Тема ММО (Московская математическая олимпиада)

ММО - задания по годам → .10 ММО 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)

Разделы подтемы ММО - задания по годам

ММО до 2010

ММО 2010

ММО 2011

ММО 2012

ММО 2013

ММО 2014

ММО 2015

ММО 2016

ММО 2017

ММО 2018

ММО 2019

ММО 2020

ММО 2021

ММО 2022

ММО 2023

ММО 2024

ММО 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73720

Решите уравнение

3 2 x +(log25+ log32+ log53)x= (log23 +log35 +log52)x + 1

Источники: ММО-2018, задача 11.1(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перенесем всё в одну сторону и внимательно рассмотрим наше кубическое уравнение. Может ли нам как-то в данной задаче помочь теорема Виета для кубического многочлена?

Подсказка 2

По теореме Виета для кубического многочлена, коэффициент перед x² должен равняться сумме корней уравнения, взятой с минусом. О, у нас как раз в задаче сумма каких-то трех чисел перед x². Если мы предположим, что это и есть наши корни уравнения, то чему должен равняться свободный член и коэффициент перед x?

Показать ответ и решение

В обозначениях $a =log 3,b= log 5,c= log 2 2 3 5$ исходное уравнение принимает вид

3 2 x − (a +b+ c)x + (ab +bc+ ca)x− abc= 0

что равносильно уравнению $(x− a)(x− b)(x − c)= 0.$

Ответ:

$log 3,log 5,log 2 2 3 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73723

Пусть $x$ и $y$ — пятизначные числа, в десятичной записи которых использованы все десять цифр ровно по одному разу. Найдите наибольшее возможное значение $x,$ если $∘ ∘ ∘ ∘ tgx − tgy = 1+ tgx tgy$ ( $∘ x$ обозначает угол в $x$ градусов).

Источники: ММО-2018, задача 11.3(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С равенством в первоначальном виде работать трудно. Попробуйте его преобразовать.

Подсказка 2

Вспомните базовые тригонометрические формулы. В какой встречается разность тангенсов и сумма их произведения с единицей?

Подсказка 3

Как насчёт формулы тангенса разности?

Показать ответ и решение

Данное равенство при условии, что $tgx∘$ и $tgy∘$ определены, эквивалентно равенству $tg(x − y)∘ = 1,$ откуда $x − y = 45+ 180n,$ где $n ∈ℤ.$ Следовательно, разность $x − y$ делится нацело на $45,$ а значит, на $5$ и на $9.$ Поскольку сумма всех цифр делится на $9,$ то каждое из чисел $x$ и $y$ делится на $9.$

Наибольшее пятизначное число, все цифры которого различны, равно $98765.$ Ближайшее к нему меньшее число, делящееся на $9,$ равно $98757$ и содержит повторяющиеся цифры. Последовательно уменьшая это число на $9,$ получаем числа $98748,98739,98730,98721.$ Первые два из них также содержат повторяющиеся цифры. Третье состоит из различных цифр, но поскольку $98730= 90 +180⋅548,$ то его тангенс не определён. Число $x =98721$ также состоит из различных цифр. Если взять, например, $y =54036,$ то получим $x − y = 44685 =45+ 180⋅248,$ поэтому число $98721$ искомое.

Ответ:

$98721$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75132

Существуют ли такое натуральное $n$ и такой многочлен $P(x)$ степени $n,$ имеющий $n$ различных действительных корней, что при всех действительных $x$ выполнено равенство

(a) $( ) P (x)P(x+1)= P x2 ;$

(b) $P (x)P(x+ 1)= P (x2 +1)?$

Подсказки к задаче

Пункт а, Подсказка 1

В конструктивах всегда полезно потратить хотя бы 5 минут на поиск примера.

Пункт а, Подсказка 2

Пусть P(a)=0, тогда равенство выполняется, значит x=0 — корень нашего многочлена. Проделайте что-то похожее с выражением P(x+1).

Пункт б, Подсказка 1

Давайте также как в пункте (a) предположим существование такого x₀, что P(x₀)=0. Что можно сказать про P(x₀²+1)?

Пункт б, Подсказка 2

P(x₀²+1)=0. Подумайте: что может пойти не так?

