? От чего зависит длина AC по определению? И правда ли, что концы текущего отрезка подходят под наши нужды?

Подсказка 6

Во-первых, давайте поймём, что происходит с функцией g в точках 1 и phi. В точке 1 у нас значение равно √3 - 1 > 0. А в точке phi, длина отрезка AC < AB + BC = √(phi) + 1/√(phi) =(√(phi))³, а значит g(phi) < 0! Теперь осталось понять, почему у нас есть непрерывность и задача решена. Длина отрезка AC — по определению расстояние между точками A и С, значит, если мы докажем непрерывность изменения координат A и C, то, поскольку функция расстояния непрерывна, мы получим то, что нужно. А как связаны координаты A и C с а? После того, как вы это поймёте, непрерывность будет очевидна, и задача будет решена!

Подсказка 1

Попытаемся доказать в задаче положительный ответ. Если мы умеем находить пробирки с ядом и противоядием, то умеем находить две пробирки, отличающиеся от остальных. Оказывается, в терминах задачи можно смотреть на модуль присланного лабораторией числа и, основываясь на этих данных, найти нужные пробирки. Попробуйте с таким усилением решить задачу.

Подсказка 2

Поймите, при каких посылках в лабораторию вы сможете определить, где нейтральное вещество, а где нет. Для этого удобно рассматривать посылку как последовательность из 120 нулей и единиц, где единица означает, что пробирка с соответствующим номером отправилась на пробу. Поймите, как в терминах таких последовательностей отличать результаты лаборатории.

Подсказка 3

Поймите, что если покоординатная сумма строк с ядом и противоядием, взятая по модулю 2, совпадает с результатом лаборатории, то какие тогда должны быть условия на 19 посылок? Достаточно найти 19 различных слов длины 120, чтобы суммы всех возможных пар строк, взятые по модулю 2, были различны. Почему такие строки найдутся? Как после всех результатов всё-таки определить, где был яд, а где — противоядие?