ММО - задания по годам → .13 ММО 2021
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка — середина стороны
треугольника
Окружность
проходит через точку
касается прямой
в точке
и
пересекает сторону
в точке
а сторону
— в точке
Пусть
и
— середины отрезков
и
соответственно.
Докажите, что окружность, описанная около треугольника
касается
Источники:
Подсказка 1
У нас есть с вами сразу три середины каких-то отрезков. Понятно, что можно тогда где-то найти средние линии и параллельности) Что из этого получится?
Подсказка 2
Из этого можем получить, что ∠XMY = ∠A. Теперь подумайте: что значит, что окружности будут касаться? Скорее всего, вы понимаете даже, где. Какое условие там будет выполнено?
Подсказка 3
Хочется, чтобы они касались в точке M, то есть нужно, чтобы описанная около XMY окружность касалась BC в точке M. То есть, ∠YMC = ∠YXM. А мы знаем, что ∠YMC = ∠ABC. По факту что нам достаточно теперь доказать?
Подсказка 4
Из знания уже одного угла нам достаточно доказать, что XMY подобен треугольнику ABC! Для этого попробуйте использовать то, что это средние линии, а нужные удвоенные отрезки можно выразить с помощью теорем о касательной и секущей :)
Заметим, что и
— средние линии треугольников
и
поэтому
и
Тогда
По свойству касательной и секущей к окружности имеем откуда
Аналогично получаем
Деля одно на другое и пользуясь тем, что находим
Получаем, что треугольники и
подобны по углу и отношению прилежащих сторон.
Тогда Получается, что в описанной окружности треугольника
угол, опирающийся на хорду
равен углу между хордой
и прямой
Это значит, что прямая
касается окружности, описанной вокруг треугольника
Следовательно, рассматриваемые окружности касаются.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан правильный треугольник На стороне
отмечена точка
на стороне
— точки
и
(
лежит на отрезке
)
так, что
Найдите
Источники:
Решение 1. Подсказка 1
Какое самое ключевое свойство есть в равностороннем треугольнике. Что можно сделать для его поддержания?
Подсказка 2
Да, именно симметричность, поэтому почему бы не отметить на продолжении LM за точку М точку T, такую, что BL=MT? Что тогда можно сразу получить?
Подсказка 3
Оказывается, вышло два равных треугольника, откуда получаем равнобедренный треугольник побольше. Что про него можно сказать?
Подсказка 4
Есть угол 60°, значит, вышел еще один равносторонний треугольник! Отсюда можем и однозначно определить длину ВТ, а значит, и расположение точки Т. Осталось только посчитать, чему равно CM!
Решение 2. Подсказка 1
Какое самое известное свойство равнобедренного треугольника? Можно ли его как-то использовать?
Подсказка 2
Проведем высоту KH в треугольнике LKM. Если обозначить LH = x, то чему окажется равно HM?
Подсказка 3
Есть прямоугольный треугольник с углом 60° и известным катетом, значит, длину чего можно сразу определить?
Подсказка 4
Зная длину BK, легко определить и длину BA. Что осталось сделать, чтобы посчитать длину CM?
Решение 1.
Отметим на продолжении отрезка за точку
такую точку
что
Углы
и
равны, так как они смежные
с равными углами равнобедренного треугольника
Значит, треугольники
и
равны по двум сторонам и углу между
ними. Тогда равны их соответствующие углы:
В треугольнике два угла по
поэтому он равносторонний, и
Так как треугольник
тоже равносторонний и
то
(и точка лежит именно на стороне
а не на ее продолжении). Тогда
Решение 2.
Проведем высоту равнобедренного треугольника
Она также является его медианой, поэтому
Обозначим
Треугольник
— прямоугольный с углом
равным
а значит, его гипотенуза
в
раза больше его
катета
Так как
то
а тогда
Треугольник равносторонний, поэтому
А значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильном пятиугольнике отмечена точка
— середина
Серединный перпендикуляр к
пересекает
в точке
Докажите, что прямая
перпендикулярна прямой
Источники:
Решение 1. Подсказка 1
Из чего может следовать перпендикулярность?