Пункт б, Подсказка 3

Поисследуйте максимальный элемент во множестве корней многочлена P.

Пункт б, Подсказка 4

Предположите что x₀ — наибольший по значению корень многочлена, что можно сказать про x₀²+1?

Показать ответ и решение

(а) Для многочлена $P(x)=x2− x$ имеем

P(x)P(x +1)= (x2− x)((x+1)2− x− 1) = 2 4 2 ( 2) =x (x+1)(x− 1)= x − x = P x

(b) Первое решение. Из условия следует, что многочлен $P(x)$ раскладывается на линейные множители. Пусть

P(x)= a(x − x1)...(x− xn)

Тогда корнями многочлена $P (x)P(x+ 1)$ являются числа $x ,...,x ,x − 1,...,x − 1. 1 n 1 n$ При этом многочлен

(2 ) ( 2 ) ( 2 ) P x + 1 = a x +1− x1 ... x +1 − xn

также должен раскладываться на линейные множители, поэтому $xk ≥ 1,k =1,...,n.$ Множество его корней $± √xk-− 1,k= 1,...,n,$ должно совпадать с множеством корней многочлена $P(x)P (x+ 1).$ Пусть $xm$ — наибольшее из чисел $x ,k= 1,...,n, k$ т. е. наибольший из корней многочлена $P (x)P(x+1).$ Тогда число $√x--− 1 m$ является наибольшим из корней многочлена $P(x2).$ Но $√x--−-1< x , m m$ так как $x2 − x + 1> 0. m m$ Следовательно, совпадение множеств корней многочленов $P(x)P(x+ 1)$ и $P (x2)$ невозможно.

Второе решение. Если такой многочлен $P (x)$ существует, то он имеет хотя бы один действительный корень. Пусть $x0$ — наибольший из его корней. Тогда из условия получаем, что

(2 ) P x0+ 1 = P(x0)P(x0+1)= 0

то есть число $x20+ 1$ также является корнем многочлена $P (x).$ Но $x20+ 1> x0,$ что противоречит максимальности корня $x0.$ Следовательно, такого многочлена не существует.

Ответ:

$a)$ Существует

$b)$ Не существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#76079

На сторонах выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники $′ ′ ′ ′ ′ ABC ,BCD ,CDE ,DEF ,EFA$ и $′ FAB .$ Оказалось, что треугольник $′ ′ ′ B DF$ — равносторонний. Докажите, что треугольник $′ ′′ AC E$ также равносторонний.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Звучит страшно, давайте подумаем, как в принципе можно решать подобные задачи.

Подсказка 2

Кажется, не очень удобно будет все это рисовать... Попробуйте ввести координаты.

Подсказка 3

Расположим шестиугольник на комплексной плоскости в правильной ориентации. Положительно ориентированный треугольник B'D'F' является правильным, если вектор (B'F') получается из вектора (B'D') поворотом на 60° против часовой стрелки.

Подсказка 4

Условие правильности для треугольника A'C'E' аналогично.

Показать доказательство

Расположив шестиугольник на комплексной плоскости в правильной ориентации, и введя соответствующие комплексные координаты, получаем $′ bζ−-a ′ cζ−-b ′ dζ−-c ′ eζ−-d ′ fζ−-e ′ aζ−-f c= ζ− 1 ,d= ζ− 1 ,e= ζ− 1 ,f = ζ− 1 ,a= ζ− 1 ,b= ζ− 1 .$ Условие правильности положительно ориентированного треугольника $B′D′F ′$ равносильно тому, что $(f′− b′)= ζ(d′− b′)$ (это условие означает, что вектор $---- B′F′$ получается из вектора $---- B ′D′$ поворотом на $60∘$ против часовой стрелки). То есть

ζ(e−-a)+(f −-d)= ζ⋅ ζ(c−-a)+(f −-b) ζ− 1 ζ− 1

ζ(e− a)+ (f − d)= ζ⋅(ζ(c− a)+(f − b))

Используя равенство $ζ2 = ζ− 1,$ после раскрытия скобок и приведения подобных получаем

ζ2(c+f)− ζ(e +b)+ (a+ d)= 0

Аналогично условие правильности треугольника $A ′C′E′$ равносильно тому, что

ζ2(d+ a)− ζ(f +c)+ (b+ e)= 0

Мы знаем, что $ζ2⋅(ζ2(c+f)− ζ(e+ b)+(a+ d))= 0.$ Воспользовавшись тем, что $ζ3 = −1,$ получаем требуемое после раскрытия скобок.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76159

Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC,AH$ — его высота. Точка $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из $A$ на прямую $CO.$ Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину отрезка $AB.$

Источники: ММО-2018, 10.3(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть M — середина AB. Подумайте об углах в этом треугольнике.

Подсказка 2

Докажите, что точки A, O, M, P лежат на одной окружности. Равенство каких углов можно получить?

Подсказка 3

∠CPM = ∠OPM = ∠OAM. Попробуйте подумать об углах еще раз. (:

Подсказка 4

Заметьте, что точки A, C, H, P тоже лежат на одной окружности.

Подсказка 5

Получим, что ∠CPH = ∠CAH. Выразите ∠CAH.

Показать доказательство

Первое решение.

Пусть $M$ — середина отрезка $AB.$

$PIC$

Рассмотрим точки $A,O,M$ и $P.$ Поскольку $∠AMO = ∠APO = 90∘,$ точки $A,O,M$ и $P$ лежат на одной окружности. Значит,

∠CP M = ∠OPM = ∠OAM.

Рассмотрим точки $A,C,H$ и $P.$ Они также лежат на одной окружности, так как $∠AHC = ∠APC = 90∘.$ Следовательно, $∠CP H =∠CAH.$

Помимо того,

∠CAH = 90∘− ∠ACB = 90∘− ∠AOB-= 90∘− ∠AOM = ∠OAM. 2

Получаем:

∠CPM = ∠OAM = ∠CAH = ∠CPH.

Значит, точки $M,P$ и $H$ лежат на одной прямой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Будем считать описанную окружность треугольника $ABC$ единичной с центром в $0.$ Поскольку $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из $A$ на диаметр $C (c)C′(−c),$ получаем $-2 - 2 p= a-+c−-c+-ac- = a+ac-. 2 2$ Точка $H$ является проекцией точки $A$ на прямую $BC,$ откуда $a+-b+-c− abc h= 2 .$ Пусть $M$ — середина отрезка $AB.$ Тогда $a+-b m = 2 .$ Осталось показать, что $----- p-− m-= p−-m-. p− h p− h$

ac2− b c2− ab (ab− c2)⋅c2ab ac2− b c− cab = ac−-bc = (bc−-ac)⋅c2ab = c−-cab

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#78814

В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками «!» и «?», но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение $a?b$ обозначает одно из следующих: $a− b,b− a$ или $a+ b.$ Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные $a,b$ и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков «!» и «?» записать выражение, которое гарантированно равно $20a− 18b.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте придумать выражения, которые дают константу или что-то хорошо известное вам.

Подсказка 2

(a?a)!(a?a) всегда равно 0.

Подсказка 3

(x?0)?(0?y) всегда равно x+y.

Подсказка 4

Для полной свободы осталось выразить операцию вычитания.

Подсказка 5

0?((0!(x!0))?0) всегда равно -x. Осталось расписать искомое выражение.

Показать доказательство

Во-первых, заметим, что выражение

(a?a)!(a?a)

всегда равно нулю. В дальнейшем мы можем использовать 0 , подразумевая, что вместо него должно быть записано именно это выражение.

Выражение

(x?0)?(0?y)

всегда равно $x+y.$ Аналогично, теперь мы можем использовать операцию + с двумя аргументами.

Наконец, выражение

0?((0!(x!0))?0)

всегда равно $− x.$ Теперь легко выписать искомое выражение:

((...(a+◟a)+-...◝◜+a)+-a◞)+(−((...)(b+◟b)+..◝.+◜-b)+b◞)) 19знаков«+» 17знаков «+»

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#79726

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$ с попарно непараллельными сторонами. На стороне $AD$ выбирается произвольная точка $P,$ отличная от $A$ и $D.$ Описанные окружности треугольников $ABP$ и $CDP$ вторично пересекаются в точке $Q.$ Докажите, что прямая $P Q$ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки $P.$

Источники: ММО-2018, 9.4(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть Е — точка пересечения прямых AB и CD. Какие случаи можно рассмотреть?