Подсказка 2
Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°. Неплохо было бы посчитать уголки. Что в таком случае можно сразу сказать про правильный пятиугольник?
Подсказка 3
У правильной фигуры все стороны равны, а углы легко находятся. Значит, можно посчитать и некоторые другие углы с их помощью. Например, между диагональю и стороной.
Подсказка 4
Из равнобедренного треугольника CDE легко находим угол ECD, а значит, можем найти и угол ACD. Что в таком случае можно сказать про луч СЕ относительно треугольника ACF?
Подсказка 5
У нас есть серединный перпендикуляр к AF и биссектриса CE к AF треугольника ACF. Есть про них какой-то полезный факт?
Подсказка 6
Они пересекаются на описанной окружности треугольника! Понимаем, чем является AF для треугольника CAD и легко находим угол AHC!
Решение 2. Подсказка 1
Если AH перпендикулярна CE, то каким является треугольник ACH?
Подсказка 2
По какому признаку можно сразу сказать, что треугольник прямоугольный?
Подсказка 3
Например, если медиана равна половине стороны, которой проведена, то треугольник прямоугольный. Почему бы не поискать равные отрезки?
Подсказка 4
Там, где равные отрезки, там и равнобедренные треугольники, поэтому поищем равные уголки для использования признака равнобедренного треугольника.
Подсказка 5
Зная угол правильного пятиугольника, легко находится угол ECD. Чему тогда равен угол ACE?
Подсказка 6
Что особенного в расположении AF относительно CD? Если P — точка пересечения серпера к AF с AC, то как в таком случае взаимно расположены PH с CD?
Подсказка 7
Раз AF является перпендикуляром к CD, а PH — перпендикуляром к AF, то PH и CD параллельны! А какие самые известные факты про параллельность нам известны (вспоминаем, что нам нужны равные отрезки)?
Подсказка 8
Нам нужны равные отрезки, значит, нам нужна теорема Фалеса! Отсюда легко находим, чем является точка Р для отрезка АС. Что осталось доказать?
Подсказка 9
Если PC = PH, то это победа. А из какого условия это можно получить? (не забываем, что у нас есть две параллельные прямые!)
Подсказка 10
Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, значит, PHC = HCD = ACH. Осталось доказать равенство отрезков :)
Первое решение. Угол правильного пятиугольника равен тогда
Таким образом, содержит биссектрису треугольника
и, следовательно, пересекает серединный перпендикуляр к стороне
в точке, лежащей на описанной около этого треугольника окружности. Но
прямой, значит, и
прямой, как опирающийся на ту
же дугу.
Второе решение.
Аналогично первому решению Так как
то по теореме Фалеса
где
— точка
пересечения серединного перпендикуляра к
с диагональю
а углы
и
равны как внутренние накрест
лежащие:
Следовательно, треугольник
равнобедренный и
Окончательно получаем,
что
и треугольник
прямоугольный, так как его медиана равна половине стороны, к которой она
проведена.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не
больше чем
Источники:
Подсказка 1
Какое дополнительное построение помогает нам работать с углами, когда нет почти никаких длин? Не просто же так нам дано то, что трапеция равнобокая!
Подсказка 2
Опишем окружности вокруг нашей трапеции. Искомый угол — угол между хордами. Вспоминаем, как ищется угол между хордами и становится понятно, о каких дугах мы хотим узнать прежде всего!
Подсказка 3
Осталось красиво сравнить боковые стороны с радиусом окружности и про углы всё станет понятно :)
Трапеция вписана в окружность.
Ее боковая сторона вдвое меньше основания и, значит, не длиннее радиуса окружности. Поэтому боковые стороны стягивают дуги не
больше чем А угол между диагоналями равен полусумме этих дуг.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое
будет делиться на а если первую — то на
Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна
Источники:
Подсказка 1
Раз у нас число без последней цифры делится на 20, то и предпоследняя цифра равна 0. Тогда что можно сказать про кол-во цифр в числе, если учитывать второе условие на наше число?