Подсказка 2

Пусть Е лежит на луче CD за точкой D. Что можно сказать о четырёхугольниках в этой конструкции?

Подсказка 3

Например, CQPD и BQPA — вписанные, отметьте равные углы.

Подсказка 4

Выразите сумму углов треугольника EDA.

Подсказка 4

Получим, что 180° = ∠CEB + ∠CQB. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 5

Четырехугольник CQBE вписан в ту же окружность, что и треугольник CBE!

Подсказка 6

Пусть F — точка пересечения прямой PQ с описанной окружностью треугольника CBE. Подумайте о четырёхугольнике QCEF.

Подсказка 7

Найдите параллельные прямые.

Подсказка 8

Рассмотрите прямую, проходящую через точку Е параллельно AD.

Показать доказательство

$PIC$

Обозначим через $E$ пересечение прямых $AB$ и $CD.$ Рассмотрим случай, в котором точка $E$ лежит на луче $CD$ за точкой $D.$ Четырехугольники $CQP D$ и $BQP A$ — вписанные, значит, $∠CQP =∠EDP,$ а $∠P QB = ∠PAE.$ Сумма углов треугольника $EDA$ равна

180∘ =∠DEA +∠EDP +∠P AE =∠DEA +∠CQP + ∠PQB = ∠CEB + ∠CQB

Следовательно, четырехугольник $CQBE$ вписан в окружность $ω$ — описанную окружность треугольника $CBE.$

Обозначим через $F$ вторую точку пересечения прямой $PQ$ с $ω.$ Четырехугольник $QCEF$ — вписанный. Значит, $180∘ = ∠FED + ∠CQP = ∠FED + ∠EDP.$ Отсюда следует, что прямые $PD$ и $FE$ параллельны.

Пусть $l$ — прямая, проходящая через точку $E$ параллельно $AD.$ Тогда прямая $PQ$ независимо от выбора точки $P$ проходит через вторую точку пересечения окружности $ω$ и прямой $l.$ Случай, когда точка $E$ лежит с другой стороны, разбирается аналогично.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#79733

На сторонах выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC1,BCD1, CDE1,DEF1,EF A1$ и $FAB1.$ Оказалось, что треугольник $B1D1F1$ правильный. Докажите, что треугольник $A1C1E1$ также правильный.

Источники: ММО-2018, 11.5(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Переведите условия задачи на язык векторов.

Подсказка 2

По условию треугольники B₁D₁F₁ и DEF₁ являются правильными. Попробуйте вывести из этого соотношения на векторы.

Подсказка 3

Поверните на 60° векторы (F₁D₁) и (F₁D).

Подсказка 4

Докажите, что при таком повороте вектор (DD₁) перейдет в вектор (EB₁).

Подсказка 5

Нам ведь дано намного больше правильных треугольников! Попробуйте рассмотреть другой поворот.

Показать доказательство

$PIC$

По условию треугольники $B1D1F1$ и $DEF1$ являются правильными. Значит, при повороте на $60∘$ против часовой стрелки векторы $−F−1−→D1$ и $−F−1→D$ перейдут в векторы, равные $−−F−1B→1$ и $−F−1→E$ соответственно. Имеем $−F−−1→D1 = −F−→1D+ −D−→C + −C−→D1$ и $−F−1−→B1 =−F−1→E +−E−→F + −F−→B1.$ Отсюда получаем, что вектор $−−D−D→1 =−F−1−D→1 − −F−1→D = −−D→C +−C−D→1$ при таком повороте перейдёт в вектор, равный $−E−B→1 = −−F−1→B1− −−F→1E = −−E→F +−F−→B1.$

Также по условию треугольники $BCD1,CDE1,EF A1$ и $FAB1$ являются правильными. Значит, при повороте на $120∘$ против часовой стрелки векторы $−−→ −−→ −−→ BC, CE1,EF$ и $−−→ FB1$ перейдут в векторы, равные $−−→ −−→ −−→ CD1,DC, FA1$ и $−→ AF$ соответственно. Отсюда получаем, что векторы $−−→ −−→ −−→ BE1 = BC +CE1$ и $−−→ −−→ −−→ EB1 = EF +F B1$ при таком повороте перейдут в векторы, равные $−−−→ −−→ −−→ DD1 = DC +CD1$ и $−−→ −→ −−→ AA1 =AF + FA1$ соответственно. Следовательно, при повороте на $∘ 300$ против часовой стрелки или, что то же, при повороте на $∘ 60$ по часовой стрелке, вектор $−−→ BE1$ перейдёт в вектор, равный $−−→ AA1.$

Наконец, по условию треугольник $ABC1$ является правильным. Значит, при повороте на $60∘$ по часовой стрелке вектор $−−→ C1B$ перейдёт в вектор, равный $−−C→1A.$ Отсюда получаем, что вектор $−−C−1→E1 = −C−→1B+ −B−E→1$ при таком повороте перейдёт в вектор, равный $−C−1−A→1 =−C−1→A + −−A→A1.$ Следовательно, треугольник $A1C1E1$ также являетсяя правильным.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#79882

Можно ли представить число $112018$ в виде суммы кубов двух натуральных чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Существует ряд модулей, по которым кубы натуральных чисел дают "приятные остатки". К их числу относиться, например, модуль 8 - куб натурального числа может давать только остатки 0,1,3, -3, -1 по данному модулю. А по какому модулю можно рассмотреть данное уравнение?

Подсказка 2

Ясно, что при этом нам придется рассматривать число 11^2018 по данному модулю, поэтому будет проще, если 11^2018 будет давать какой-то понятный остаток по рассматриваемому модулю (точнее остаток, который мы сможем найти, что не всегда бывает просто).

Подсказка 3

Давайте рассмотрим уравнение по модулю 9. Какие остатки могут давать кубы натуральных чисел по этому модулю?

Подсказка 4

Только остатки 0, 1 или -1. С чем в свою очередь сравнимо число 11^2018 по модулю 9?

Подсказка 5

Ясно, что 11^2018 сравнимо с 2^2018 по данному модулю. Осталось заметить, что 2^6=64 сравнимо с 1 по модулю 9. Вообще говоря, для каждого числа a существует число b такое, что a^b сравнимо с 1 по данному модулю. В некоторых задачах данное число b можно найти перебором, тем более в тех задачах, где в качестве основания рассматриваются 2, потому что ее первые степени считаются довольно быстро. Закончите решение, воспользовавшись этим сравнением.

Показать ответ и решение

С одной стороны, поскольку $26 = 64≡ 1 (mod 9)$ и $2018 ≡2 (mod 6= φ(9)),$ имеем

2018 2018 2 11 ≡ 2 ≡ 2 = 4 (mod 9)

То есть число $112018$ даёт остаток $4$ при делении на $9.$ С другой стороны, кубы натуральных чисел дают только остатки $0,1$ и $8$ при делении на $9.$ Значит, сумма кубов двух натуральных чисел может дать лишь остатки $0,1,2,7$ или $8$ при делении на $9,$ но не может дать $4.$

Ответ:

Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#91095

Известно, что в десятичной записи числа $229$ все цифры различны. Есть ли среди них цифра $0?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Разумно начать решать от обратного, предположить, что 0 там нет. Но как тогда искать противоречие? Вообще число очень большое и единственная информация, которую можно относительно просто узнать, это остатки при делении на некоторые числа.

Подсказка 2

Попробуйте определить количество цифр у числа, тогда сразу поймëте, какой остаток надо искать.

Показать ответ и решение

Заметим, что

29 30 3 9 2⋅2 = 2 = (1024) <2 ⋅10

Следовательно, $229 < 109.$ С другой стороны,

29 10 2 9 2 8 2 = (2 ) ⋅2 =1024 ⋅512> 5⋅10

Поэтому в записи числа $229$ ровно девять цифр. Если среди них нет нуля, то сумма цифр в десятичной записи этого числа равна $1+ 2+ ...+ 9= 45.$ Отсюда следует, что $229$ делится на $3,$ что не так. Противоречие.

Ответ:

да

Предыдущая подтема

Следующая подтема