Подсказка 2
Верно! Наше число хотя бы четырёхзначное. Теперь попробуем посмотреть на число, оставшееся после стирания последней цифры. Оно хотя бы трёхзначное. Попробуем перебирать трёхзначные числа, делящиеся на 20, и посмотреть в каждом случае, выполняется ли условие с делимостью на 21.
Подсказка 3
Отлично! Мы получили, что 100, 120, 140 не подходят. В случае же с 160 найти противоречие не получается. Тогда попробуем построить пример.
Предпоследняя цифра числа равна так как число без последней цифры делится на
Значит, число хотя бы четырехзначное. Заметим,
что число, оставшееся после стирания последней цифры, не может равняться
по условию. Также это число не может
равняться
и
так как числа вида
и
не делятся на
Для
существует единственный пример:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее натуральное число которое не делится на
но если вместо любой его цифры поставить семёрку, то
получится число, которое делится на
Источники:
Подсказка 1
Подумаем, какие цифры не могут входить в искомое число. А если ещё использовать и то условие, что наше число минимальное из возможных?
Подсказка 2
Теперь, когда понятно, какие цифры могут входить в искомое число, можно рассмотреть две соседние цифры. Если заменить k-ую или (k+1)-ую цифру на 7, то получатся кратные семи числа, но тогда и их разность будет кратна 7. Значит можно найти эту разность и попробовать связать между собой соседние цифры (по модулю 7).
Подсказка 3
Должно получиться, что 10*a_k и а_(k+1) сравнимы по модулю 7, где a_k и а_(k+1) — k-ая и (k+1)-ая цифры числа. Заметим также, что если отбросить последнюю цифру от искомого числа, получится число, кратное 7. Теперь, используя это, можно преобразовать искомое число без последней цифры (преобразования по модулю 7) и с помощью этого получить оценку на количество цифр в нашем числе.
Подсказка 4
После оценки нужен пример на число с именно таким количеством цифр! Но мы уже знаем, какая цифра за какой должна следовать, поэтому в составлении подходящего числа нет никакой свободы выбора.
Пусть наименьшее подходящее число имеет вид Из условия следует, что среди его цифр нет
и
Если в числе есть цифры
или
то их можно заменить на
или
соответственно и получить меньшее число с тем же свойством. Таким образом, искомое
число состоит из цифр от
до
Рассмотрим соседние цифры и
По условию числа с замененными семеркой цифрами
и
делятся на
следовательно, их разность также кратна
то есть
для любого
Значит, запись числа может
быть устроена только следующим образом: за
следует
за
следует
(поскольку цифры
в числе нет) и так
далее.
По условию исходное число, у которого вместо последней цифры стоит делится на
Следовательно, исходное число без последней
цифры делится на
Используя несколько раз сравнение
получаем:
Поскольку не делится на
заключаем, что
делится на
поэтому наименьшее возможное
равно
Таким образом,
наименьшее возможное число состоит не менее чем из восьми знаков. Остается заметить, что число
удовлетворяет условию
задачи, а поскольку оно начинается с
то это число и будет наименьшим.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли функция , определённая на отрезке
, которая при всех действительных
удовлетворяет равенству
Подсказка 1
Предположим, что такая функция существует. Правая часть уравнения зависит только от синуса, а левая — только от косинуса. На что можно заменить аргумент х, чтобы sin(x) не изменился? Какой вывод можно отсюда сделать?
Подсказка 2
Заменой х на (pi-x) получаем, что функция чётная на всём рассматриваемом отрезке. А если мы теперь захотим изменить аргумент чтобы, наоборот, его косинус не изменился?
Подсказка 3
Заменяя х на (-х) и пользуясь чётностью функции, мы приходим к противоречию!
Пусть такая функция существует. Тогда, подставляя вместо
в данное равенство, получаем
Значит, при всех
, поэтому
при всех
, то есть функция
четная.
С другой стороны, подставляя в исходное равенство вместо
, получим
а поскольку четная, то
, поэтому
Вычитая это равенство из исходного, получаем при всех
. Противоречие.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли функция , определённая на отрезке
, которая при всех действительных
удовлетворяет равенству
Подставляя вместо
, получаем
откуда находим
Таким образом,
Легко убедиться, что эта функция удовлетворяет исходному равенству при всех действительных .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Многогранник с вершинами в серединах рёбер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?
Подсказка 1
Для начала мы хотим получить какой-то симметричный большой пример, и скорее всего наилучший пример и будет симметричным, поскольку вся картинка симметрична. В таком случае давайте подумаем, для какой плоскости нам было бы удобно считать длины всех сторон, да так, чтобы плоскость ещё как-то относительно симметрично располагалась, так как нам не хочется считать много сторон и решать большую систему уравнений (нужно будет так чутка подвигать плоскость, скорее всего, чтобы многоугольник был равносторонним, вряд ли мы сразу найдём идеальный пример). Какую тогда плоскость удобно было бы взять, в связи с рассуждениями выше?
Подсказка 2
Мы можем взять плоскость, которая параллельна одной их плоскостей куба, так как в сечении получается симметричный 8-угольник, у которого есть две четвёрки, в каждой из которых стороны попарно равны. При этом, когда у нас плоскость расположена на маленькой высоте, то стороны, не лежащие в плоскостях куба, очень большие, а когда поднимаем выше, уменьшаются. Во-первых, поймите до какого уровня мы можем поднимать, чтобы не начать дублировать случаи, а во-вторых, как нам сделать равными все стороны? От какого параметра зависят эти стороны?
Подсказка 3
Само собой, эти стороны зависят только от высоты, а значит, несколькими теоремами Пифагора мы можем понять, чему должна быть равна высота, чтобы получался равносторонний восьмиугольник. Большой пример есть. Теперь можно попробовать покрутить плоскость, попробовать придумать что-то более большое. А если не получится, то предполагать, что n > 8 и приходить к противоречию. А в чем может вообще заключаться противоречие? Если у нас есть некоторый n-угольник, который высекается плоскостью из кубооктаэдра, то если мы хотим прийти к противоречию с n, то нам было бы удобно подумать, где могут лежать его точки, потому что если мы найдём плоскость, в которой лежит много вершин нашего n-угольника, то скорее всего придём к противоречию.
Подсказка 4
Найти что-то большее не вышло, поэтому идём по пути, который был описан выше. Если есть сечение кубооктаэдра плоскостью, то вершины данного n-угольника лежат на рёбрах кубооктаэдра, при этом, на одном ребре не более двух точек. Если у нас есть > 8 точек, то нам было бы удобно найти 4 плоскости, которые содержат рёбра кубооктаэдра, ведь тогда по рассуждениям из предыдущей подсказки задача была бы решена. Посмотрите на картинку и поймите, какие 4 плоскости в объединении содержат все рёбра кубооктаэдра, если у нас его вершины идут по серединам сторон куба, а значит есть много паралельностей, а потому много рёбер, лежащих в одной плоскости.
Пусть ребро исходного куба, из которого получился кубооктаэдр, равно 1. Рассмотрим сечения кубооктаэдра плоскостью, параллельной
основанию куба, на расстоянии от основания. В сечении будут получаться восьмиугольники, все углы которых
равны
. Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть точки пересечения плоскости сечения с ребрами
куба:
Найдем значение , при котором соседние стороны получающегося в сечении восьмиугольника равны, тогда он окажется правильным.
Длина
стороны, которая лежит в грани куба, находится из пропорции
. Другая сторона — это гипотенуза
прямоугольного равнобедренного треугольника, длина которой равна
. Поэтому достаточно потребовать, чтобы
выполнялось равенство
, то есть
. Итак, правильный восьмиугольник в сечении получиться
может.
Предположим, что в сечении кубооктаэдра некоторой плоскостью получился правильный
-угольник и
. Тогда вершины этого
-угольника должны лежать на ребрах кубооктаэдра, причем одному ребру не может принадлежать более двух вершин
-угольника. Рассмотрим сечение исходного куба, которое является правильным шестиугольником (на рисунке ниже закрашено
серым), а также сечения, которые получаются из данного поворотом на
и
относительно вертикальной оси
куба:
Заметим, что объединение сторон этих четырех правильных шестиугольников есть объединение всех ребер кубооктаэдра. Покажем, что
на сторонах какого-то из четырех выбранных правильных шестиугольников лежит хотя бы 3 вершины -угольника. Действительно, если
на сторонах каждого такого шестиугольника лежит не более двух вершин, то всего вершин будет не более восьми. Следовательно, плоскость
сечения
-угольника совпадает с плоскостью этого шестиугольника и в сечении кубооктаҝдра получается шестиугольник. Получаем
противоречие.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верхней целой частью числа называют наименьшее целое число, большее или равное
. Существует ли такое число
, что для любого
натурального
расстояние от верхней целой части
до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2
?
Подсказка 1
Есть два возможных ответа — да или нет. Если нет, то нужно доказывать, что абсолютно для любого числа в последовательность {A^i} найдется не подходящее число, что кажется очень непростой задачей. Тогда будем доказывать, что ответ «да». Если мы хотим, чтобы верхняя целая часть Aⁿ отличалось от ближайшего натурального квадрата на 2, то хотелось бы понять, чему равна эта верхняя целая часть. Вернее, что нам было бы удобнее взять за верхнюю целую часть, чтобы она отличалась от какого-то квадрата на 2? А если вспомнить как возводится число вида t+1/t в квадрат?
Подсказка 2
Хотелось бы сделать так, чтобы число вида Aⁿ + 1/Aⁿ было бы целым и A было некоторым квадратом, чтобы как раз получить t^2n + 1/(t^2n) = (tⁿ + 1/tⁿ)²-2. Осталось только понять, чему должно быть равно t, чтобы каждое выражение вида Aⁿ + 1/Aⁿ при A = t², было бы целым. Здесь вас на поиск подходящего t может натолкнуть либо мысль о процессе построения бесконечных цепных дробей, либо же тот факт, что число вида (a+b√c)^k, где a, b, k - целые, это выражение вида t+l√c. Заметьте, это верно и для отрицательных k.
Подсказка 3
Да, можно просто сказать, что t — корень некоторого уравнения с целыми коэффициентами и отрицательным коэффициентом при x, ведь тогда t+1/t = c, где с — целая положительная константа. Тогда, по модулю факта про возведение таких иррациональностей в степень можно сказать, что задача решена, поскольку мы нашли такое t, что любое выражение вида t^k + 1/t^k — целое, а значит, мы нашли подходящее А.
Пусть — больший корень многочлена
, тогда
.
Докажем по индукции, что число целое при любом целом неотрицательном
.
Действительно, это верно при . Кроме того,
что позволяет проделать шаг индукции.
Положим , тогда
Значит, и есть верхняя целая часть
, а ближайший к ней квадрат целого числа равен
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Многочлен имеет три различных действительных корня, наибольший из которых равен сумме двух других.
Докажите, что
.
Подсказка 1
Всё, что нам дано – какое-то условие на корни многочлена, но благодаря великому математику – Виету, мы знаем, как выражаются коэффициенты многочлена третей степени через корни этого самого многочлена. Давайте подставим эти выражения в c – ab.
Подсказка 2
После раскрытия всех скобок ничего приятного, на первый взгляд, не получается, но не стоит забывать, что мы всё ещё не воспользовались тем фактом, что наибольший из корней равен сумме двух других. Подумайте, какого знака должны быть такие корни.
Пусть — корни многочлена
. По условию
. Заметим, что
(а значит, все корни положительны), так
как иначе
, что противоречит максимальности корня
. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ.
Пользуясь формулами Виета для коэффициентов , получаем
Второй способ.
Так как многочлен положителен при
то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике точка
— центр описанной окружности. Точка
симметрична точке
относительно стороны
. Прямые
и
пересекаются в точке
. Докажите, что луч
является биссектрисой угла
Подсказка 1
Давайте предположим, что AK является биссектрисой угла BKB₁. Обратите внимание, что AB = AB₁ в силу симметрии. Что тогда можно сказать про четырёхугольник ABKB₁?
Подсказка 2
ABKB₁ должен быть вписанным, следовательно, если мы докажем это, то докажем и необходимое по условию. Не забываем про точку O и прямую AO из условия, которые явно намекают нам на диагонали данного четырёхугольника.
Подсказка 3
Заметьте, мы почти не использовали симметрию B и B₁, давайте найдём с её помощью пару уголков. Например, мы можем сказать, что ∠BB₁C = ∠B₁BC = 90 - ∠ACB. Таким образом мы получили один из углов между диагональю и стороной четырёхугольника, осталось доказать, что угол BAK ему равен.
Точка — центр описанной окружности треугольника
, следовательно,
. Треугольник
равнобедренный,
поэтому
Точки и
симметричны относительно прямой
, откуда
Следовательно, четырехугольник вписанный
Дуги и
равны в силу симметрии, поэтому
. Значит, луч
является биссектрисой угла
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли такой выпуклый четырёхугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию?
Подсказка 1
Если мы хотим 6 чисел, которые идут в геометрической прогресии в некотором порядке, и, более того, образуют четыре треугольника, то единственное, что нам нужно при подборе таких чисел — это выполнение неравенства треугольника и конструкция, на которой можно было бы это неравенство проверять. При этом хотелось бы, чтобы некоторые треугольники были подобны, чтобы не приходилось делать несколько проверок и накладывать много ограничений на параметры, которыми мы всё зададим. Понятно, что в силу того, что если подходит треугольник A, то подходит и треугольник, который уменьшен в k раз, поэтому, одна из длин равна 1. Также нам было бы удобно работать с некоторыми симметриями, то есть чтобы у нас было не просто 1, x, x²,…,x⁵, скорее нам удобнее 1/x², 1/x, 1 , x², x³, чтобы как раз проще было проверять неравенства треугольника. Попробуйте придумать два треугольника (этим и задается четырёхугольник), которые были бы подобны и использовали вышеупомянутые рассуждения.
Подсказка 2
Интересной конструкцией является четырехугольник OABC, OA = a², OB = 1, OC = 1/a², AB = a, BC = 1/a. Во многом, типичная задача с ММО — сложная конструкция в условии, её намеренное ослабление участником (вместе с пониманием, что можно ослаблять, а что нет), и интересные, но при этом не через «заметим что» рассуждения. Давайте поймём, для каких а тогда у нас выполняется неравенство треугольника и, что не менее важно, выпуклость четырёхугольника. Поскольку мы не задали сторону AC, то понятно, для каких треугольников нужно писать необходимые неравенства. А почему если мы напишем только для них, то будет выполнено и для остальных?
Подсказка 3
Нетрудно понять, что неравенства треугольника для двух с известными сторонами выполнено на промежутке (1/phi, phi), где phi = (1 + √5)/2. Теперь надо понять, для каких а выполнено условия выпуклости четырёхугольника. Понятно, что углы AOB и BOC равны, в силу подобия, а значит, для доказательства выпуклости нам надо доказать, что угол AOC меньше 90. Поймите, чему это равносильно, а также почему условие на угол ABC проверять не надо.
Подсказка 4
Угол ABC меньше 180, потому что это сумма двух углов одного треугольника. А вот для того, чтобы доказать про угол AOC, надо воспользоваться упомянутой спецификой ММО — возможность аккуратного упрощения. Мы можем взять a ≥ 1 > 1/phi, чтобы определить порядок длин сторон в каждом из треугольников. Потому что когда есть такая определенность, мы с уверенностью можем сказать, что в силу того, что AB — не большая сторона (для а=1 можно проверить конструкцию ручками), угол AOB меньше 90. Осталось доказать, что существует a принадлежащий [1, phi), такой, что AC = a³. И здесь надо, пусть и на интуитивном уровне, воспользоваться не совсем школьной идеей — непрерывность!
Подсказка 5
Если мы уже знаем, что надо воспользоваться непрерывностью, то нам, наверное, хотелось бы доказать, что отрезок AC непрерывно изменяет длину при изменении a, ввести функцию g = |AC(a)| - a³, и доказать, что в одной из точек на выбранном промежутке, который содержится [1, phi), в одном конце значение g > 0, а в другом < 0. Но для осуществления этой идеи, нам, во-первых, надо доказать непрерывность изменения длины AC относительно а во-вторых, найти удобные концы отрезка и доказать, что в них разные по знаку значения. Как доказывать непрерывность изменения длины отрезка AC? От чего зависит длина AC по определению? И правда ли, что концы текущего отрезка подходят под наши нужды?
Подсказка 6
Во-первых, давайте поймём, что происходит с функцией g в точках 1 и phi. В точке 1 у нас значение равно √3 - 1 > 0. А в точке phi, длина отрезка AC < AB + BC = √(phi) + 1/√(phi) =(√(phi))³, а значит g(phi) < 0! Теперь осталось понять, почему у нас есть непрерывность и задача решена. Длина отрезка AC — по определению расстояние между точками A и С, значит, если мы докажем непрерывность изменения координат A и C, то, поскольку функция расстояния непрерывна, мы получим то, что нужно. А как связаны координаты A и C с а? После того, как вы это поймёте, непрерывность будет очевидна, и задача будет решена!
Пусть — некоторое положительное число. Треугольник со сторонами
и
существует тогда и только тогда, когда выполняются
три неравенства:
Первое из этих неравенств выполнено при , второе — при всех положительных
, третье — при
, где
— так
называемое «золотое сечение», положительный корень квадратного уравнения
. Следовательно, треугольник с такими
сторонами существует при
. При таких же
существует треугольник со сторонами
и
. Пусть далее значение
принадлежит отрезку
.
В декартовой системе координат отметим точки
,
, точку
в полуплоскости
, для которой
и
, а также точку
в полуплоскости
, для которой
и
По доказанному выше такие точки существуют для всех . Кроме того, треугольники
и
подобны по трем
пропорциональным сторонам. Значит,
и
. Поскольку
, угол
, лежащий напротив
стороны а треугольника
, меньше
. Отсюда получаем, что
Следовательно, — выпуклый четырехугольник при всех указанных значениях
.
Пусть точка имеет координаты
, тогда
и
. Из этих уравнений получаем
Эти выражения непрерывно зависят от на отрезке
. Аналогично доказывается, что координаты точки
также непрерывно
зависят от
на этом отрезке. Следовательно, длина диагонали
четырехугольника
, равная
, также непрерывно зависит
от
на этом отрезке.
При треугольники
и
являются равносторонними со стороной 1 , поэтому
. При
получаем
Значит, непрерывная на отрезке функция
принимает в концах этого отрезка значения разных знаков:
Поэтому найдется такое значение , при котором
и, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В лаборатории на полке стоят внешне неразличимых пробирок, в
из которых находится нейтральное вещество, в одной — яд и в
одной — противоядие. Пробирки случайно перемешались, и нужно найти пробирку с ядом и пробирку с противоядием. Для этого
можно воспользоваться услугами внешней тестирующей лаборатории, в которую одновременно отправляют несколько
смесей жидкостей из любого числа пробирок (по одной капле из пробирки), и для каждой смеси лаборатория сообщит
результат:
если в смеси есть яд и нет противоядия;
если в смеси есть противоядие, но нет яда;
в остальных случаях.
Можно ли, подготовив таких смесей и послав их в лабораторию единой посылкой, по сообщённым результатам гарантированно
определить, в какой пробирке яд, а в какой противоядие?
Подсказка 1
Попытаемся доказать в задаче положительный ответ. Если мы умеем находить пробирки с ядом и противоядием, то умеем находить две пробирки, отличающиеся от остальных. Оказывается, в терминах задачи можно смотреть на модуль присланного лабораторией числа и, основываясь на этих данных, найти нужные пробирки. Попробуйте с таким усилением решить задачу.
Подсказка 2
Поймите, при каких посылках в лабораторию вы сможете определить, где нейтральное вещество, а где нет. Для этого удобно рассматривать посылку как последовательность из 120 нулей и единиц, где единица означает, что пробирка с соответствующим номером отправилась на пробу. Поймите, как в терминах таких последовательностей отличать результаты лаборатории.
Подсказка 3
Поймите, что если покоординатная сумма строк с ядом и противоядием, взятая по модулю 2, совпадает с результатом лаборатории, то какие тогда должны быть условия на 19 посылок? Достаточно найти 19 различных слов длины 120, чтобы суммы всех возможных пар строк, взятые по модулю 2, были различны. Почему такие строки найдутся? Как после всех результатов всё-таки определить, где был яд, а где — противоядие?
Для описания отправляемых в лабораторию смесей составим таблицу, состоящую из строк и
столбцов. Каждый столбец таблицы —
это описание состава смеси, отправляемой в лабораторию. На пересечении
-й строки и
-го столбца стоит единица, если
-я смесь
содержит жидкость из
-й пробирки, и ноль в противном случае.
Сначала попробуем найти пару пробирок с ядом и противоядием, не устанавливая, где в этой паре яд, а где противоядие.
Для этого огрубим результат лаборатории, убрав из него знак (то есть будем считать, что для каждой смеси лаборатория
сообщает результат если в смеси есть яд без противоядия или противоядие без яда, и ноль иначе). Pacсмотрим две
строки, соответствующие пробиркам с ядом и противоядием. Их покоординатная сумма, взятая по модулю
совпадает со
строкой результатов, присланных лабораторией. Следовательно, если все суммы пар строк таблицы, взятые по модулю
будут попарно различны, то в результате тестирования мы сможем определить номера строк, соответствующих яду и
противоядию.
Такую таблицу можно построить следующим образом. Первую ее строку заполним произвольно. Вторую строку заполняем так, чтобы она не совпадала с первой. Третья и все последующие строки должны удовлетворять двум условиям:
- новая строка не должна совпадать с уже заполненными;
- новая строка должна быть такой, чтобы суммы всех возможных пар построенных строк, взятые по модулю были
различны.
Покажем, что построение возможно. Покоординатную сумму строк и
взятую по модулю
будем обозначать как
Рассмотрим строчки
и
Предположим, что
тогда
Следовательно, правила построения таблицы можно переформулировать следующим образом:
- новая строка не должна совпадать с уже заполненными;
- новая строка должна быть такой, чтобы она была отлична от всех возможных сумм троек уже построенных строк.
Число строк длины составленных из нулей и единиц, равно
Запретов, даже после заполнения
всех
строк, будет не более чем
Следовательно, такую таблицу можно построить.
Чтобы определить пару пробирок с ядом и противоядием, найдем все попарные суммы строк таблицы, взятые по модулю Найдем
такие строки
и
что
совпадает с огрубленным результатом лаборатории. Пробирки, соответствующие строкам
и
содержат яд и противоядие. Далее, рассматривая уже настоящий результат лаборатории, мы сможем точно сказать, в какой
пробирке яд, a в какой противоядие. Действительно, обязательно найдется хотя бы одна смесь, содержащая либо только яд,
либо только противоядие, иначе строки таблицы, соответствующие пробирке с ядом и пробирке с противоядием, будут
одинаковыми, что запрещено построением. Тогда по знаку результата для этой смеси мы сможем определить, был в ней яд или
противоядие.